数学人教A版 (2019)8.2 立体图形的直观图精品课后测评

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1．空间几何体的直观图
(1)直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全
在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法及其步骤
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其
步骤是：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y'
轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'= SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )，它们确定的平面表示水平面.
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度
为原来的一半.
(3)旋转体及其相关概念
斜二测画法画空间几何体的直观图的规则
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且有
以下规则.
①已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴、y'轴或z'轴的线段.
②已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原
来的一半.
③连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系
(1)以三角形为例，则有 SKIPIF 1 < 0 .如图所示， SKIPIF 1 < 0 ，它的直观图的面积
SKIPIF 1 < 0 .
(2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .即若记一个平面多边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，由斜二测画法得到的直观图的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【题型1 斜二测画法】
【方法点拨】
根据斜二测画法画直观图的规则和步骤，进行求解即可.
【例1】如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图，是的直观图，其中，，那么是一个（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．无法确定
【变式1-2】某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形，其中，，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（ ）
A．6B．C．D．
【变式1-3】如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
【题型2 画平面图形的直观图】
【方法点拨】
画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上
或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点
一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.
【例2】如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图.
【变式2-1】用斜二测法画出如图边长为2的等边三角形的直观图，并求直观图面积．
【变式2-2】用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)
【变式2-3】用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：
(1)边长为的正三角形； (2)边长为的正方形； (3)边长为的正八边形．
【题型3 画空间几何体的直观图】
【方法点拨】
(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球) 的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确
地画出.
(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致.
【例3】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．
【变式3-1】画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【变式3-2】已知直三棱柱，的底面是等腰直角三角形，且，侧棱．在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图．（不要求写出画法，但要标上字母，并保留作图痕迹）
【变式3-3】画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm）．
【题型4 平面图形的面积与其直观图的面积的关系】
【方法点拨】
根据斜二测画法中平面图形的面积与其直观图的面积的关系，结合具体条件，进行转化求解即可.
【例4】如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）
A．B．12C．12D．24
【变式4-1】如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（ ）
A．1B．C．D．
【变式4-2】一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A．B．C．8D．
【变式4-3】如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ）
A．面积为的矩形B．面积为的矩形
C．面积为的菱形D．面积为的菱形
专题8.2 立体图形的直观图（重难点题型检测）
一．选择题
1．关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．三角形的直观图是三角形
B．长方形的直观图是长方形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
3．如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形的直观图，则正确的图形是（ ）
A．B．
C．D．
4．下列空间图形画法错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示.已知为坐标原点，,,.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为（ ）
A．8B．10C．D．
6．如图所示，在四边形OABC中，OA=2，，BC=3，且，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（ ）
A．B．5C．D．
7．如图，已知通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则为（ ）
A．面积为的等腰三角形 B．面积为的等腰三角形
C．面积为的直角三角形 D．面积为的直角三角形
8．某组合体的正视图和侧视用如图（1）所示，它的俯视图的直观图是图（2）中粗线所表示的平面图形，其中四边形为平行四边形，为的中点，则图（2）中平行四边形的面积为（ ）
A．12B．C．D．6
二．多选题
9．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ）
A．相等的线段在直观图中仍然相等
B．平行的线段在直观图中仍然平行
C．一个角的直观图仍是一个角
D．相等的角在直观图中仍然相等
10．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（ ）
A．B．C．D．
11．已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A．B．C．D．
12．如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．是钝角三角形
B．的面积是的面积的2倍
C．是等腰直角三角形
D．的周长是
三．填空题
13．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是 ．（填序号）
①原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；
②原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；
③画与直角坐标系对应的时，必须是；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．
14．直角梯形ABCD，，，，，，则ABCD水平放置的直观图中的形状是 .
15．如图所示，是利用斜二测画法画出的的直观图，已知轴，，且的面积为16，过作轴，则的长为 ．
16．如下图所示，梯形是水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法），若，，则四边形的面积是 ．
四．解答题
17．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假.
（1）三角形的直观图还是三角形；
（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；
（3）正方形的直观图还是正方形；
（4）菱形的直观图还是菱形.
18．如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
19．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.
(1)矩形； (2)平行四边形； (3)正三角形； (4)正五边形
20．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CDAB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．
21．如图分别为直观图与水平放置的平面图形,梯形是平面图形ABCD的直观图.若,,,.如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积?
22．如图所示，为四边形OABC的斜二测直观图，其中，，．
(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；
(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．