数学必修 第二册9.1 随机抽样精品课堂检测

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1．抽样调查的必要性
(1)相关概念
(2)抽样的必要性
普查往往需要花费大量的财力、物力，而抽样调查具有花费少、效率高的特点.另外，在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用，比如：
①一些个体具有破坏性.如不可能对所有的炮弹都进行试射检验其是否合格.
②一些检测具有毁损性.如不可能把地里所有的种子都挖出来检验其是否发芽.
2．简单随机抽样
(1)简单随机抽样的概念
一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n SKIPIF 1 < 0 个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(2)（不放回）简单随机抽样的特征
①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.
②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.
③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.
④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性.
3．两种常见的简单随机抽样方法
(1)抽签法
一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也
可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回
地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.
(2)随机数法
先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中
的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.
(3)两种抽样方法的优缺点
4．总体平均数与样本平均数
(1)概念
(2)求和符号 SKIPIF 1 < 0 的性质
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ，其中k为常数.
5．分层随机抽样
(1)分层随机抽样的必要性
简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比
较“极端”的样本，从而使得估计出现较大的误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样.
(2)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个
子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(3)比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即
① SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
(4)分层随机抽样的步骤
(5)分层随机抽样的特点
①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；
②分成的各层互不重叠；
③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即 SKIPIF 1 < 0 ，其中n为样本容量，N为总体容量;
④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.
6．分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量
分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，第1层、第2层的样本平均数分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，总体平均数为 SKIPIF 1 < 0 ，样本平均数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
由于用第1层的样本平均数 SKIPIF 1 < 0 可以估计第1层的总体平均数 SKIPIF 1 < 0 ，用第2层的样本平均数 SKIPIF 1 < 0 可以估计第2层的总体平均数 SKIPIF 1 < 0 ，因此可以用 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 估计总体平均数 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数 SKIPIF 1 < 0 估计总体平均数 SKIPIF 1 < 0 .
7．获取数据的途径
(1)通过调查获取数据
我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据.
(2)通过试验获取数据
没有现存的数据可以查询时，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据.
(3)通过观察获取数据
自然现象只能通过长久的持续观察获取数据.
(4)通过查询获得数据
通过收集前人的劳动成果并加以利用，从而减少收集数据的成本.
【题型1 抽样方法的选取】
【方法点拨】
根据几种抽样方法的特点和优缺点，结合具体的样本，选取合适的抽样方法.
【例1】（2023秋·四川绵阳·高二期末）现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有270人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（ ）
A．①抽签法，②分层随机抽样B．①随机数法，②分层随机抽样
C．①随机数法，②抽签法D．①抽签法，②随机数法
【解题思路】根据抽签法以及分层抽样的使用条件，可得答案.
【解答过程】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；
对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.
故选：A.
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男女生比例抽取样本，正确的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样B．先用分层抽样，再用随机数表法
C．分层抽样D．先用抽签法，再用分层抽样
【解题思路】利用抽样方法求解．
【解答过程】解：在高二年级12个班中抽取3个班，这属于简单随机抽样中的抽签法，
按男女生比例抽取样本属于分层抽样，所以是先用抽签法，再用分层抽样．故选：D．
【变式1-2】（2022秋·上海浦东新·高二期末）现要完成下列项抽样调查：
①从盒饼干中抽取盒进行食品卫生检查；
②某中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样本，较为合理的抽样方法是（ ）
A．①简单随机抽样，②分层抽样
B．①简单随机抽样，②简单随机抽样
C．①分层抽样，②分层抽样
D．①分层抽样，②简单随机抽样
【解题思路】根据简单随机抽样和分层抽样的特征判断抽样方法.
【解答过程】①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样；
②总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样．故选：A.
