四川省江油实验学校2024-2025学年数学九上开学联考模拟试题【含答案】

这是一份四川省江油实验学校2024-2025学年数学九上开学联考模拟试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则a的取值范围是（ ）
A．a≠3B．a＞0C．a＜3D．0＜a＜3
2、（4分）若，是函数图象上的两点，当时，下列结论正确的是
A．B．C．D．
3、（4分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF交于点H．下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH•PC，其中正确的结论是
A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④
4、（4分）下列各组数据中，能构成直角三角形的三边边长的是（ ）
A．l，2，3B．6，8，10C．2，3,4D．9，13，17
5、（4分）有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（ ）
A．10B．C．D．2
6、（4分）下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）如图，已知函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）某课外兴趣小组为了解所在地区老年人的健康情况，分别作了四种不同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是（ ）
A．调查了10名老年邻居的健康状况
B．在医院调查了1000名老年人的健康状况
C．在公园调查了1000名老年人的健康状况
D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，如果 AD＝4，BC＝8 ，∠B ＝60° ，那么这个等腰梯形的腰 AB 的长等于____．
10、（4分）已知a＝﹣，b＝+，求a2+b2的值为_____．
11、（4分）计算：＝________．
12、（4分）已知关于x的方程x2+（3﹣2k）x+k2+1＝0的两个实数根分别是x1、x2，当|x1|+|x2|＝7时，那么k的值是__．
13、（4分）（-4）2的算术平方根是________ 64的立方根是 _______
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）阅读材料，回答问题：
材料：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
分解因式：（1）；
（2）．
15、（8分）解方程：x2﹣4x+3=1．
16、（8分）如图，已知二次函数的图象顶点在轴上，且，与一次函数的图象交于轴上一点和另一交点.
求抛物线的解析式；
点为线段上一点，过点作轴，垂足为，交抛物线于点，请求出线段的最大值.
17、（10分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
18、（10分）暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升.
(1)已知油箱内余油量y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数，求y与x的函数关系式；
(2)当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一天，小明放学骑车从学校出发路过新华书店买了一本课外书再骑车回家，他所行驶的路程s与时间t的关系如图，则经18分钟后，小明离家还有____千米.
20、（4分）某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小桐的三项成绩(百分制)依次为95，90，1．则小桐这学期的体育成绩是__________．
21、（4分）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC， AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E，且 AB=10cm，则△DEB 的周长是_____cm．
22、（4分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
23、（4分）如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．
求证：AE∥CF．
25、（10分）阅读下列材料：
在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．
下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；
（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．
26、（12分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，AB⊥y轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．
（1）若OA＝8，求k的值；
（2）若CB＝BD，求点C的坐标．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
由一次函数图象经过第二、三、四象限，利用一次函数图象与系数的关系，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限，
∴，
解得：0＜a＜1．
故选：D．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
2、A
【解析】
把点P1(x1，y1)，P1(x1，y1)代入得，，则．
∵x1＞x1＞0，
∴，，，
即0＜y1＜y1．故选A．
3、C
【解析】
由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【详解】
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
∴BE=2AE；故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=30°，而∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不会相似；故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2=PH∙PC，故④正确；
故选C．
4、B
【解析】
根据勾股定理逆定理即可求解.
【详解】
A. 12+22=5，32=9，故不能构成直角三角形；
B. 62+82=102，故为直角三角形；
C. 22+32≠42，故不能构成直角三角形；
D. 92+132≠172，故不能构成直角三角形；
故选B.
此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理.
5、D
【解析】
∵3、a、4、6、7，它们的平均数是5，
∴（3+a+4+6+7）=5，
解得，a=5
S2=[（3-5）2+（5-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（7-5）2]
=2，
故选D．
6、B
【解析】
最简二次根式必须满足以下两个条件:1.被开方数的因数是（整数）,因式是（ 整式 ）（分母中不含根号）2.被开方数中不含能开提尽方的（ 因数 ）或（ 因式 ）.
【详解】
A. =3, 不是最简二次根式；
B. ，最简二次根式；
C. =,不是最简二次根式；
D. =,不是最简二次根式.
故选：B
本题考核知识点：最简二次根式.解题关键点：理解最简二次根式条件.
