山西省晋中灵石县联考2025届九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份山西省晋中灵石县联考2025届九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）关于的方程有实数解，那么的取值范围是（）
A．B．C．D．且
2、（4分）某校40名学生参加科普知识竞赛（竞赛分数都是整数），竞赛成绩的频数分布直方图如图所示，成绩的中位数落在（ ）
A．50.5～60.5 分B．60.5～70.5 分C．70.5～80.5 分D．80.5～90.5 分
3、（4分）下列命题正确的个数是（ ）
（1）若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于10；（2）正六边形的每个内角都等于相邻外角的2倍；（3）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；（4）顺次连结四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形
A．1B．2C．3D．4
4、（4分）已知等腰三角形的一个角为72度，则其顶角为（ ）
A．B．
C．D．或
5、（4分）抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
6、（4分）如图，在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，则AB等于（ ）
A．9 cmB．8 cmC．7cmD．6cm
7、（4分）下列几个二次根式 ， ，，，中是最简二次根式的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
8、（4分）用四张全等的直角三角形纸片拼成了如图所示的图形，该图形（ ）
A．既是轴对称图形也是中心对称图形
B．是轴对称图形但并不是中心对称图形
C．是中心对称图形但并不是轴对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知直角三角形的两直角边、满足，则斜边上中线的长为______.
10、（4分） 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，第一步应假设_____．
11、（4分）（2014•嘉定区二模）一元二次方程x2=x的解为 ．
12、（4分）某正比例函数图象经过点(1，2)，则该函数图象的解析式为___________
13、（4分）如图, x轴正半轴上，顶点D在y轴正半轴上，反比例函数y= (x>0)的图象与正比例函数y=x的图象交于点A．BC边经过点A，CD边与反比例函数图象交于点E，四边形OACE的面积为6.则点A的坐标为_____；
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在正方形方格纸中，线段AB的两个端点和点P都在小方格的格点上，分别按下列要求画格点四边形．
（1）在图甲中画一个以AB为边的平行四边形，使点P落在AB的对边上(不包括端点)．
（2）在图乙中画一个以AB为对角线的菱形，使点P落在菱形的内部(不包括边界)．
15、（8分）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同的条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．根据图中信息，解答下列问题：
（1）算出乙射击成绩的平均数；
（2）经计算，甲射击成绩的平均数为8，乙射击成绩的方差为1.2，请你计算出甲射击成绩的方差，并判断谁的射击成绩更加稳定．
16、（8分）如图，点A在的边ON上，于点B，，于点E，，于点C．
求证：四边形ABCD是矩形.
17、（10分）如图1，，是线段上的一个动点，分别以为边，在的同侧构造菱形和菱形，三点在同一条直线上连结，设射线与射线交于.

（1）当在点的右侧时，求证：四边形是平形四边形.
（2）连结，当四边形恰为矩形时，求的长.
（3）如图2，设，，记点与之间的距离为，直接写出的所有值.
18、（10分）某校2500名学生参加“读好书、讲礼仪”活动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书，从中抽取该校八年级（1）班全体同学捐献图书的数量，绘制如下统计图：
请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）八（1）班全体同学所捐图书的中位数和众数分别是多少？
（3）估计该校2500名学生共捐书多少册？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________．
20、（4分）如图，正方形ABCD的边长是18，点E是AB边上的一个动点，点F是CD边上一点，，连接EF，把正方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在点，处，当点落在直线BC上时，线段AE的长为________．
21、（4分）如图是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为 cm．
22、（4分）如图，在平面直角坐标系中，绕点旋转得到，则点的坐标为_______．
23、（4分）已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是 .
