山西省吕梁汾阳市2025届九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】

这是一份山西省吕梁汾阳市2025届九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠ADE都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合得到图1，再将图1作为“基本图形”绕着A点经过逆时针连续旋转得到图1．两次旋转的角度分别为（ ）
A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60°
2、（4分）如图，等腰三角形的底边长为，面积是， 腰的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点，点为线段EF上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）小苏和小林在如图①所示的跑道上进行米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离（单位：）与跑步时间（单位：）的对应关系如图②所示.下列叙述正确的是（ ）.
A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点
B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度
C．小苏前跑过的路程大于小林前跑过的路程
D．小林在跑最后的过程中，与小苏相遇2次
4、（4分）炎炎夏日，甲安装队为A小区安装60台空调，乙安装队为B小区安装50台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x台，根据题意，下面所列方程中正确的是
A．B．C．D．
5、（4分）如图，菱形中，，这个菱形的周长是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD于E，若OE＝3cm，CE＝2，则矩形ABCD的周长（ ）
A．10B．15C．20D．22
7、（4分）下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若分式的值为0，则x＝_____．
10、（4分）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝2，ON＝6，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是_____．
11、（4分）将点A（1，-3）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的点A′的坐标为 ______________．
12、（4分）如图（1）所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，将△ABC沿着AC翻折得到△ADC，如图（2），将△ADC绕着点A旋转到△AD′C′，连接CD′，当CD′∥AB时，四边形ABCD的面积为_____．
13、（4分）如图，直线y＝kx+b(k≠0)经过点A(﹣2，4)，则不等式kx+b＞4的解集为______.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在△ABC中，，，，求AB的长．
15、（8分）为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量 与药物在空气中的持续时间成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题：
（1）分别求出药物燃烧时及燃烧后 关于的函数表达式．
（2）当每立方米空气中的含药量低于 时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？
（3）当室内空气中的含药量每立方米不低于 的持续时间超过分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效，并说明理由．
16、（8分）如图，，平分交于点，于点，交于点，连接，求证：四边形是菱形．
17、（10分）某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕，他将本次的销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据绘制如图所示的函数图象，其中日销售量y(千克)与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲，销售单价P(元/千克)与销售时间x（天）之间的关系如图乙．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）分别求第10天和第15天的销售金额．
（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？
18、（10分）某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务，求原计划每小时抢修道路多少米？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某校开展了“书香校园”的活动，小腾班长统计了本学期全班40名同学课外图书的阅读数量（单位：本），绘制了折线统计图（如图所示），在这40名学生的图书阅读数量中，中位数是______．
20、（4分）已知A地在B地的正南方3km处，甲、乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（km）与所行时间t(h)之间的函数关系如图所示，当他们行驶3h时，他们之间的距离为______km.
21、（4分）经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是 ．
22、（4分）若整数m满足，且，则m的值为___________.
23、（4分）计算：（2019﹣）0+（﹣1）2017+|2﹣π|+＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
25、（10分）（1）计算：；
（2）已知，求代数式的值．
26、（12分）计算：6﹣5﹣+3．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质. 图1中可知旋转角是∠EAB，再结合等腰直角三角形的性质，易求∠EAB；图1中是把图1作为基本图形，那么旋转角就是∠FAB，结合等腰直角三角形的性质易求∠FAB．
解：根据图1可知，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
即△ABC绕点A逆时针旋转45°可到△ADE；
如图，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠CAB=45°，
∴∠FAB=∠DAE+∠CAB=90°，
即图1可以逆时针连续旋转90°得到图1．
故选A．
2、C
【解析】
连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD
故选：C．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
3、D
【解析】
A.由图可看出小林先到终点，A错误；
B.全程路程一样，小林用时短，所以小林的平均速度大于小苏的平均速度，B错误；
C.第15 秒时，小苏距离起点较远，两人都在返回起点的过程中，据此可判断小林跑的路程大于小苏跑的路程，C错误；
D.由图知两条线的交点是两人相遇的点，所以是相遇了两次，正确.
故选D.
