2025高考数学总复习专项复习（讲义）--概率专题一（含解析）

这是一份2025高考数学总复习专项复习（讲义）--概率专题一（含解析），共18页。学案主要包含了注意基础知识的整合，查漏补缺，保强攻弱，提高运算能力，规范解答过程，强化数学思维，构建知识体系，解题快慢结合，改错反思，重视和加强选择题的训练和研究等内容，欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”的问题要根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。要适当地选择好的方案，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
人教A版数学--概率专题一
知识点一 由递推关系证明等比数列,写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值,
利用等比数列的通项公式求数列中的项
典例1、足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：
（1）下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为，求；
（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，接到第n次传球的人即为第次触球者，第n次触球者是甲的概率记为.
（1）求，，（直接写出结果即可）；
（2）证明：数列为等比数列.
随堂练习：雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分.
（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
（2）已知恰有甲､乙､丙､丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率是，若.
①求和；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.
典例2、现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
（1）设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；
（2）设第次传球后，甲接到球的概率为，
（i）试证明数列为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
随堂练习：为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i的最小值.
典例3、某校班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行了一次统计，发现分数都位于20﹣55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）七组，其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n，[30，35）这组的参加者是12人．
（1）根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；
（2）组织者从[35，40）这组的参加者（其中共有5名女学生，其余为男学生）中随机选出1人（为公平起见，把每个人编号，通过号码确定），如果选到男学生，则该学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去（已知本班男生人数多于女生人数），重复上述过程n次后，该组中的男生人数为Xn．
①求随机变量X1的概率分布及数学期望E（X1）；
②求随机变量Xn的数学期望E（Xn）关于n的表达式．
随堂练习：中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.
（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：
若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？
（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为.记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.
（i）若，B队员控制球的次数为X，求；
（ii）若，，，，，证明：为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.
附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；. 附2：参考数据：，.
知识点二 概率综合,写出简单离散型随机变量分布列
典例4、某智能共享单车备有、两种车型，采用分段计费的方式营用，型单车每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），型单车每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲、乙、丙三人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，并且三个人每人租车都不会超过60分钟，甲、乙均租用型单车，丙租用型单车.
（1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；
（2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
随堂练习：8月5日晚，2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”开幕式在洞庭南路历史文化街区工业遗址公园（岳阳港工业遗址公园）举行，举办2022首届湖南·岳阳“洞庭渔火季”，是我市深入贯彻落实中央和省委“稳经济、促消费、激活力”要求，推出的大型文旅活动，旨在进一步深挖岳阳“名楼”底蕴、深耕“江湖”文章，打造“大江大湖大岳阳”文旅IP，为加快推进文旅融合发展拓展新维度、增添新动力.活动期间，某小吃店的生意异常火爆，对该店的一个服务窗口的顾客从排队到取到食品的时间进行统计，结果如下：
假设每个顾客取到食品所需的时间互相独立，且都是整数分钟.从排队的第一个顾客等待取食品开始计时.
（1）试估计“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”的概率；
（2）若随机变量X表示“至第2分钟末，已取到食品的顾客人数”，求X的分布列及数学期望.
典例5、为提高天津市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了天津市旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游4名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游5名，其中高级导游3名.从这9名导游中随机选择4人参加比赛.
（1）设为事件“选出的4人中恰有2名高级导游，且这2名高级导游来自同一个旅游协会”，求事件发生的概率；
（2）设为选出的4人中高级导游的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
随堂练习：某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．
（1）求甲获得奖金的期望；
（2）已知甲和乙最后所得奖金之和为900元，求甲获得一等奖的概率．
典例6、年月日，郑渝高铁实现全线贯通运营.郑渝高铁北起河南省郑州市，南至重庆市，途经河南、湖北、重庆三省市，全长公里，此前，北京到重庆的高铁列车耗时小时分，现在只需小时分；石家庄至重庆高铁的耗时由小时分缩短至小时分，郑州至重庆的耗时由小时分缩短至小时分，不仅如此，郑渝高铁还是一条旅游线，串联起了嵩山少林寺、襄阳古隆中、神农架原始森林、巫山大小三峡、奉节白帝城等众多著名旅游景点. 现有一列郑渝高铁从重庆北发出，某节车厢内共有位旅客，每位旅客等可能地从云阳、奉节、巫山、巴东、神农架、襄阳东共个车站中选择一站下车，且彼此独立.
（1）求这位旅客选择下车的车站互不相同的概率；
（2）设这位旅客选择下车的车站共有个，求的分布列和期望.
随堂练习：某银行招聘，设置了A，B，C三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试.若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.
