人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积优秀课后练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积优秀课后练习题，文件包含人教A版高中数学必修第二册重难点题型讲练测83简单几何体的表面积与体积教师版doc、人教A版高中数学必修第二册重难点题型讲练测83简单几何体的表面积与体积原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。


1．多面体的侧面积、表面积和体积

2．旋转体的侧面积、表面积和体积
3．空间几何体表面积与体积的常见求法
(1)常见的求几何体体积的方法
①公式法：直接代入公式求解.
②等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.
③补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
④分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.
(2)求组合体的表面积与体积的方法
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该
怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
4．球的截面
(1)球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r之间满足关系式： SKIPIF 1 < 0 .
图形解释如下：
在球的轴截面图中，截面与球的轴截面的关系如图所示.若设球的半径为R，以O'为圆心的截面的半径
为r，OO'=d.则在Rt△OO'C中，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
5．几何体与球的切、接问题
常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球.
常见的几何体与球的切、接问题的解决方案：
【题型1 多面体的表面积与体积】
【方法点拨】
求解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体
积计算公式，进行求解即可.
【例1】如图1，位于西安大慈恩寺的大雁塔是我国现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，其最高处的塔刹可以近似地看成一个正四棱锥，如图2，已知正四棱锥的高为4.87m，其侧棱与高的夹角为45°，则该正四棱锥的体积约为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图，已知四棱柱的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在上且，则三棱锥与三棱锥的公共部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为（ ）
A．30B．15C．10D．60
【变式1-3】“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积】
【方法点拨】
求解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体
积计算公式，进行求解即可.
【例2】已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】已知一个圆柱体积为，底面半径为，则与此圆柱同底且体积相同的圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】圆台上､下底面半径分别是，高为，这个圆台的体积是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，则该青铜器的表面积为（ ）（假设上、下底面圆是封闭的）
A．B．
C．D．
【题型3 球的表面积与体积】
【方法点拨】
计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，要注意把握球的表面积公式和体积公式中系数的特征和
半径次数的区别.必要时需逆用表面积公式和体积公式得到球的半径.
【例3】若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】如果两个球的表面积之比为4：9，那么这两个球的体积之比为（ ）
A．8：27B．2：13C．4：943D．2：9
【变式3-2】已知球 的表面积为 ， 则它的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】圆锥的母线长为2，侧面积为，若球的表面积与该圆锥的表面积相等，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【题型4 球的截面问题】
【方法点拨】
利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的连线构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要
途径.
【例4】用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为
A． B． C．8π D．
【变式4-1】已知为球的一条直径，过的中点作垂直于的截面，则所得截面和点A构成的圆锥的表面积与球的表面积的比值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段上一点，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型5 几何体与球的切、接问题】
【方法点拨】
1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称
性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行
求解.
2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应
包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.
【例5】如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，点D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面积的范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，D在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥的外接球体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-3】已知菱形ABCD的各边长为2，.将沿AC折起，折起后记点B为P，连接PD，得到三棱锥，如图所示，当三棱锥的表面积最大时，三棱锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
【题型6 实际应用问题】
【方法点拨】
对于实际应用问题，解题的关键是正确建立数学模型，然后利用表(侧)面积或体积公式即可求解.另外，正
确作出截面图，找出其中的等量关系也是常用的方法.
与球有关的实际应用问题一般涉及容积问题，解题的关健是正确作出截面图，找出其中的等量关系.另外，
利用总体积不变，正确建立等量关系，也是常用的方法.
【例6】如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．
(1)这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1)
(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）
【变式6-1】如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm）.（加工中不计损失）.
(1)若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；
(2)若每块钢板的厚度为mm，求钉身的长度（结果精确到mm）.
【变式6-2】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高10cm，为了测得某个球的体积，小明将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为8cm，如果不计容器的厚度，求球的体积（精确到）.
【变式6-3】如图，是一圆柱形树桩的底面直径，是圆柱的母线，且，点是圆柱底面圆周上的点．
(1)求该树桩的侧面积和体积；
(2)若，是的中点，线有一只小虫在点，先在线段上钻一个小洞，记为点，若该小虫要从点钻过小洞点到达点，要使得小虫爬过的路径最短，请你确定小洞点的位置，并求出路径的最小值．
专题8.3 简单几何体的表面积与体积（重难点题型检测）
一．选择题
1．已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（ ）
A．6B．C．2D．
2．若一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高是圆锥高的（ ）
A．B．C．D．
3．过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（ ）
A．4B．6C．D．
4．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美.如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1，则下列关于该多面体的说法中不正确的是（ ）
A．多面体有12个顶点，14个面
B．多面体的表面积为3
C．多面体的体积为
D．多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）
5．如图，在三棱锥中， 平面平面，是边长为的等边三角形，，则该几何体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4D．5
7．《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（ ）
A．B．C．D．
8．在三棱锥A－BCD中，，∠ADC＝∠ABC＝90°，平面ABC⊥平面ACD，三棱锥A－BCD的所有顶点都在球O的球面上，E，F分别在线段OB，CD上运动（端点除外），．当三棱锥E－ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．πB．C．D．2π
二．多选题
9．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的高是B．圆锥的母线长是4
C．圆锥的表面积是D．圆锥的体积是
10．“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》有如下叙述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵．其一为阳马，其一为鳖臑”．意思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）．
若长方体的体积为V，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项不正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（ ）
A．该截角四面体的内切球体积B．该截角四面体的体积为
C．该截角四面体的外接球表面积为D．外接圆的面积为
12．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为
三．填空题
13．已知圆锥侧面展开图的周长为，面积为，则该圆锥的体积为 ．
14．已知在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为 .
15．如图是我国古代测量粮食的容器“升”，其形状是正四棱台，“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”，若该“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，粮食的体积约为“平升”时体积的，则该“升”升口边长与升底边长的比值为 ．
16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题：
①平面截得球的截面面积最小值为；
②球的表面积是圆柱的表面积的；
③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为．
其中所有正确的命题序号为 .
四．解答题
17．如图，已知直三棱柱的体积为，，分别为棱，上的点，，，求四棱锥的体积．
18．已知过球面上三点，，的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，求球的表面积与球的体积．
19．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知球的直径为8cm，圆柱筒高为3cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
20．如图所示的圆锥，顶点为O，底面半径是5cm，用一个与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底面半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B，线段AB的长为10cm．
(1)求圆台的侧面积；
(2)把一根绳从线段AB的中点M开始沿着侧面绕到点A，求这根绳的最短长度；
(3)在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？
21．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.
(1)请估算出堆放的米约有多少斛？
(2)若要建造一个底部直径为4尺的家用圆柱形储粮仓，试问储粮仓的高至少为多少尺，才可以将这堆米全部放入？（结果均保留整数）
22．如图所示，在平面五边形中，，，，，，分别沿，将与折起使得，重合于点．试求：
（1）三棱锥的体积；
（2）三棱锥的外接球的表面积．