四川省绵阳富乐园际学校2024-2025学年九年级数学第一学期开学经典模拟试题【含答案】

这是一份四川省绵阳富乐园际学校2024-2025学年九年级数学第一学期开学经典模拟试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）将抛物线平移，使它平移后图象的顶点为，则需将该抛物线（ ）
A．先向右平移个单位，再向上平移个单位B．先向右平移个单位，再向下平移个单位
C．先向左平移个单位，再向上平移个单位D．先向左平移个单位，再向下平移个单位
3、（4分）若，则的值为( )
A．14B．16C．18D．20
4、（4分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．9，12，15C．，2，D．0.3，0.4，0.5
5、（4分）一次函数y＝ax＋1与y＝bx－2的图象交于x轴上同一个点，那么a∶b的值为( )
A．1∶2 B．－1∶2 C．3∶2 D．以上都不对
6、（4分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知AD＝10，BD＝14，AC＝8，则△OBC的周长为（ ）
A．16B．19C．21D．28
7、（4分）如图，描述了林老师某日傍晚的一段生活过程：他晚饭后，从家里散步走到超市，在超市停留了一会儿，马上又去书店，看了一会儿书，然后快步走回家，图象中的平面直角坐标系中x表示时间，y表示林老师离家的距离，请你认真研读这个图象，根据图象提供的信息，以下说法错误的是( )
A．林老师家距超市1.5千米
B．林老师在书店停留了30分钟
C．林老师从家里到超市的平均速度与从超市到书店的平均速度是相等的
D．林老师从书店到家的平均速度是10千米／时
8、（4分）如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝CD，BC＝AC，∠BAD＝110°，则∠D＝（）
A．140°B．120°C．110°D．100°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）数据6，5，7，7，9的众数是 ．
10、（4分）如图，已知△ABC∽△ADB，若AD＝2，CD＝2，则AB的长为_____．
11、（4分）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示）_____．
12、（4分）参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x人参加同学聚会．列方程得____．
13、（4分）如图为某班35名学生投篮成绩的条形图，其中上面部分数据破损导致数据不完全，已知此班学生投篮成绩的中位数是5，下列选项正确的是_______.
①3球以下（含3球）的人数；②4球以下（含4球）的人数； ③5球以下（含5球）的人数；④6球以下（含6球）的人数.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）为提高市民的精神生活美化城市环境，城市管理局从外地新进一批绿化树苗，现有两种运输方式可供选择，
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费500元，另外每公里再加收5元；
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费900元，另外每公里再加收3元.
（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用为（元）、（元）与运输路程（公里）之间的函数关系式；
（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？
15、（8分）为弘扬中华传统文化，了解学生整体听写能力，某校组织全校1000名学生进行一次汉字听写大赛初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图：
（1）表中的a=______，b=______，c=______；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图；
（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加进入决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．
16、（8分）在平面直角坐标中，边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A、C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点 O 在原点.现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，当 A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线 y=x于点 M，BC 边交 x 轴于点 N（如图）.
（1）求边 OA 在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，求正方形 OABC 旋转的度数；
（3）试证明在旋转过程中, △MNO 的边 MN 上的高为定值；
（4）设△MBN 的周长为 p，在旋转过程中，p 值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出 p 的值.
17、（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=1．
求证：四边形ABCD是矩形．
18、（10分）如图，， 点分别在线段上，且
求证:
已知分别是的中点，连结
①若，求的度数:
②连结当的长为何值时，四边形是矩形?
