苏科版（2024）九年级下册第6章 图形的相似6.4 探索三角形相似的条件达标测试

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考察题型一 两角证明相似
1．如图，要使，可以添加条件： ．
【详解】解：可添加条件：，
证明如下：
，，
．
故本题答案为：（答案不唯一）．
2．下列四组图形中不一定相似的是
A．有一个角等于的两个等腰三角形
B．有一个角为的两个直角三角形
C．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形
D．有一个角是的两个等腰三角形
【详解】解：中可能一个是底角为，另一个为顶角为，不一定相似；
中相当于两个角对应相等，一定相似；
中直角三角形，且有一锐角相等，一定相似；
中的等腰三角形即为等边三角形，一定相似．
故本题选：．
3．在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是
A．B．
C．D．
【详解】解：当是的垂线时，，
，
，
，
，
，
．
由作图痕迹可知：
选项中，是的角平分线，不合题意；
选项中，不与垂直，不合题意；
选项中，是的垂线，符合题意；
选项中，不与垂直，不合题意．
故本题选：．
4．如图，中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是
A．B．
C．D．
【详解】解：、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似；
、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
故本题选：．
5．为的内接三角形，为边的高，为的直径．求证：．
【详解】证明：如图，连接，
为的直径，
，
为边的高，
，
，
又，
．
考察题型二 判断相似三角形的个数
1．如图，在平行四边形中，是延长线上一点，连接，交于点，交于点，那么图中相似三角形（不含全等三角形）共有
A．6对B．5对C．4对D．3对
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
；
同理可得：，，，．
故本题选：．
2．如图，在中，高、相交于点．图中与一定相似的三角形有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【详解】解：，，
，
，
又，
，
，，
．
故本题选：．
3．如图，正方形中，是的中点，、的延长线交于点，的垂直平分线分别交、于点、，连接，则与相似的三角形个数为
A．1B．2C．3D．4
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
故本题选：．
考察题型三 先证明相似，再求值
1．如图，、分别是边，上的点，，若，，，则的长是
A．2B．4C．6D．8
【详解】解：，，
，
，
，
．
故本题选：．
2．如图，在中，的垂直平分线交于点，恰好平分．若，，则的长是
A．B．3C．D．6
【详解】解：的垂直平分线交于点，
，
，，
平分，
，
，
，
，即，解得：．
故本题选：．
3．如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ．
【详解】解：四边形是正方形，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，解得：，
，
，
，，
，
，
，
．
故本题答案为：．
4．如图，已知半圆与四边形的边、、都相切，切点分别为、、，半径，则 ．
【详解】解：如图，连接，
半圆与四边形的边、、都相切，切点分别为、、，
，，，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故本题答案为1．
考察题型四 分类讨论思想在相似中的应用
1．如图，点是斜边上异于，的一点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，满足这样条件的直线共有
A．1条B．2条C．3条D．4条
【详解】解：过点作直线截，则截得的三角形与必有一公共角，
是直角三角形，
只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似，
过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共3条直线．
故本题选：．
2．如图，点是等腰的腰上的一点，过点作直线（不与直线重合）截，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有
A．2条B．3条C．4条D．5条
【详解】解：，
，
如图，
①作，可得．
②作，可得．
③作，可得，
故本题选：．
3．如图，在中，，，，是上一点，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动时间为秒．当直线截，存在与相似的三角形时， ．
【详解】解：，，，是上一点，，
，
点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点运动，设运动时间为秒，
，
当直线截，存在与相似的三角形时，有以下两种情况：
①当时，，如图1所示：
，即，解得：；
②当时，，如图2所示：
，即，解得：，
当直线截，存在与相似的三角形时，秒或7.5秒．
故本题答案为：4.8秒或7.5秒．
4．如图，、是的直径，点在上，，点从点出发沿顺时针方向绕圆心旋转，当 时，直径在中截得的三角形与相似．
【详解】解：分三种情况：
①当时，直径在中截得的三角形与相似，
如图，连接，
，，
，
，
；
②当时，直径在中截得的三角形与相似，
，
，
③当时，直径在中截得的三角形与相似．
，
．
故本题答案为：50或70或160．
1．已知为的直径且，点是上一点（不与、重合），点在半径上，且，与过点的的切线垂直，垂足为．若，则 ， ．
【详解】解：如图：连接，
设，
直径，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，解得：，
经检验：是原方程的根，
，
．
故本题答案为：1，．
2．如图，是边长为等边三角形，动点、同时从、出发，分别沿、方向匀速运动，其中点运动的速度是，点运动的速度是，当点到达点时，、两点停止运动，在运动过程中作交于点，连接，设运动的时间为，当 时．
【详解】解：是边长为等边三角形，
，
，
，，
为等边三角形，
点运动的速度是，点运动的速度是，
，，，，，
，
，
若要，则需满足，
，，
，
又，
，
，
，解得：．
故本题答案为：1.2．
3．如图，在纸板中，，，，是上一点，过点沿直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么长的取值范围是 ．
【详解】解：①如图，过作交于或交于，则或，
此时；
②如图，过作交于，则，
此时；
③如图，过作交于，则，
当点与点重合时，，即，
，，
此时，；
综上，要有4种不同的剪法，使得过点沿直线剪下一个与相似，则长的取值范围是．
故本题答案为：．
4．如图，中，，，点在上运动（不能经过、，过作，交于．
（1）证明：；
（2）设，，求与的函数关系，并写出其自变量取值范围；
（3）若三角形恰为等腰三角形，请直接写出的长，不必说明理由．
【详解】（1）证明：，，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：，，
，
，，
，，
，
，
，
；
（3）解：当为等腰三角形时，
①若，
，
，
，
，
，
；
②若，
则，
，
即与重合，
不合题意，舍去；
③若，如图，
则，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
综上，或．
5．如图，正方形的边长为4，是边的中点，点在射线上，过作于，设．
（1）求证：；
（2）若以，，为顶点的三角形也与相似，试求的值；
（3）试求当取何值时，以为圆心，为半径的与线段只有一个公共点．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
又，
，
；
（2）解：①当，且时，则有，
四边形为矩形，
，即；
②当，且时，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，即，
，即；
综上，满足条件的的值为2或5；
（3）解：如图，作，则与线段的距离即为的长，可得：，
①当点在边上时，的半径，
如图，与线段相切，
此时，即，
；
②当点在的延长线上时，的半径；
（i）如图，与线段相切，
此时，即，
；
（ii）如图，，
，
；
综上，当或或时，与线段只有一个公共点．
6．初步尝试
（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为 ；
思考说理
（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；
拓展延伸
（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．
①求线段的长；
②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．
【详解】解：（1）如图①，
折叠，使点与点重合，折痕为，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
故本题答案为：；
（2）如图②，
，
，
由题意可知：垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①如图③，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②如图③，设，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
．