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）解不等式组
（2）已知A＝
①化简A
②当x满足不等式组且x为整数时，求A的值．
（3）化简
25、（10分）宝安区某街道对长为20千米的路段进行排水管道改造后，需对该段路面全部重新进行修整，甲、乙两个工程队将参与施工，已知甲队每天的工作效率是乙队的2倍，若由甲、乙两队分别单独修整长为800米的路面，甲队比乙队少用5天．
（1）求甲队每天可以修整路面多少米？
（2）若街道每天需支付给甲队的施工费用为0.4万元，乙队为0.25万元，如果本次路面修整预算55万元，为了不超出预算，至少应该安排甲队参与工程多少天？
26、（12分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形．
（1）三角形三边长为4，3，；
（2）平行四边形有一锐角为45°，且面积为1．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
由于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有实数解，则根据其判别式即可得到关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．但此题要分m=2和m≠2两种情况．
【详解】
（1）当m=2时，原方程变为-2x+1=0，此方程一定有解；
（2）当m≠2时，原方程是一元二次方程，
∵有实数解，
∴△=4-4（m-2）≥0，
∴m≤1．
所以m的取值范围是m≤1．
故选：B．
此题考查根的判别式，解题关键在于分两种情况进行讨论，错误的认为原方程只是一元二次方程．
2、C
【解析】
分析：由频数分布直方图知这组数据共有40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在70.5～80.5分这一分组内，据此可得．
详解：由频数分布直方图知，这组数据共有3+6+8+8+9+6=40个，则其中位数为第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在70.5～80.5分这一分组内，所以中位数落在70.5～80.5分．故选C．
点睛：本题主要考查了频数（率）分布直方图和中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
3、C
【解析】
根据完全平方式、正六边形、平行四边形的判定判断即可
【详解】
(1)若x2+kx+25是一个完全平方式,则k的值等于±10,是假命题;
(2)正六边形的每个内角都等于相邻外角的2倍,是真命题;
(3)一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形,是真命题;
(4)顺次连结四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形,是真命题;
故选C
此题考查完全平方式、正六边形、平行四边形的判定，掌握其性质是解题关键
4、D
【解析】
分两种情况讨论：72度为顶角或为底角，依次计算即可．
【详解】
分两种情况：
①72度为顶角时，答案是72°；
②72度为底角时，则顶角度数为180°-72×2=36°．
故选D．
本题主要考查了等腰三角形的性质，已知提供的度数并没有说明其为底角还是顶角，所以需要分类讨论解决．
5、A
【解析】
7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】
由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少，
故选A．
本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟练掌握相关的定义是解题的关键.
6、B
【解析】
根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
【详解】
直角三角形中，30°所对的边的长度是斜边的一半，所以AB=2BC=8cm.
故选B．
本题考查含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练运用30度角的直角三角形的性质，本题属于基础题型．
7、A
【解析】
利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】
是最简二次根式，
则最简二次根式的有2个，
故选：A．
此题考查了最简二次根式，以及二次根式的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
8、C
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可。
【详解】
解：根据轴对称图形与中心对称图形概念，看图分析得：它是中心对称图形，但不是轴对称图形．
故选C．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念：把一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴；一个图形绕着某个点旋转180°，能够和原来的图形重合，则为中心对称图形．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、5
【解析】
根据非负数的性质得到两直角边的长，已知直角三角形的两直角边根据勾股定理计算斜边，根据斜边上的中线等于斜边的一半计算斜边中长线。
【详解】

∴a-6=0，b-8=0
∴a=6，b=8
∴
∴斜边上中线的长为5
故答案为：5
本题考查了直角三角形中勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半的性质，本题中正确运用非负数的性质是解题关键。
10、三角形的三个内角都小于60°
【解析】
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【详解】
第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．
故答案为三角形的三个内角都小于60°．
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
11、x1=0，x2=1．
【解析】
试题分析：首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
解：x2=x，
移项得：x2﹣x=0，
∴x（x﹣1）=0，
x=0或x﹣1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为：x1=0，x2=1．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
12、
【解析】
设正比例函数的解析式为y=kx，然后把点(1，2)代入y=kx中求出k的值即可．
【详解】
解：设正比例函数的解析式为y=kx，
把点(1，2)代入得，
2=k×1，
解得k=2，
∴该函数图象的解析式为：；
故答案为：．
本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，掌握待定系数法求正比例函数解析式是解题的关键．
13、 (3,2)
【解析】
把反比例函数与正比例函数的解析式组成方程组即可求出A点坐标；
【详解】
∵点A是反比例函数y= (x>0)的图象与正比例函数y=x的图象的交点，
∴，
解得 (舍去)或
∴A(3,2)；
故答案为：(3,2)
此题考查反比例函数，解题关键在于把反比例函数与正比例函数的解析式组成方程组
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）答案见解析 （2）答案见解析
【解析】
（1）根据一组对边平行且相等是平行四边形，过P作AB的平行线，使其作为平行四边形的一边，并且使这条边等于AB，端点在格点上即可.方案不唯一.