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.5环，方差分别是S甲2=0.90平方环，S乙2=1.22平方环，在本次射击测试中，甲、乙两人中成绩较稳定的是__．
20、（4分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，A（-10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是 ______ ．
21、（4分）双曲线，在第一象限的图象如图，过上的任意一点，作轴的平行线交于点，交轴于点，若，则的值为__________．
22、（4分）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于_____．
23、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，AD∥BC，AC⊥AB，AB＝3，AC＝CD＝1．
（1）求BC的长；
（1）求BD的长．
25、（10分）如图1，在中，，,，以OB为边，在外作等边，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）连接AC，BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH；
（3）在（2）的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形APMN：
①M点的坐标为 ．
②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积（图中阴影部分）．
26、（12分）如图，在四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为F，分别过点B作直线BE∥AD，过点A作直线EA⊥AC于点A，两直线交于点E．
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）如果∠ABE=∠ABD=60°，AD=2，求AC的长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】
A、是二次根式，故此选项正确；
B、，根号下不能是负数，故不是二次根式；
C、是立方根，故不是二次根式；
D、，根号下不能是负数，故不是二次根式；
故选A．
本题考查了二次根式的定义：形如（a≥0）叫二次根式．
2、C
【解析】
先把抛物线化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【详解】
∵抛物线可化为
∴其顶点坐标为：(2,−1)，
∴若使其平移后的顶点为(−2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位．
故选C.
本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.
3、C
【解析】
先将移项得：，然后两边平方，再利用完全平方公式展开，整理即可得解.
【详解】
∵ ，∴，∴，
∴ ，
故选C.
本题考查了完全平方公式，牢牢掌握平方公式是解决本题的关键.
4、C
【解析】
通过边判断构成直角三角形必须满足，两短边的平方和=长边的平方.即通过勾股定理的逆定理去判断.
【详解】
A. ，能构成直角三角形
B.，构成直角三角形
C. ，不构成直角三角形
D. ，构成直角三角形
故答案为C
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的的三边满足 ，那么这个三角形为直角三角形.
5、B
【解析】
试题分析：先根据x轴上的点的横坐标相等表示出x的值，再根据相交于同一个点，则x值相等，列式整理即可得解．
解：∵两个函数图象相交于x轴上同一个点，
∴y=ax+1=bx﹣1=0，
解得x=﹣=，
所以=﹣，
即a：b=（﹣1）：1．
故选B．
6、C
【解析】
由平行四边形的性质得出OA＝OC＝4，OB＝OD＝7，BC＝AD＝10，即可求出△OBC的周长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝7，BC＝AD＝10，
∴△OBC的周长＝OB+OC+AD＝4+7+10＝1．
故选：C．
本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
7、D
【解析】
分析：
根据图象中的数据信息进行分析判断即可.
详解：
A选项中，由图象可知：“林老师家距离超市1.5km”，所以A中说法正确；
B选项中，由图象可知：林老师在书店停留的时间为；80-50=30（分钟），所以B中说法正确；
C选项中，由图象可知：林老师从家里到超市的平均速度为：1500÷30=50（米/分钟），林老师从超市到书店的平均速度为：（2000-1500）÷（50-40）=50（米/分钟），所以C中说法正确；
D选项中，由图象可知：林老师从书店到家的平均速度为：2000÷（100-80）=100（米/分钟）=6（千米/时），所以D中说法错误.
故选D.
点睛：读懂题意，“弄清函数图象中每个转折点的坐标的实际意义”是解答本题的关键.
8、D
【解析】
根据平行线的性质求出∠B，根据等腰三角形性质求出∠CAB，推出∠DAC，求出∠DCA，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】
解：∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠BAD=110°
∴∠B=70°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC=70°，
∴∠DAC=110°-70°=40°，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA=40°，
∴∠D=180°-∠DAC-∠DCA=100°，
故选：D．
本题考查了梯形，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1．
【解析】
试题分析：数字1出现了2次，为出现次数最多的数，故众数为1，故答案为1．
考点：众数．
10、2．
【解析】
利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
∵△ABC∽△ADB，
∴,
∴AB2＝AD•AC＝2×4＝8，
∵AB＞0，
∴AB＝2，
故答案为：2．
此题考查相似三角形的性质定理，相似三角形的对应边成比例.
11、
【解析】
【分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有2＜＜3，这样就可得到满足条件的无理数．
【详解】∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
即为比2大比3小的无理数．
故答案为：．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键．
12、 x（x﹣1）=1
【解析】
利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x（x-1）解决问题即可．
【详解】
由题意列方程得，
x（x-1）=1．
故答案为：x（x-1）=1．
本题考查了一元二次方程的应用，熟知x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为 x（x-1）这一基本数量关系是解题的关键.
