陕西省西安市莲湖区2024年数学九上开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份陕西省西安市莲湖区2024年数学九上开学综合测试模拟试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则（）
A．2.5B．3C．2D．3.5
2、（4分）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为
A．B．10cmC．20cmD．12cm
3、（4分）下列调查中，适合普查的事件是（ ）
A．调查华为手机的使用寿命v
B．调查市九年级学生的心理健康情况
C．调查你班学生打网络游戏的情况
D．调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率
4、（4分）某中学书法兴趣小组10名成员的年龄情况如下表：
则该小组成员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．15，15B．16，15C．15，17D．14，15
5、（4分）人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：甲＝乙＝80，s＝240，s＝180，则成绩较为稳定的班级是( )．
A．甲班B．两班成绩一样稳定C．乙班D．无法确定
6、（4分）一次函数的图像与y轴交点的坐标是（ ）
A．（0，-4）B．（0，4）C．（2，0）D．（-2，0）
7、（4分）下列说法正确的是（ ）
A．了解全国中学生最喜爱哪位歌手，适合全面调查．
B．甲乙两种麦种，连续3年的平均亩产量相同，它们的方差为：S甲2＝1，S乙2＝0.1，则甲麦种产量比较稳．
C．某次朗读比赛中预设半数晋级，某同学想知道自己是否晋级，除知道自己的成绩外，还需要知道平均成绩．
D．一组数据：3，2，1，1，4，6的众数是1．
8、（4分）下面四张扑克牌其中是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积等于__.
10、（4分）若关于的方程的一个根是，则方程的另一个根是________．
11、（4分）若实数a、b满足，则=_____．
12、（4分）如图，已知点A(1，a)与点B(b，1)在反比例函数y＝(x＞0)图象上，点P(m，0)是x轴上的任意一点，若△PAB的面积为2，此时m的值是______．
13、（4分）如图，在△ABC中，∠CAB=70º，在同一平面内，将△ABC绕点逆时针旋转50º到△的位置，则∠= _________度.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，直线 与轴、轴分别交于，点的坐标为 ，是直线在第一象限内的一个动点
（1）求⊿的面积与的函数解析式，并写出自变量的取值范围？
（2）过点作轴于点, 作轴于点,连接,是否存在一点使得的长最小，若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由 ？
15、（8分）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
16、（8分）阅读下列材料，并解爷其后的问题：
我们知道，三角形的中位线平行于第一边，且等于第三边的一半，我们还知道，三角形的三条中位线可以将三角形分成四个全等的一角形，如图1，若D、E、F分别是三边的中点，则有，且
（1）在图1中，若的面积为15，则的面积为___________；
（2）在图2中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形；
（3）如图3中，已知E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，，则四边形EFGH的面积为___________.
17、（10分）如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若、分别为边、上的点，且，证明：四边形是平行四边形．
18、（10分）阅读下列材料，完成（1）、（2）小题.在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，如图1，过点、分别向轴、轴作垂线，和，，垂足分别是，，，，直线交于点，在中，，∴∴,我们称此公式为平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式
（1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，的距离为_________
（2）如图2，已知在平面直角坐标系中有两点，，为轴上任意一点，求的最小值
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，直线y=－2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经过点D，则k=_______．
20、（4分）如图，矩形ABCD中，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝8，DC＝6，则BE的长为______．
21、（4分）因式分解：_________．
22、（4分）两个全等的直角三角尺如图所示放置在∠AOB的两边上，其中直角三角尺的短直角边分别与∠AOB的两边上，两个直角三角尺的长直角边交于点P，连接OP，且OM＝ON，若∠AOB＝60°，OM＝6，则线段OP＝______．
23、（4分）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是________。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，∠B＝60．
（1）求证：ABAC；
（2）若DC＝2，求梯形ABCD的面积．
25、（10分）为了迎接“五·一”小长假的购物高峰，某运动品牌服装专卖店准备购进甲、乙两种服装，甲种服装每件进价180元，售价320元；乙种服装每件进价150元，售价280元．
(1)若该专卖店同时购进甲、乙两种服装共200件，恰好用去32400元，求购进甲、乙两种服装各多少件?