【变式1-3】（2022秋·陕西榆林·高二阶段练习）某公司有160名员工，其中研发部120名，销售部16名，客服部24名，为调查他们的收入情况，从中抽取一个容量为20的样本，较为合适的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样B．系统抽样
C．分层抽样D．其他抽样
【解题思路】根据员工明显来自三个不同的部门可以选择适当的抽样方法．
【解答过程】由题意员工来自三个不同的部门，因此采取分层抽样方法较合适．故选：C．
【题型2 抽签法的应用】
【方法点拨】
一个抽样能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便，二是号签是否容易被搅拌均匀.一般地，当
总体容量和样本容量都较少时可用抽签法，然后按照抽签法的步骤进行抽样即可.
【例2】（2023·全国·高一专题练习）某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则 ( )
A．a＝，b＝ B．a＝，b＝ C．a＝，b＝ D．a＝，b＝
【解题思路】由题意结合简单随机抽样的特征即可确定实数a,b的值.
【解答过程】由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，
故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是，所以，故选：D.
【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（ ）
A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
【解题思路】根据抽签法的特征:个体数以及样本容量较小，且易均匀混合，即可结合选项求解.
【解答过程】选项A中总体中的个体数较大，样本容量也较大，不适合用抽签法；
选项B中总体中的个体数较小，样本容量也较小，且同厂生产的两箱产品可视为搅拌均匀了，可用抽签法；
选项C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大，不能满足搅拌均匀的条件，不能用抽签法；
选项D中总体中的个体数较大，不适合用抽签法.故选：B.
【变式2-2】（2022·高一单元测试）甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动．抽签决定谁去．那你认为抽到的概率大的是（ ）．
A．先抽的概率大些 B．三人的概率相等
C．无法确定谁的概率大 D．以上都不对
【解题思路】根据抽签法，每个个体被抽取的概率相等判断.
【解答过程】∵甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，故选：B．
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）在对101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除一个人，再在剩余的100中随机抽取10人，那么下列说法正确的是（ ）
A．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会
B．每个人在整个抽样过程中被抽到的机会均等，因为每个人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的机会也是均等的
C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少
D．每个人被抽到的可能性不相等
【解题思路】根据随机抽样的特征，即可判断出结果.
【解答过程】由于第一次剔除时采用抽签法，对每个人来说可能性相等，然后随机抽取10人对每个人的机会也是均等的，所以总的来说每个人的机会都是均等的，被抽到的可能性都是相等的.故选：B.
【题型3 随机数法的应用】
【方法点拨】
随机数法的步骤：(1)编号；(2)产生随机数；(3)选号；(4)确定样本.
【例3】（2022·全国·高三专题练习）某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，则选出来的第1个零件编号是（ ）
A．36B．16C．11D．14
【解题思路】根据随机数表的规则读取编号．
【解答过程】从题中给的随机数表第一行第3列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40的编号分别为36，33，26，16，11．所以出来的第1个零件编号是36．故选：A.
【变式3-1】（2022·全国·高一学业考试）总体有编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取3个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（ ）
A．08B．02C．63D．14
【解题思路】由随机数表法抽样原理即可求出答案.
【解答过程】根据题意，依次读出的数据为65（舍去）,72（舍去）,08,02,63（舍去）,14，即第三个个体编号为14.故选：D.
【变式3-2】（2022·全国·高三专题练习）年月日，女排世界杯在日本拉开帷幕，某网络直播平台开通观众留言渠道，为中国女排加油.现该平台欲利用随机数表法从编号为、、…、的号码中选取个幸运号码，选取方法是从下方随机数表第行第列的数字开始，从左往右依次选取个数字，则第个被选中的号码为（ ）


A．B．C．D．
【解题思路】根据随机数表中的取数原则可得选项.
【解答过程】根据题意及随机数表可得5个被选中的号码依次为16,06 ,09,13 ,23.所以第5个被选中的号码为23.故选：C.
【变式3-3】（2022春·陕西渭南·高一期末）要考察某公司生产的克袋装牛奶的质量是否达标，现从袋牛奶中抽取袋进行检验，将它们编号为、、、、，利用随机数表抽取样本，从第行第列的数开始，按位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则第三袋牛奶的标号是（ ）
（下面摘取了某随机数表的第行至第行）
A．B．C．D．
【解题思路】利用随机数表法可得结果.