7、A
【解析】
先将点A（m，4）代入y=-2x，求出m的值，再由函数的图象可以看出当x＞m时，一次函数y=kx+b的图象在y=-2x的上方，即可得出答案．
【详解】
将点A（m，4）代入y=-2x，
得-2m=4，
解得m=-2,
则点A（-2，4），
当x＞-2时，一次函数y=kx+b的图象在y=-2x的上方，即．
故选：A．
本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象得出当x＞-2时是解答此题的关键．
8、D
【解析】
抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
【详解】
解：A、调查不具广泛性，故A不符合题意；
B、调查不具代表性，故B不符合题意；
C、调查不具代表性，故C不符合题意；
D、样本具有广泛性与代表性，故D符合题意；
故选：D．
本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、4
【解析】
过A作AE∥DC，可得到平行四边形AECD，从而可求得BE的长，由已知可得到△ABE是等边三角形，此时再求AB就不难求得了．
【详解】
借钱：过作AE∥DC,交BC于E，
在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,
∴四边形AECD是平行四边形
∴AB=AE,CE=AD=4
∵∠B=60°，AB=AE,
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=BE
∵BE=BC-EC=8-4=4
∴AB=4.
故答案为:4
本题考查平行四边形的性质和等边三角形的判定与性质.
10、1
【解析】
把已知条件代入求值．
【详解】
解：原式＝
＝．
故答案是：1．
直接代入即可，也可先求出a+b、ab的值，原式＝（a+b）2﹣2ab，再整体代入．
11、7
【解析】
根据平方差公式展开，再开出即可；
【详解】
=
=
=7.
故答案为7.
本题考查了二次根式的化简，主要考查学生的计算和化简能力，题目比较好，难度适中．
12、﹣1．
【解析】
先根据方程有两个实数根，确定△≥0，可得k≤，由x1•x1=k1+1＞0，可知x1、x1，同号，分情况讨论即可．
【详解】
∵x1+（3﹣1k）x+k1+1＝0的两个实数根分别是x1、x1，
∴△＝（3﹣1k）1﹣4×1×（k1+1）≥0，
9﹣11k+4k1﹣4k1﹣4≥0，
k≤，
∵x1•x1＝k1+1＞0，
∴x1、x1，同号，
分两种情况：
①当x1、x1同为正数时，x1+x1＝7，
即1k﹣3＝7，
k＝5，
∵k≤，
∴k＝5不符合题意，舍去，
②当x1、x1同为负数时，x1+x1＝﹣7，
即1k﹣3＝﹣7，
k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
本题考查了根与系数的关系和根的判别式．解此题时很多学生容易顺理成章的利用两根之积与和公式进行解答，解出k值，而忽略了限制性条件△≥0时k≤．
13、 4, 4
【解析】【分析】根据算术平方根和立方根的意义可求解.
【详解】因为42=16，43=64，
所以，（-4）2的算术平方根是4, 64的立方根是4.
故答案为：(1). 4, (2). 4
【点睛】本题考核知识点：算术平方根，立方根. 解题关键点：理解算术平方根，立方根的定义.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）
【解析】
（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；
（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可.
【详解】
解：（1）
．
（2）
．
本题考查的是分组分解法因式分解，掌握分组分解法、公式法的一般步骤是解题的关键．
15、x1=1，x2=2．
【解析】
试题分析：本题考查了一元二次方程的解法，用十字相乘法分解因式求解即可.
解：x2﹣4x+2=1
（x﹣1）（x﹣2）=1
x﹣1=1，x﹣2=1
x1=1，x2=2．
16、 (1) ；（2）线段的最大值为.
【解析】
（1）根据题意首先计算A、B点的坐标，设出二次函数的解析式，代入求出参数即可.
（2）根据题意设F点的横坐标为m,再结合抛物线和一次函数的解析式即可表示F、D的纵坐标，所以可得DF的长度，使用配方法求解出最大值即可.
【详解】
解：，二次函数与一次函数的图象交于轴上一点，
点为，点为.
二次函数的图象顶点在轴上.
设二次函数解析式为.
把点代入得，
.
抛物线的解析式为，即.
设点坐标为，点坐标为.
.
当时，即，解得.
点为线段上一点,
.
当时，线段的最大值为.
本题主要考查二次函数的性质，关键在于利用配方法求解抛物线的最大值，这是二次函数求解最大值的常用方法,必须熟练掌握.