(2)该专卖店为使甲、乙两种服装共200件的总利润(利润=售价一进价)不少于26700元， 且不超过26800元，则该专卖店有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下，专卖店准备在5月1日当天对甲种服装进行优惠促销活动，决定对甲种服装每件优惠a(026、（12分）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD=AC，根据BD=AB-AD即可算出答案．
【详解】
∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD=AC，
∴AD=3，
∴BD=AB-AD=5-3=1．
故选：C．
此题考查勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
2、B
【解析】
作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS推出BC＝CD得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．
【详解】
作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR＝AS，
∵AR•BC＝AS•CD，
∴BC＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA＝ AC＝6cm，OB＝BD＝8cm，
∴AB＝ ＝10（cm），
故选：B．
本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键．
3、C
【解析】试题解析：A、调查华为手机的使用寿命适合抽样调查；
B、调查市九年级学生的心理健康情况适合抽样调查；
C、调查你班学生打网络游戏的情况适合普查；
D、调查中央电视台《中国舆论场》的节目收视率适合抽样调查，
故选C．
4、A
【解析】
10名成员的年龄中，15岁的人数最多，因此众数是15岁，从小到大排列后，处在第5，6位两个数的平均数是15岁，因此中位数是15岁.
【详解】
解：15岁出现的次数最多，是4次，因此众数是15岁，从小到大排列后处在第5、6位的都是15，因此中位数是15岁.
故选：A.
本题考查中位数、众数的意义及求法，出现次数最多的数是众数，从小到大排列后处在中间位置的一个或两个数的平均数是中位数.
5、C
【解析】
根据方差的意义判断．方差越小，波动越小，越稳定．
【详解】
∵>，
∴成绩较为稳定的班级是乙班．
故答案选C.
本题考查的知识点是方差，解题的关键是熟练的掌握方差.
6、B
【解析】
根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，在解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标，由此即可得答案.
【详解】
令x=0，得y=2×0+4=4，则函数与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选B．
7、D
【解析】
根据数据整理与分析中的抽样调查，方差，中位数，众数的定义和求法即可判断.
【详解】
A、了解全国中学生最喜爱的歌手情况时，调查对象是全国中学生，人数太多，应选用
抽样调查的调查方式，故本选项错误；
、甲乙两种麦种连续3年的平均亩产量的方差为：，，因方差越小越稳定，则乙麦种产量比较稳，故本选项错误；
、某次朗读比赛中预设半数晋级，某同学想知道自己是否晋级，除知道自己的成绩外，还需要知道这次成绩的中位数，故本选项错误；
、.一组数据：3，2，1，1，4，6的众数是1，故本选项正确；.
故选.
本题考查了数据整理与分析中的抽样调查，方差，中位数，众数，明确这些知识点的概念和求解方法是解题关键.
8、B
【解析】
根据中心对称图形的概念即可求解
【详解】
解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，难度一般．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2
【解析】
E是AD的中点S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACDS△BCE=S△ABC=4；
F为CE中点S△BEF=S△BCE=.
【详解】
解：∵E是AD的中点，∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，∴S△BDE + S△CDE =S△ABC= （cm2），即S△BCE=4（cm2）. ∵F为CE中点，∴S△BEF=S△BCE=（cm2）.故答案为2.
本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键.
10、-2
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.
【详解】
设方程的另一个根为x1，
∵方程的一个根是，
∴x1+0=﹣2，即x1=﹣2.
故答案为：﹣2.
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），
韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1x2=.
11、﹣
【解析】
根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则=﹣．故答案是﹣．
12、﹣1或3
【解析】
把点A(1，a)与点B(b，1)代入反比例函数y＝(x＞0)，求出A,B坐标，延长AB交x轴于点C，如图2，设直线AB的解析式为y＝mx+n，求出点C的坐标，用割补法求出PC的值，结合点C的坐标即可.