【解答过程】由随机数表法可知，前三袋牛奶的标号依次为、、，故第三袋牛奶的标号是.
故选：B.
【题型4 样本平均数估计总体平均数】
【方法点拨】
在简单随机抽样中，根据样本平均数和总体平均数之间的关系，进行求解即可.
【例4】（2022·全国·高一专题练习）有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为（ ）
A．92.16B．85.23C．84.73D．77.97
【解题思路】首先求出这3000个数据的平均数，即可得解；
【解答过程】解：这3000个数据的平均数为.
用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为.故选：B.
【变式4-1】（2022·高一课时练习）已知某样本的容量为50，平均数为70.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得的样本平均数为，则（ ）
A．B．C．D．的大小无法判断
【解题思路】根据样本平均数的定义可知，那么修改前后无变化，从而得到的值.
【解答过程】根据题意，,知修改前后数据的总和不变，则在对错误的数据进行更正后，重新求得的样本平均数不变，即.故选：A.
【变式4-2】（2022·上海·高二专题练习）某样本平均数为，总体平均数为，那么（ ）
A．B．C．D．是的估计值
【解题思路】统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值.
【解答过程】解：样本平均数为，总体平均数为，统计学中，利用样本数据估计总体数据，
∴样本平均数是总体平均数的估计值.故选：D.
【变式4-3】（2022春·河南濮阳·高一期末）为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（ ）.
A．一定为B．高于C．低于D．约为
【解题思路】根据样本平均数和总体平均数的关系来判断即可.
【解答过程】样本平均数是对总体平均数的一种估计，它们之间没有确定的大小关系，所以ABC均错误，
故选：D.
【题型5 分层随机抽样中的相关运算】
【方法点拨】
在分层随机抽样中，确定抽样比k是抽样的关键.一般地，按抽样比 SKIPIF 1 < 0 (N为总体容量，n为样本容量)
在各层中抽取个体，就能确保抽样的公平性.注意在每层抽样时，应灵活采用简单随机抽样的方法.
【例5】（2023春·江西·高三开学考试）2021年12月9日15时40分，“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课.某中学组织全校学生观看了此次授课，三位太空老师介绍展示了中国空间站的工作生活场景，演示了微重力环境下细胞学实验、物理运动、液体表面张力等现象，并与地面课堂进行了实时交流，极大地激发了学生探索科学的兴趣.为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，此校决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中随机抽取90人进行调查，已知该校学生共有3600人，若抽取的学生中高二年级有30人，则该校高二年级学生共有（ ）
A．800人B．1000人C．1200人D．1400人
【解题思路】根据题意求出抽样比，再结合抽取的学生中高二年级有30人，即可得出答案.
【解答过程】由题意可得，抽样比为，所以设高二年级学生共有人，则.
故选：C.
【变式5-1】（2023秋·广西北海·高一统考期末）某中学有高中生1800人，初中生1200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从学生中抽取一个容量为的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则（ ）
A．48B．72C．60D．120
【解题思路】根据题意，先求出分层抽样的抽样比例，然后分别求出抽取的高中生和初中生人数，根据条件即可求解.
【解答过程】由题意可知：分层抽样按照的比例进行抽取，
则高中生抽取的人数为：；初中生抽取的人数为：；
因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则，解得：，故选：.
【变式5-2】（2022春·河南商丘·高一阶段练习）某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用抽样的性质求解
【解答过程】所有学生数为，所以所求概率为.故选：D.
【变式5-3】（2022·高一课时练习）为了庆祝中国共产党成立100周年，某学校组织了一次“学党史、强信念、跟党走”主题竞赛活动.活动要求把该学校教师按年龄分为35岁以下，岁，45岁及其以上三个大组.用分层抽样的方法从三个大组中抽取一个容量为10的样本，组成答题团队，已知岁组中每位教师被抽到的概率为，则该学校共有教师（ ）人
A．120B．180C．240D．无法确定
【解题思路】根据抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等可得答案.