4、D
【解析】
试题分析：由乙队每天安装x台，则甲队每天安装x+2台，则根据关键描述语：“两队同时开工且恰好同时完工”，找出等量关系为：甲队所用时间=乙队所用时间，据此列出分式方程：．故选D．
5、C
【解析】
通过菱形性质及勾股定理求出边AB的值，周长为4AB即可．
【详解】
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，设AC与BD交于点O，
则AO=1，BO=2，
所以AB=．
周长为4AB=4．
故选：C．
本题主要考查了菱形的性质，解决四边形问题一般转化为三角形问题．
6、C
【解析】
由矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，OE∥BC，可得OE是△ACD的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得AD、CD的长．进而解答即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∵OE∥BC，
∴OE∥AD，
∴OE是△ACD的中位线，
∵OE＝3cm，
∴AD＝2OE＝2×3＝6（cm）．
∵CE＝2，
∴CD＝4，
∴矩形ABCD的周长＝20，
故选：C．
此题考查了矩形的性质以及三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7、A
【解析】
直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案．
【详解】
解：∵，
∴xy＝12，
A．（3，−4），此时xy＝3×（−4）＝−12，符合题意；
B、（3，4），此时xy＝3×4＝12，不合题意；
C、（2，6），此时xy＝2×6＝12，不合题意；
D、（−2，−6），此时xy＝−2×（−6）＝12，不合题意；
故选：A．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，属于基础题.
8、D
【解析】
解：A．原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A与要求不符；
B．原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B与要求不符；
C．原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与要求不符；
D．原来数据的方差==，
添加数字2后的方差==，
故方差发生了变化．
故选D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
直接利用分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案．
【详解】
∵分式的值为0，
∴x2-1=0，（x+1）（x-3）≠0，
解得：x=1．
故答案为1．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
10、2
【解析】
作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．
【详解】
作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′=．
故答案为：2．
本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．
11、 (-2，2)
【解析】
由题意根据点向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
【详解】
解：∵点A（1，-3）向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点A′，
∴点A′的横坐标为1-3=-2，纵坐标为-3+5=2，
∴A′的坐标为（-2，2）．
故答案为：（-2，2）．
本题考查坐标与图形变化-平移，注意掌握平移时点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
12、
【解析】
过点A作AE⊥AB交CD′的延长线于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可．
【详解】
解：如图（2），过点A作AE⊥AB交CD′的延长线于E，由翻折得AD＝AB＝4
∵CD′∥AB
∴∠BCE+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝90°
∴∠BCE＝90°
∵AE⊥AB
∴∠BAE＝90°
∴ABCE是矩形，AD′＝AD＝AB＝4
∴AE＝BC＝3，CE＝AB＝4，∠AEC＝90°
∴D′E＝＝
∴CD′＝CE﹣D′E＝4﹣
∴S四边形ABCD′＝（AB+CD′）•BC＝（4+4﹣）×3＝，
故答案为：．
本题考查了勾股定理，矩形性质，翻折、旋转的性质，梯形面积等，解题关键对翻折、旋转几何变换的性质要熟练掌握和运用．
13、x＞-1．
【解析】
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【详解】
观察图象知：当x＞-1时，kx+b＞4，
故答案为x＞-1．
考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、AB=9+4.
【解析】
作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=，AD=9，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵在Rt△CDA中，∠A=30°，
∴CD=AC•sin30°=3，AD=AC×cs30°=9，
∵在Rt△CDB中，
∴BD===4．
∴AB=AD+DB=9+4.
本题考查了解直角三角形．解题时，通过作CD⊥AB于D构建Rt△ACD、Rt△BCD是解题关键．
15、（1），；（2）第分至分内消毒人员不可以留在教室里；（3）本次消毒有效．
【解析】
(1)设燃烧时药物燃烧后y与x之间的解析式y=ax，药物燃烧后y与x之间的解析式y=，把点(10，8)代入即可；
(2)把y=1.6代入函数解析式，求出相应的x；
(3)把y=3.2代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与20进行比较，大于等于20就有效；
【详解】
（1）设燃烧时药物燃烧后y与x之间的解析式y=ax，点(10，8)代入，得
10a=8，
∴a=,
∴;
药物燃烧后y与x之间的解析式y=，把点(10，8)代入，得
k=80,
∴;
（2）把代入可得
把代入可得
根据图象，当时，
即从消毒开始后的第分至分内消毒人员不可以留在教室里．
（3）把代入可得
把代入可得
本次消毒有效．
本题考查一次函数、反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．
16、见解析
【解析】
根据题意首先利用ASA证明，再得出四边形是平行四边形，再利用四边相等来证明四边形是菱形即可.
【详解】
证明：∵，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中
，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
此题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键在于利用平行线的性质来求证.
17、 (1)当；(2)第10天：200元，第15天：270元；（3）最佳销售期有5天，最高为9.6元.
【解析】
（1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20，针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解；
（2）日销售金额=日销售单价×日销售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之间，当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式为p=mx+n，由点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上，利用待定系数法求得p与x的函数解析式，继而求得10天与第15天的销售金额.