（1）求丁、戊都竞聘成功的概率；
（2）记A、B两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.
人教A版数学--概率专题一答案
典例1、答案：（1） （2）（i），，（ii）证明见解析；
详解:（1）这150个点球中的进球频率为，
则该同学踢一次点球命中的概率，
由题意，可能取1，2，3，
则，，，
则的期望.
（2）（i）因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，
所以第1次触球者是甲的概率，显然第2次触球者是甲的概率，
第2次传球有两种可能，所以第3次触球者是甲的概率概，
（ii）∵第n次触球者是甲的概率为，所以当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，
则.
从而，又，
∴是以为首项，公比为的等比数列.
随堂练习：答案： （1）12 （2）①； ②证明见解析，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大
解：（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，
易知的所有可能取值为，
则， ， ，
故的分布列为
，则.
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，，则.
②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，
第次回答的不是甲的概率为，
则，即，又，
是以为首项，为公比的等比数列，则
，
第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..
典例2、答案： （1）分布列见解析， （2）（i）证明见解析；（ii）答案见解析.
解：（1）由题意知的取值为，
； ；
；
所以X的分布列为
所以；
（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，
时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，
于是有 ，即 ，
故数列是首项为，公比为的等比数列;
（ii） ，所以 ，
当时， ，
所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数.
随堂练习：答案： （1）； （2）①，，且；②5.
解：（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，
显然，
，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，，当时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以i的最小值是5.
典例3、答案：（1），，中位数为；（2）①分布列见详解，；②.
解:（1）由题可知：
由，所以可知中位数为
（2）由题可知：这组人数有：，其中女生5名，男生3名
①随机变量X1的所有可能结果为3，4 所以
所以的分布列为
数学期望
②设，则

，，
，，
，
所以的分布列为
所以
所以
即 则
所以，又 所以
随堂练习：答案：（1）可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下；
（2）（i） （ii）证明见解析；.
解:（1）由已知可得：， ，
又因为，，
所以，
所以， 所以，
当时，，
所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.
（2）（i）由题知X的可能取值为：0，1，2；
；
；
；
的分布列为：
所以.
（ii）（方法一）由，，
两式相加得：.
因为， 所以，，
代入等式得，即 所以，
因为，， 所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，
即，因此经过200次传球后A队员控制球的概率 .
（方法二）由题知：，所以，
所以，
又因为， 所以，
所以， 所以， 所以，
又因为，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
因此经过200次传球后A队员控制球的概率.
典例4、答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）由题意，甲乙丙在3分钟以上且不超过6分钟还车的概率分别为，，，
设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件， 则；
（2）随机变量所有可能取值有2，2.5，3，3.5，4，
则， ，
， ，
，
所以，甲乙丙三人所付费用之和的分布列为
∴
随堂练习：答案： （1）； （2）分布列见解析，
解：（1）设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下:
A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”，
则事件A对应三种情形：
①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟；
②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟.
所以
.
（2）X所有可能的取值为0，1，2.
对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟， 所以;
对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，
所以；
对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，
所以；
所以X的分布列为：
所以
典例5、答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；
当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，
则 所以事件发生的概率为；
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4.
， ， ，
， ，
所以，随机变量的分布列为
所以，随机变量的数学期望为（人）
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设甲获得的奖金为元，则可能的取值为0，200，700．
， ，
，
所以，甲获得的奖金的概率分布列为：
所以．
（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．
设事件A：甲和乙最后所得奖金之和为900元，设事件B：甲选手获得一等奖，
由（1）知获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，
所以，
所以，所求的概率．
典例6、答案： （1） （2）分布列答案见解析，
解：（1）记事件这位旅客选择下车的车站互不相同，则.
（2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、，
则，，
，，
因此，随机变量的分布列如下表所示：
所以，.
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）设参加C组测试的每个人竞聘成功为A事件，则
又两人竞聘成功相互独立，故丁、戊都竞聘成功的概率等于
由题意可知可取0，1，2，3，又3人竞聘成功相互独立，
则，
，
，
，
故的分布列为：
所以.
点球数
20
30
30
25
20
25
进球数
10
17
20
16
13
14
月份x
1
2
3
4
5
体重超重的人数y
640
540
420
300
200
取到食品所需的时间（分）
1
2
3
4
5
频率
0.05
0.45
0.35
0.1
0.05
0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
2
2.5
3
3.5
4
1
2
3
4
5
0.05
0.45
0.35
0.1
0.05
0
1
2
0.5
0.4975
0.0025
0
1
2
3
4
0
200
700
0
1
2
3