【解答过程】因为在抽样过程中，每位教师被抽到的概率都相等，
所以该学校共有教师人.故选：C.
【题型6 分层随机抽样的平均数计算】
【方法点拨】
根据题目条件，结合分层随机抽样的平均数计算方法，进行求解即可.
【例6】（2022·高一课时练习）某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得样品的测试结果计算出一､二､三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1020小时､980小时､1030小时，则可估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为（ ）
A．1015小时B．1005小时C．995小时D．985小时
【解题思路】将各个厂产品的使用寿命平均值乘以对应的产量占比并将结果相加即可得企业生产的该产品的平均使用寿命.
【解答过程】该产品的平均使用寿命为 (小时).故选：A.
【变式6-1】（2022春·广东肇庆·高一期末）某中学高一年级有女生380人，男生420人，学校想通过抽样的方法估计高一年级全体学生的平均体重．学校从女生和男生中抽取的样本分别为40和80，经计算这40个女生的平均体重为49kg，80个男生的平均体重为57kg，依据以上条件，估计高一年级全体学生的平均体重最合理的计算方法为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用比例分配的分层随机抽样计算可得答案.
【解答过程】用女生样本的平均体重49kg估计女生总体的平均体重，用男生样本的平均体重57kg估计男生总体的平均体重，按女生和男生在总人数中的比例计算总体的平均体重，所以D选项最合理.故选：D．
【变式6-2】（2022·高一课时练习）某房地产公司为了解小区业主对户型结构——平层与复式结构的满意度，采取分层随机抽样方式对华润中央公园小区的业主进行问卷调查.20位已购买平层户型的业主满意度平均分为8，30位已购买复式户型的业主满意度平均分为9，用样本平均数估计该小区业主对户型结构满意度的平均分为（ ）
A．8.4B．8.5C．8.6D．8.7
【解题思路】根据分层抽样各层的均值计算总分值，再计算平均分即可.
【解答过程】估计小区业主对户型结构满意度的平均分为.故选：C.
【变式6-3】（2022·全国·高一专题练习）某校有住宿的男生400人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽到100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、80分钟.结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为（ ）
A．98分钟B．90分钟C．88分钟D．85分钟
【解题思路】由分层抽样的性质可得抽取的男女生人数,进而可得样本中学生每天运动时间的平均值,即可得解.
【解答过程】由分层抽样的性质可得抽取男生人，女生人，
则样本中学生每天运动时间的平均值（分钟），
故可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为88分钟.故选：C.
专题9.1 随机抽样（重难点题型检测）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2022·高一课时练习）下列调查方式合适的是（ ）.
A．为了了解一批头盔的抗压能力，采用普查的方式
B．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式
C．为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式
D．为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式
【解题思路】根据抽查和普查的特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【解答过程】对于选项A，采用普查的方式测试头盔的抗压能力，成本较高，不适合，故A错误；
对于选项B，采用普查的方式测试玉米种子的发芽率，较为繁琐且工作量较大，不适合，故B错误；
对于选项C，采用抽查的方式了解河流的水质，适合，故C正确；
对于选项D，为了了解5个人每周体育锻炼的时间，适合采用普查的方式，故D错误．故选：C．
2．（3分）（2022春·高一课时练习）某次考试有70000名学生参加，为了了解这70000名考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，有以下四种说法：
（1）1000名考生是总体的一个样本；
（2）1000名考生数学成绩的平均数是总体平均数；
（3）70000名考生是总体；
（4） 样本容量是1000．其中正确的说法有：
A．1种B．2种C．3种D．4种
【解题思路】根据题意，逐项判断即可.
【解答过程】（4）正确；（1）1000名考生的数学成绩是总体的一个样本；（2）可以用1000名考生数学成绩的平均数估计总体平均数；（3）70000名考生的数学成绩是总体.故选：A.
3．（3分）（2022·高一课时练习）下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量
D．从50个零件中抽取5个做质量检验
【解题思路】根据几种抽样方法的特点，逐项判断即可.
【解答过程】A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似．故选C.