17、（1）A型：100元，B型：150元；（2）①y=-50x+15000；②34台A型电脑和66台B型，利润最大，最大利润是1元
【解析】
（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【详解】
解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得，
解得．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）①根据题意得，y=100x+150（100-x），
即y=-50x+15000；
②据题意得，100-x≤2x，
解得x≥33，
∵y=-50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66，
此时最大利润是y=-50×34+15000=1．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是1元．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
18、（1）设y=kx+b,当x=0时，y=2,当x=150时，y=1．
∴ 150k+b=1 b="2"
解得
∴y=x+2．
（2）当x=400时，y=×400+2=5＞3．
∴他们能在汽车报警前回到家．
【解析】
（1）先设出一次函数关系式，再根据待定系数法即可求得函数关系式；
（2）把x=400代入一次函数关系式计算出y的值即可得到结果．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、0.1
【解析】
根据待定系数法确定函数关系式，进而解答即可．
【详解】
解：设当15≤t≤20时，s关于t的函数关系式为s＝kt+b，
把（15，2）（20，3.5）代入s＝kt+b，可得：，
解得：，
所以当15≤t≤20时，s关于t的函数关系式为s＝0.3t﹣2.5，
把t＝18代入s＝0.3t﹣2.5中，可得：s＝2.9，
3.5﹣2.9＝0.1，
答：当t＝18时，小明离家路程还有0.1千米．
故答案为0.1．
本题考查了一次函数的图象的性质的运用，行程问题的数量关系速度＝路程÷时间的运用，解答时理解清楚函数图象的数据的含义是关键.
20、2．5
【解析】
根据题意，求小桐的三项成绩的加权平均数即可．
【详解】
95×20%+90×30%+1×50%=2.5（分），
答：小桐这学期的体育成绩是2.5分．
故答案是：2.5
本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的意义，是解题的关键．
21、10
【解析】
试题分析：根据角平分线的性质可得：CD=DE，△ACD和△AED全等，则AE=AC，根据AC=BC可知AE=BC，则△DEB的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=10cm.
22、x＞2019
【解析】
根据二次根式的定义进行解答.
【详解】
在实数范围内有意义，即x-2019 0，所以x的取值范围是x 2019.
本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是本题解题关键.
23、（0，）
【解析】
作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；E点坐标即为直线A'D与y轴的交点；
【详解】
解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，
此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；
∵A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，
∴D（﹣2，0），
由对称可知A'（4，5），
设A'D的直线解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴，
∴E（0，）；
故答案为（0，）；
本题考查矩形的性质，线段的最短距离；能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE的最短距离转化为线段A'D的长是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、证明见解析
【解析】
试题分析：通过全等三角形△ADE≌△CBF的对应角相等证得∠AED=∠CFB，则由平行线的判定证得结论．
证明：∵平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF．
∵在△ADE与△CBF中，AD=BC，∠ADE=∠CBF， DE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．∴∠AED=∠CFB．
∴AE∥CF．
25、（1）C；（2）（x﹣2）1；（3）（x+1）1．
【解析】
（1）根据完全平方公式进行分解因式；
（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；
（3）根据材料，用换元法进行分解因式．
【详解】
（1）故选C；
（2）（x2﹣1x+1）（x2﹣1x+7）+9，设x2﹣1x=y，则：
原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+1）2=（x2﹣1x+1）2=（x﹣2）1．
故答案为：（x﹣2）1；
（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）1．
本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．
26、（1）1；（2）（3，2）
【解析】
（1） 过C作CM⊥AB，CN⊥y轴，利用勾股定理求出CM的长，结合OA的长度，则C点坐标可求，因C在图象上，把C点代入反比例函数式求出k即可；
（2）已知CB=BD，则AD长可求，设OA=a, 把C、D点坐标用已知数或含a的代数式表示，因C、D都在反比例函数图象上，把C、D坐标代入函数式列式求出a值即可.
【详解】
（1）解：过C作CM⊥AB，CN⊥y轴，垂足为M、N，
∵CA＝CB＝5，AB＝6，
∴AM＝MB＝3＝CN，
在Rt△ACD中，CD＝ ＝4，
∴AN＝4，ON＝OA﹣AN＝8﹣4＝4，
∴C（3，4）代入y＝ 得：k＝1，
答：k的值为1．
（2）解：∵BC＝BD＝5，
∴AD＝6﹣5＝1，
设OA＝a，则ON＝a﹣4，C（3，a﹣4），D（1，a）
∵点C、D在反比例函数的图象上，
∴3（a﹣4）＝1×a，
解得：a＝6，
∴C（3，2）
答：点C的坐标为（3，2）
本题主要考查反比例函数的几何应用，解题关键在于能够做出辅助线，利用勾股定理解题.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人