【详解】
解：∵点A(1，a)与点B(b，1)在反比例函数y＝(x＞0)图象上，
∴a＝2，b＝2，
∴点A(1，2)与点B(2，1)，
延长AB交x轴于点C，如图2，
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
则有，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1．
∵点C是直线y＝﹣x+1与x轴的交点，
∴点C的坐标为(1，0)，OC＝1，
∵S△PAB＝2，
∴S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC＝×PC×2﹣×PC×1＝PC＝2，
∴PC＝2．
∵C(1，0)，P(m，0)，
∴|m﹣1|＝2，
∴m＝﹣1或3，
故答案为：﹣1或3．
本题考查的是反比例函数，熟练掌握反比例函数图像上点的特征是解题的关键.
13、10
【解析】
根据旋转的性质找到对应点、对应角进行解答．
【详解】
∵△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=50°，
又∵∠BAC=70°，
∴∠CAB′=∠BAC-∠BAB′=1°．
故答案是：1．
本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点--旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2）的最小值为
【解析】
分析：本题的⑴问直接根据坐标来表示⊿的底边和底边上的高，利用三角形的面积公式得出函数解析式；
本题的⑵抓住四边形是矩形，矩形的对角线相等即 ，从而把转化到上来解决，当的端点运动到 时最短，以此为切入点，问题可获得解决.
详解：⑴.∵的坐标为 ，是直线在第一象限的一个动点，且轴.
∴,
∴ 整理得：
自变量的取值范围是：
⑵. 存在一点使得的长最小.
求出直线与轴交点的坐标为 , 与轴交点的坐标为
∴ ∴
根据勾股定理计算： .
∵轴, 轴，轴 轴
∴
∴四边形是矩形 ∴
当的端点运动到（实际上点恰好是的中点）时
的最短（垂线段最短）（见示意图）
又∵ ∴点为线段中点（三线合一）
∴ （注：也可以用面积方法求解）
∴ 即的最小值为
点睛：本题的⑴问直接利用三角形的面积公式并结合点的坐标可以求解析式；本题的⑵问要打破平时求最小值的思路，把问题进行转化，通过求 的最小值来得到 的最小值，构思巧妙！
15、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根据AD∥BC即可得证；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得证．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC、AD∥BC，∴∠ABD=∠CDB，∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC，∴∠EBD=∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，∵BE平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，∴∠EDB=∠EBD=30°，∴EB=ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．
考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；探究型．
16、（1）；（2）见解析；（3）1．
【解析】
（1）由三角形中位线定理得出DF∥BC，且DF=BC，△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD，得出△DEF的面积=△ABC的面积=即可；
（2）连接BD，证出EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，得出EH∥FG，EH=FG，即可得出结论；
（3）证出EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，由三角形中位线定理得出EH∥BD，EH=BD= ，FG∥BD，FG=BD，得出EH∥FG，EH=FG，证出四边形EFGH是平行四边形，同理：EF∥AC，EF=AC=2，证出EH⊥EF，得出四边形EFGH是矩形，即可得出结果．
【详解】
（1）解：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
则有DF∥BC，且DF=BC，△ADF≌△DBE≌△FEC≌△EFD，
∴△DEF的面积=△ABC的面积=；
故答案为；
（2）证明：连接BD，如图2所示：
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（3）解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，
∴EH∥BD，EH=BD=，FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理：EF∥AC，EF=AC=2，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积=EH×EF=×2=1．
故答案为（1）；（2）见解析；（3）1．
本题是四边形综合题目，考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
17、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）利用给出的条件证明即可解答.
(2)先求出，再利用对边平行且相等的判定定理进行证明即可解答.
【详解】
（1）四边形是平行四边形，
，．
．
于，于，
，
，，
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，且，
，
，且
四边形是平行四边形
本题考查三角形全等的证明和平行四边形的判定，掌握其证明和判定方法是解题关键.