4．（3分）（2023秋·四川南充·高二期末）某初级中学有学生300人，其中初中一年级120人，初中二、三年级各90人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，将学生按初中一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，300，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，如果抽得号码有下列四种情况：
①30，60，90，120，150，180，210，240，270，290；
②11，41，71，101，131，161，191，221，251，281；
③5，9，100，107，121，151，181，228，258，288；
④7，37，67，97，127，157，187，217，247，277．
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A．②、④都不能为分层抽样B．①、③都不能为系统抽样
C．①、④都可能为系统抽样D．②、③都不能为简单随机抽样
【解题思路】根据简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的特点一一代入判断即可.
【解答过程】若采用简单随机抽样,根据简单随机抽样的特点,之间任意一个号码都有可能出现；
若采用分层抽样,则号为一年级,为二年级,为三年级.
且根据分层抽样的概念,需要在之间抽取个,
与之间各抽取个;若采用系统抽样,根据系统抽样的概念,需要在,,之间各抽一个，
且抽取完第一个之后，后面的均应按照相等的距离或间隔抽取样本单位.
对①，可能为简单随机抽样，且满足分层抽样要求，故也可能为分层抽样，
但最后两组数据差距为20，与前面9组数据差值30不同，故不可能为系统抽样，
对②，可能为简单随机抽样，且满足分层抽样和系统抽样要求，故也可能为分层抽样或者系统抽样，
对③，可能为简单随机抽样，且满足分层抽样特点，但数据之间不是等间距，故不可能是系统抽样，
对④，可能为简单随机抽样，且满足分层抽样特点，也满足系统抽样特点，故也可能为分层抽样或系统抽样.故选：B.
5．（3分）（2022秋·贵州遵义·高一期末）某工厂为了对产品质量进行严格把关，从500件产品中随机抽出50件进行检验，对这500件产品进行编号001，002，…，500，从下列随机数表的第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，则抽到第四件产品的编号为（ ）
2839 3125 8395 9524 7232 8995
7216 2884 3660 1073 4366 7575
9436 6118 4479 5140 9694 9592
6017 4951 4068 7516 3241 4782
A．447B．366C．140D．118
【解题思路】根据随机数表，数字要求500以内（含500），且不重复选取，写出前4个可得答案.
【解答过程】从第二行第三组第一个数字开始，每次从左往右选取三个数字，依次可得： 366,010,118,447,…
故选：A.
6．（3分）（2022·高一课时练习）有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如下：
请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为（ ）
A．92.16B．85.23C．84.73D．77.97
【解题思路】求出这3000个数据的平均数，即可估计这4万个数据的平均数.
【解答过程】这3000个数据的平均数为。用样本平均数估计总体平均数，可知这4万个数据的平均数约为85.23.故选B.
7．（3分）（2023·全国·高一专题练习）为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，某省派出了200名教师援疆.现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，调查他们的援疆工作情况，若样本中女教师比男教师少8人，则该省此次援疆女教师人数为（ ）
A．16B．40C．80D．120
【解题思路】先求出样本女教师人数，由分层抽样的定义列式求解即可.
【解答过程】设样本中女教师为x人，则，∴援疆女教师人数为.
故选：C.
8．（3分）（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·高二阶段练习）高考“”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有位，选择化学的学生共有位，选择物理也选择化学的学生共有位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】计算选择物理的学生人数为，再计算比值得到答案.
【解答过程】选择物理的学生人数为，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为．故选：.
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）（2022·高一课时练习）（多选）对下面三个事件最适宜采用的抽样方法判断正确的有（ ）
①从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验；
②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，40人的成绩在90～110分，10人的成绩低于90分，现在从中抽取12人的成绩了解有关情况；
③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道．
A．①②适宜采用分层抽样B．②③适宜采用分层抽样
C．②适宜采用分层抽样D．③适宜采用简单随机抽样
【解题思路】根据简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的特征进行判断.