（2）根据四条边相等的四边形是菱形，由三角形全等的性质构造菱形的四条边，且使P点在菱形的内部即可.方案不唯一.
【详解】
（1）解：如下图
（2）解：如下图
本题考查了平行四边形和菱形的判定，灵活应用两者的性质画符合题意的平行四边形及菱形是解题的关键.
15、（1）8；（2）乙.
【解析】
(1)用乙10次射击的成绩之和除以10即可得；
(2)根据方差的计算方法求出甲的方差，方差小的成绩更加稳定.
【详解】
解：（1）；
（2），
∵；
∴乙的射击成绩更稳定.
故答案为(1)8；(2)乙.
本题考查了求平均数和方差，以及利用方差做判断，方差越小，数据的波动越小，更稳定.
16、详见解析
【解析】
根据全等三角形的判定和性质以及矩形的判定解答即可；
【详解】
证明：（证法不唯一）∵于点B，于点E，
∴.
在与中，
∵
∴．
∴，
∴．
又∵，，
∴．
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵，
∴四边形ABCD是矩形．
此题考查了矩形的判定与性质以及勾股定理．
17、（1）见解析；（2）FG＝；（3）d＝14或.
【解析】
（1）由菱形的性质可得AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP，由平行线的性质可得∠FPE＝∠BDP，可得PF∥BD，即可得结论；
（2）由矩形的性质和菱形的性质可得FG＝PB＝2EF＝2AP，即可求FG的长；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求d的值；点G在DP的右侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H；若点G在DP的左侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H．
【详解】
（1）∵四边形APEF是菱形
∴AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，
∵四边形PBCD是菱形
∴PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP
∴∠APE＝∠PDC
∴∠FPE＝∠BDP
∴PF∥BD，且AP∥EF
∴四边形四边形FGBP是平形四边形；
（2）若四边形DFPG恰为矩形
∴PD＝FG，PE＝DE，EF＝EG，
∴PD＝2EF
∵四边形APEF是菱形，四边形PBCD是菱形
∴AP＝EF，PB＝PD
∴PB＝2EF＝2AP，且AB＝10
∴FG=PB＝.
（3）如图，点G在DP的右侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H，
∵FE＝2EG，
∴PB＝FG＝3EG，EF＝AP＝2EG
∵AB＝10
∴AP+PB＝5EG＝10
∴EG＝2，
∴AP＝4，PB＝6＝BC，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB
∴BH＝BC＝3，CH＝BH＝3
∴AH＝13
∴AC＝＝14
若点G在DP的左侧，连接AC，过点C作CH⊥AB，交AB延长线于点H
∵FE＝2EG，
∴PB＝FG＝EG，EF＝AP＝2EG
∵AB＝10，
∴3EG＝10
∴EG＝
∴BP＝BC＝
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB
∴BH＝BC＝，CH＝BH＝
∴AH＝
∴AC＝
综上所述：d＝14或.
本题考查菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定及勾股定理的计算.