（3）日销售量不低于1千克，即y≥1．先解不等式2x≥1，得x≥12，再解不等式﹣6x+120≥1，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有5天；然后根据.（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可求出在此期间销售时单价的最高值.
【详解】
解：（1）①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，
∵直线y=k1x过点（15，30），∴15k1=30，解得k1=2.
∴y=2x（0≤x≤15）；
②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，
∵点（15，30），（20，0）在y=k2x+b的图象上，
∴，解得：.
∴y=﹣6x+120（15＜x≤20）.
综上所述，可知y与x之间的函数关系式为：.
.
（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，
∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，
∵点（10，10），（20，8）在z=mx+n的图象上，，
解得：.
∴.
当x=10时，，y=2×10=20，销售金额为：10×20=200（元）；
当x=15时，，y=2×15=30，销售金额为：9×30=270（元）.
故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元.
（3）若日销售量不低于1千克，则y≥1.
当0≤x≤15时，y=2x，
解不等式2x≥1，得x≥12；
当15＜x≤20时，y=﹣6x+120，
解不等式﹣6x+120≥1，得x≤16.
∴12≤x≤16.
∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）.
∵（10≤x≤20）中＜0，∴p随x的增大而减小.
∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时=9.6（元/千克）.
故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元
考核知识点：一次函数在销售中的运用.要注意理解题意，分类讨论情况.
18、280米
【解析】
设原计划每小时抢修道路x米，根据一共用10小时完成任务列出方程进行求解即可.
【详解】
设原计划每小时抢修道路x米，
根据题意得：+=10，
解得：x=280，
经检验：x=280是原方程的解，
答：原计划每小时抢修道路280米．
本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.注意分式方程要检验.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、23
【解析】当数据个数是奇数个时，中位数是最中间的数；当数据个数是偶数个时，中位数是最中间的两个数的平均数，由折线图可知，20本的有4人；21本的有8人；23本的有20人，24本的有8人，所以中位数是23。
故答案是：23
20、1.5
【解析】
因为甲过点（0，0），（2，4），所以S甲=2t．
因为乙过点（2，4），（0，3），所以S乙=t+3，当t=3时，S甲-S乙=6-=
21、．
【解析】
试题分析：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两辆汽车都直行的结果数为1，所以则两辆汽车都直行的概率为，故答案为．
考点：列表法与树状图法．
22、，，．
【解析】
由二次根式的性质，得到，结合，即可求出整数m的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴整数m的值为：，，；
故答案为：，，．
本题考查了二次根式的性质，以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，正确得到m的取值范围．
23、π+2
【解析】
根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质计算即可．
【详解】
原式＝．
故答案为：．
本题主要考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算的顺序和法则是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）y＝x2+2x﹣1；（2）当m＝-时，PQ最长，最大值为；（1）R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R1（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣1）．
【解析】
（1)根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；
(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
(1)根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案
【详解】
解：（1）将A（1，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1得：
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣1，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣4﹣1＝﹣1，
∴D（﹣2，﹣1），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣1）代入得：
解得：
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；
因此直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣1．
（2）∵点P在直线AD上，Q抛物线上，P（m，n），
∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣1）
∴PQ的长l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣1）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
∴当m＝ 时，PQ的长l最大＝﹣（ ）2﹣（）+2＝ ．
答：线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）
当m＝时，PQ最长，最大值为．
（1）①若PQ为平行四边形的一边，则R一定在直线x＝﹣2上，如图：
∵PQ的长为0＜PQ≤的整数，
∴PQ＝1或PQ＝2，
当PQ＝1时，则DR＝1，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣2），在点D下方有R2（﹣2，﹣4）；
当PQ＝2时，则DR＝2，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；
②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，此时R与点C重合，即R5（0，﹣1）
综上所述，符合条件的点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R1（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣1）．
答：符合条件的点R共有5个，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R1（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣1）．
此题考查一元二次方程-用待定系数法求解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质，解题关键在于把已知点代入解析式
25、（1）;（2）0.
【解析】
(1)先进行二次根式的乘除法运算，然后再进行减法运算即可；
(2)将原式利用完全平方公式进行变形，然后将x的值代入进行计算即可.
【详解】
(1)原式
；
(2)原式
=
，
将代入原式得，.
本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的性质进行解题是关键．
26、2
【解析】
把同类二次根式分别合并即可.
【详解】
6﹣5﹣+3
=（6﹣5）+（﹣1+3）
=+2．
考查二次根式的加减法，二次根式加减法一般过程为：先把各个二次根式化成最简二次根式,再把同类二次根式分别合并.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分