【解答过程】对于①，从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验，不满足分层抽样的条件，且样本容量比较大，适合采用等距抽样；
对于②，总体由差异明显且互不重叠的几部分组成，若要从中抽取12人的成绩了解有关情况，适合采用分层抽样的方法；对于③，运动会服务人员为参加决赛的6名同学安排跑道，具有随机性，且样本容量小，适合用简单随机抽样．故A，B错误.故选：CD.
10．（4分）（2022·湖北·校联考模拟预测）某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题1：你的编号是否为奇数？问题2：你是否吸烟？被调查者从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球50个，红球50个）中摸出一个小球（摸完放回）：摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案．最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是（ ）
A．估计被调查者中约有15人吸烟B．估计约有15人对问题2的回答为“是”
C．估计该地区约有3%的中学生吸烟D．估计该地区约有1.5%的中学生吸烟
【解题思路】先求出回答问题2且回答的“是”的人数，从而估计出该地区中学生吸烟人数的百分比，即得解.
【解答过程】随机抽出的1000名学生中，回答第一个问题的概率是，其编号是奇数的概率也是，所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为，回答问题2且回答的“是”的人数为，从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为，估计被调查者中吸烟的人数为.故选：BC．
11．（4分）（2023·全国·高三专题练习）根据国家新冠疫情防控政策要求，某高中3000名学生均已接种新冠疫苗，现按照高一、高二、高二学生人数的比例用分层随机抽样方法，抽取一个容量为150的样本，并调查他们接种疫苗的情况，所得数据如表：
则下列判断正确的是（ ）
A．该校高一、高二、高三的学生人数比为
B．该校高三学生的人数比高一人数多50
C．估计该校高三接种第三剂疫苗的人数为200
D．估计该校学生中第三剂疫苗的接种率不足8%
【解题思路】根据样本估计总体直接计算可知.
【解答过程】由表可知，该校高一、高二、高三的学生人数比为，即，A正确；
高三学生人数为人，高一学生人数为人，故高三学生的人数比高一人数多人，故B错误；
高三接种第三剂疫苗的人数约为人，C正确；
该校学生中第三剂疫苗的接种率约为，故D正确.
故选：ACD.
12．（4分）（2022·高一单元测试）已知某地区有小学生人，初中生人，高中生人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为，，．下列说法中正确的有（ ）
A．从高中生中抽取了人
B．每名学生被抽到的概率为
C．估计该地区中小学生总体的平均近视率为
D．估计高中学生的近视人数约为
【解题思路】根据得意求出抽样比，进一步即可判断A，B，D；算出样本中的近视人数即可判断C.
【解答过程】由题意，抽样比为，则B正确；
从高中生中抽取了人，A正确；
高中生近视人数约为：人，D正确；
学生总人数为：250000人，小学生占比：，同理，初中生、高中生分别占比：，，在2000的样本中，小学生、初中生和高中生分别抽取：960人，600人和440人，则近视人数为：960×30%+600×70%+440×80%=1060人，所以估计该地区中小学总体的平均近视率为：，C错误.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）（2022·全国·高三专题练习）某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000户，其中农民1 800户，工人100户．现从中抽取一个容量为40的样本来调查家庭收入情况，以下给出了几种常见的抽样方法：①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法有 ①②③ ．
【解题思路】根据抽样方法，可得整个抽样过程三种抽样方法都要用到．
【解答过程】由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户；
又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；
而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程三种抽样方法都要用到．
故答案为①②③．
14．（4分）（2023秋·江西萍乡·高一期末）福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字作为所选球的编号，则选出来的第4个红色球的编号为 16 .
【解题思路】由题意，结合随机数表读取的方法，即可得到结果.
【解答过程】根据题意，排除超过33以及重复的编号，第一个编号为21，第二个编号为32，第三个编号为05，第四个编号为16.故答案为：16.
15．（4分）（2023·全国·高一专题练习）某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人．为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120人，则该样本中的高二学生人数为 108 ．
【解题思路】设高二总人数为人，抽取的样本中有高二学生人，由总人数及抽样比列方程组求解即可.