18、（1）见解析；（2）中位数是3本，众数是2本；（3）7850册
【解析】
（1）根据捐2本的人数是15人，占30%，即可求出该班学生人数，根据条形统计图求出捐4本的人数为，再画出图形即可；
（2）根据中位数的定义求出第25、26个数的平均数即可，根据众数的定义求出出现的次数最多的数即可，
（3）先求出八（1）班所捐图书的平均数，再乘以全校总人数2500即可．
【详解】
解：（1）∵被调查的总人数为15÷30%＝50人，
∴捐4册的有50﹣（10+15+7+5）＝13人，
补全图形如下：
（2）∵共有50个数，
∴八（1）班所捐图书的中位数是（2+4）÷2＝3（本），
∵2本出现了15次，出现的次数最多，
∴众数是2本；
（3）∵八（1）班所捐图书的平均数是；（1×10+2×15+4×13+5×7+6×5）÷50＝，
∴全校2500名学生共捐2500×＝7850（本），
答：全校2500名学生共捐7850册书．
本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，用到的知识点是众数、中位数、平均数．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、且
【解析】
由题意可知方程根的判别式△＞0，于是可得关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围，再结合二次项系数不为0即得答案．
【详解】
解：根据题意，得：，且，解得：且．
故答案为：且．
本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次不等式的解法，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程根的判别式和方程根的个数之间的关系是解题的关键．
20、4或1
【解析】
分两种情况：①D′落在线段BC上，②D′落在线段BC延长线上，分别连接ED、ED′、DD′，利用折叠的性质以及勾股定理，即可得到线段AE的长．
【详解】
解：分两种情况：
①当D′落在线段BC上时，连接ED、ED′、DD′，如图1所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD−CF＝10，
∴CD′＝＝6，
∴BD'＝BC−CD'＝12，
设AE＝x，则BE＝18−x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18−x）2＋122，
∴182＋x2＝（18−x）2＋122，
解得：x＝4，即AE＝4；
②当D′落在线段BC延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2所示：
由折叠可得，D，D'关于EF对称，即EF垂直平分DD'，
∴DE＝D′E，
∵正方形ABCD的边长是18，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，
∵CF＝8，
∴DF＝D′F＝CD−CF＝10，CD'＝＝6，
∴BD'＝BC＋CD'＝24，
设AE＝x，则BE＝18−x，
在Rt△AED和Rt△BED'中，
由勾股定理得：DE2＝AD2＋AE2＝182＋x2，D'E2＝BE2＋BD'2＝（18−x）2＋242，
∴182＋x2＝（18−x）2＋242，
解得：x＝1，即AE＝1；
综上所述，线段AE的长为4或1；
故答案为：4或1．
本题考查了正方形的性质、折叠变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，注意分类讨论．
21、8
【解析】
试题分析：根据图形以及等腰直角三角形的性质可得：正方形①的边长为64cm；正方形②的边长为32cm；正方形③的边长为32cm；正方形④的边长为16cm；正方形⑤的边长为16cm；正方形⑥的边长为8cm；正方形⑦的边长为8cm.
考点：等腰直角三角形的性质
22、
【解析】
连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线，两条垂直平分线交于点D，点D即为所求．
【详解】
解：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线，两条垂直平分线交点即为点D，如图，旋转中心D的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
本题考查了旋转的性质，掌握对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键．
23、15.6
【解析】
试题分析：此题考查了折线统计图和中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2=15.6（℃），
则这六个整点时气温的中位数是15.6℃．
考点：折线统计图；中位数
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1) x≤1；(2) ,1；(3) .
【解析】
（1）根据解不等式组的方法可以解答本题；
（2）①根据分式的减法可以化简A；
②根据不等式组和原分式可以确定x的值，然后代入化简后A的值即可解答本题；
（3）根据分式的减法可以化简题目中的式子．
【详解】
解：（1）
由不等式①，得
x≤1，
由不等式②，得
x＜4，
故原不等式组的解集为x≤1；
（2）①A＝,
②由不等式组，得
1≤x＜3，
∵x满足不等式组且x为整数，（x﹣1）（x+1）≠0，
解得，x＝2，
当x＝2时，A
（3）

本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和解不等式组的方法．
25、（1）1米；（2）2天
【解析】
（1）设甲队每天可以修整路面x米，则乙队每天可以修整路面x米，根据“甲、乙两队分别单独修整长为800米的路面，甲队比乙队少用5天”列出方程并解答；
（2）设应该安排甲队参与工程y天，根据“每天需支付给甲队的施工费用为0.4万元，乙队为0.25万元，如果本次路面修整预算5.5万元”列出不等式并解答．
【详解】
解：（1）设甲队每天可以修整路面x米，则乙队每天可以修整路面x米，
根据题意，得+5＝
解得x＝1．
经检验，x＝1是原方程的根，且符合题意．
答：甲队每天可以修整路面1米；
（2）设应该安排甲队参与工程y天，
根据题意，得0.4y+×0.25≤55
解得y≥2．
故至少应该安排甲队参与工程2天，．
本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键．
26、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
分析：(1)4在网格线上，3是直角边为3的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边；(2)先构造一个直角边为2的等腰直角三角形，以此为基础再构造平行四边形.
详解：(1)图(1)即为所求；
(2)图(2)即为所求.
点睛：本题考查了勾股定理，在格点中，可结合网格中的直角构造直角三角形，一般有理数可用网格线表示，无理数可表示为直角三角形的斜边，勾股定理确定它的两条直角边.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分