18、（1）5；（2）
【解析】
（1）利用两点间的距离公式解答；
（2）作点关于轴对称的点，连接，交轴于，点即为所求，再利用两点间的距离公式求解即可。
【详解】
解：（1）
故答案为：5
（2）如图2，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，点即为所求．
∵∴
∴
∴的最小值为
本题考查了一次函数综合题．解答（2）题时，是根据“两点之间，线段最短”来找点P的位置的．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1.
【解析】
试题分析：作DE⊥x轴，垂足为E，连OD．可以证出△BOA≌△AED，得到AE=BO，AO=DE，所以S△DOE=•OE•DE=×1×1=，∴k=×2=1．
故答案为1．
考点：反比例函数综合题．
20、
【解析】
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°．
∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，
∴∠DAC=∠D′AC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．
∴∠D′AC=∠ACB．
∴AE=EC．
设BE=x，则EC=8-x，AE=8-x．
∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
∴62+x2=（8-x）2，解得x=，即BE的长为.
故答案是：.
21、
【解析】
直接提取公因式即可．
【详解】
．
故答案为：．
本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键．
22、
【解析】
根据HL定理证明，求得，根据余弦求解即可；
【详解】
∵OM=ON，OP=OP，，
∴，
∵∠AOB＝60°，
∴，
∵OM＝6，
∴．
故答案是．
本题主要考查了直角三角形的性质应用，结合三角函数的应用是解题的关键．
23、
【解析】
根据根的判别式和已知得出（﹣3）2﹣4c＝0，求出方程的解即可．
【详解】
∵一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4c＝0，
解得：c＝，故答案为.
本题考查根的判别式和解一元一次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）利用等腰梯形的性质可求得，再利用平行的性质及等边对等角可求出，然后根据三角形内角和即可求出，从而得到结论；
（2）过点作于点，利用含30°角的直角三角形的性质可求出BE、BC，根据勾股定理求出AE，然后利用面积公式进行计算即可．
【详解】
证明：（1）∵，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴．
本题考查了等腰梯形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等边对等角及勾股定理，需要熟记基础的性质定理，熟练应用．
25、（1）购进甲、乙两种服装2件、1件（2）共有11种方案（3）购进甲种服装70件，乙种服装130件
【解析】
（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，根据两种服装共用去32400元，即可列出方程，从而求解．
（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据总利润（利润=售价-进价）不少于26700元，且不超过2620元，即可得到一个关于y的不等式组，解不等式组即可求得y的范围，再根据y是正整数整数即可求解．
（3）首先求出总利润W的表达式，然后针对a的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案．
【详解】
解：（1）设购进甲种服装x件，则乙种服装是（200－x）件，
根据题意得：12x＋150（200－x）=32400，
解得：x=2，200－x=200－2=1．
∴购进甲、乙两种服装2件、1件．
（2）设购进甲种服装y件，则乙种服装是（200－y）件，根据题意得：
，解得：70≤y≤2．
∵y是正整数，∴共有11种方案．
（3）设总利润为W元，则W=（140－a）y+130（200－y），即w=（10－a）y+3．
①当0＜a＜10时，10－a＞0，W随y增大而增大，
∴当y=2时，W有最大值，此时购进甲种服装2件，乙种服装1件．
②当a=10时，（2）中所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以．
③当10＜a＜20时，10－a＜0，W随y增大而减小，
∴当y=70时，W有最大值，此时购进甲种服装70件，乙种服装130件．
26、-7＜≤1.数轴见解析.
【解析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可.
【详解】
解：
解不等式①，得≤1
解不等式②，得＞-7
∴不等式组的解集为-7＜≤1.
在数轴上表示不等式组的解集为
故答案为-7＜≤1.
本题考查了解一元一次不等式组，熟知“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不了“的原则是解此题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
年龄/岁
14
15
16
17
人数
3
4
2
1