【解答过程】设高二总人数为人，抽取的样本中有高二学生人，则高三总人数为人，
由题意可知，解得，即抽取的样本中有高二学生108人，
故答案为：108.
16．（4分）（2023·全国·高二专题练习）高一某班有男生28人，女生21人，现用按比例分配的分层随机抽样的方法从该班全体同学中抽取出一个容量为7的样本，已知抽出的男生的平均身高为，抽出的女生的平均身高为，估计班全体同学的平均身高是 170 ．
【解题思路】由题意知在7个样本中，男生4人，女生3人，进而得到全体同学平均身高为.
【解答过程】根据题意，抽出来的男生人数，女生人数，
所以全体同学平均身高为，故答案为:170.
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）（2022·高一课时练习）选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.
（1）现有一批电子元件600个，从中抽取6个进行质量检测；
（2）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个入样.
【解题思路】（1）由于总体中个体数较大，则采用随机数法，再写出步骤即可；
（2）由于总体中个体数较小，则采用抽签法，再写出步骤即可.
【解答过程】（1）总体中个体数较大，用随机数法.
第一步，给元件编号为1，2，3，…，99，100，…，600；
第二步，用随机数工具产生1～600范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的电子元件进入样本；
第三步，依次操作，如果生成的随机数有重复，则剔除并重新产生随机数，直到样本量达到6；
第四步，以上这6个号码对应的元件就是要抽取的对象.
（2）总体中个体数较小，用抽签法.
第一步，将30个篮球，编号为1，2，…，30；
第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸条上，揉成小球状，制成号签；
第三步，把号签放入一个不透明的盒子中，充分搅拌；
第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；
第五步，找出和所得号码对应的篮球.
18．（6分）（2022·高一课时练习）已知总体容量为200，根据以下随机数表，抽取一个样本容量为5的样本.
55 19 68 97 65 03 73 52 16 56 00 58 55
90 27 33 42 29 38 87 22 13 88 83 34 53
81 29 13 29 35 01 20 71 34 62 33 74 82
14 53 73 19 09 03 56 54 29 56 93 51 86
32 68 92 33 98 74 66 99 40 14 71 94 58
45 94 19 33 81 14 44 99 81 07 35 91 70
29 13 80 03 54 07 27 96 94 78 32 66 50
95 52 74 33 13 80 55 62 54 37 71 67 95
13 20 02 44 95 94 64 85 04 05 72 01 32
90 76 14 53 89 74 60 41 93 66 13 83 27
92 79 64 64 72 28 54 96 53 84 48 14 52
98 94 56 07 93 39 30
【解题思路】根据随机数表法即得.
【解答过程】先在随机数表中选择一个起始的数，不妨就从开始的5向右读下去，
从5开始的三位数组是：551 968 976 503 735 216 560 058 559
将其中大小在001~200的数据取出，058直到取满5个即可.
故答案可以是058 027 138 120 145.
19．（8分）（2022春·高一课时练习）在考察某高中的学生身高时，采用分层随机抽样的方法，得到了男生身高的平均数为172，女生身高的平均数为162．
(1)如果没有其他信息，怎样估计总体平均数？
(2)如果知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，怎样估计总体平均数？
【解题思路】（1）可以选择男生（或女生）样本的平均数估计总体，但这样数据利用不充分，也可以选择男生与女生样本平均数作为总体的估计；
（2）根据加权平均数的计算公式代入求解即可.
【解答过程】(1)作为估计来说，我们可以选择男生（或女生）样本的平均数作为总体对应值的估计，但这样的选择没有充分利用已有的数据，显然不够好，另外一种估计的方法是取每一层样本平均数作为总体的估计，即估计总体平均数为.
(2)由加权平均数公式代入，得样本的平均数为，因此估计总体平均数为.
20．（8分）（2023·全国·高三专题练习）某公司为了解员工对食堂的满意程度，对全体100名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按，，，，，分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.
（1）估计这100名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；
（2）现从，，这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求这组抽取的人数.
【解题思路】（1）根据中位数和众数的定义结合频率分布直方图即可得出答案；
（2）根据频率分布直方图分别求出，，的人数，任何根据分层抽样即可求出从抽取的人数.
【解答过程】解：（1）由题意得众数为75，的频率为，
的频率为，
设中位数为a，，.
（2）的人数：，的人数：，的人数：，抽样比例为，从抽取的人数：.
21．（8分）（2022秋·浙江杭州·高二期中）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值和方差各为多少?
(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值和方差各为多少?
【解题思路】（1）根据男、女的样本量按比例分配进行计算可得答案;
（2）按男、女的样本量都是25计算总样本均值和方差即可.
【解答过程】（1）男、女的样本量按比例分配，总样本的均值为cm，
总样本的方差为；
（2）男、女的样本量都是25，总样本的均值为cm，
总样本的方差为.
22．（8分）（2022春·北京大兴·高一期末）某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人.A同学按男生､女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：）情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18.
(1)如果已知男､女样本量按比例分配，求总样本的平均数和方差；
(2)如果已知男､女样本量分别为30和70，在这种情况下，总样本的平均数为，总样本的方差为，分别直接写出与与的大小关系；
(3)如果已知B同学采用了简单随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高情况，样本量为100，其样本平均数为，能否认为比更接近总体平均身高，说明理由.
【解题思路】（1）根据按比例的分层抽样总样本的平均数和总样本的方差公式计算可得答案；
（2）根据按比例的分层抽样总样本的平均数和总样本的方差公式计算再比较大小可得答案；
（3）示例1：可以认为比更接近总体平均身高。理由：男､女生身高存在明显差异，采用按男､女比例分配的分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样；示例2：不能认为比更接近总体平均身高，理由：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，可能简单随机抽样的估计效果好于分层随机抽的估计效果；示例3：无法确定是否比更接近总体平均身高，理由：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，并不能保证分层随机抽的估计效果一定好于简单随机抽样.
【解答过程】(1)由题意知，总样本的平均数为
总样本的方差为
；
(2)男､女样本量分别为30和70时，总样本的平均数为，
总样本的方差为
，所以.
(3)答案示例1：可以认为比更接近总体平均身高.
理由如下：男､女生身高存在明显差异，采用按男､女比例分配的分层随机抽样的效
果一般会好于简单随机抽样，所以可以认为比更接近总体平均身高.
答案示例2：不能认为比更接近总体平均身高.
理由如下：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，可能简单随机抽样的估计效果好于
分层随机抽的估计效果，所以不能认为比更接近总体平均身高.
答案示例3：无法确定是否比更接近总体平均身高.
理由如下：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，并不能保证分层随机抽的估计效果
一定好于简单随机抽样，所以无法确定是否比更接近总体平均身高.
名称
定义
全面调查（普查）
对每一个调查对象都进行调查的方法.
抽样调查
根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
总体
调查对象的全体.
个体
从总体中抽取的那部分个体.
样本
从总体中抽取的那部分个体.
样本量
样本中包含的个体数.
抽样方法
优点
缺点
适用范围
抽签法
简单易行.
总体量较大时，操作起来比较麻烦.
适用于总体中个体数不多的情形.
随机数法
简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题.
总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便.
总体量较大，样本量较小的情形.
名称
定义
总体均值（总体平均数）
一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称 SKIPIF 1 < 0 为总体均值，又称总体平均数.
如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式 SKIPIF 1 < 0 .
样本均值（样本平均数）
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称 SKIPIF 1 < 0 为样本均值，又称样本平均数.
说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数 SKIPIF 1 < 0 去估计总体平均数 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）；
(3)一般情况下，样本量越大，估计越准确.
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
数据%
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤99
个数
800
1300
900
平均数
78.1
85
91.9
高一
高二
高三
只接种第一、二剂疫苗人数
50
44
45
接种第一、二、三剂疫苗人数
0
1
10
49
54
43
54
82
17
37
93
23
28
87
35
20
56
43
84
26
34
91
64
57
24
55
06
88
77
04
74
47
67
21
76
33
50
25
83
92
12
06
76