13、①②④
【解析】
根据题意和条形统计图中的数据可以求得各个选项中对应的人数，从而可以解答本题．
【详解】
因为共有35人，而中位数应该是第18个数，所以第18个数是5，从图中看出第四个柱状图的范围在6以上，所以投4个球的有7人．可得：3球以下（含3球）的人数为10人，4球以下（含4球）的人数10+7=17人，6球以下（含6球）的人数35-1=1．故只有5球以下（含5球）的人数无法确定．
故答案为①②④
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．同时理解中位数的概念．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2）当运输路程等于200千米时，，用两种运输方式一样；当运输路程小于200千米时，，用邮车运输较好；当运输路程大于200千米时，，用火车运输较好.
【解析】
（1）根据方式一、二的收费标准即可得出y1（元）、y2（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系式．
（2）比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同选择合适的运输方式．
【详解】
解：（1）由题意得：，；
（2）令，解得，
∴当运输路程等于200千米时，，用两种运输方式一样；
当运输路程小于200千米时，，用邮车运输较好；
当运输路程大于200千米时，，用火车运输较好.
此题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意所述两种运输方式的收费标准，得出总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（公里）关系式．
15、（1）14；0.08；4；（2）详见解析；（3）80.
【解析】
（1）根据频率分布表确定出总人数，进而求出a，b，c的值即可；
（2）把上面的频数分布直方图补充完整，并画出频数分布折线图，如图所示；
（3）根据样本中90分及90分以上的百分比，乘以1000即可得到结果．
【详解】
解：（1）根据题意得：a=6÷0.12×0.28=14，b=1﹣（0.12+0.28+0.32+0.20）=0.08，c=6÷0.12×0.08=4；
故答案为：14；0.08；4；
（2）频数分布直方图、折线图如图，

（3）根据题意得：1000×（4÷50）=80（人），
则你估计该校进入决赛的学生大约有80人．
此题考查了频数（率）分布折线图，用样本估计总体，频数（率）分布表，以及频数（率）分布直方图，弄清题中的数据是解本题的关键.
16、（1）OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ；（1）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形 OABC 旋转的度数为 25°-11.5°=11.5 度;（3）MN 边上的高为 1（2）在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值无变化．见解析.
【解析】
（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H，如图1，易证∠MOH=25°，然后运用扇形的面积公式就可求出边OA在旋转过程中所扫过的面积．
（1）根据正方形和平行线的性质可以得到AM=CN，从而可以证到△OAM≌△OCN．进而可以得到∠AOM=∠CON，就可算出旋转角∠HOA的度数．
（3）过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图1，易证△OAE≌△OCN，从而得到OE=ON，AE=CN，进而可以证到△OME≌△OMN，从而得到∠OME=∠OMN，然后根据角平分线的性质就可得到结论．
（2）由△OME≌△OMN（已证）可得ME=MN，从而可以证到MN=AM+CN，进而可以推出p=AB+BC=2，是定值．
【详解】
解：（1）过点M作MH⊥y轴，垂足为H，如图1，
∵点M在直线y=x上，
∴OH=MH．
在Rt△OHM中，
∵tan∠MOH= =1，
∴∠MOH=25°．
∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，
∴OA旋转了25°．
∵正方形OABC的边长为1，
∴OA=1．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 =0.5π．∵A 点第一次落在直线 y=x 上时停止旋转，∴OA 旋转了 25 度．
∴OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ．
（1）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=25°，∠BNM=∠BCA=25 度．
∴∠BMN=∠BNM．BM=BN．
又∵BA=BC，AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，
∴△OAM ≌△OCN．∴∠AOM=∠CON．
∴∠AOM= 1/1（90°-25°）=11.5 度．
∴旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形 OABC 旋转的度数为 25°-11.5°=11.5 度．
（3）证明：过点O作OF⊥MN，垂足为F，延长BA交y轴于E点，如图1，
则∠AOE=25°-∠AOM，∠CON=90°-25°-∠AOM=25°-∠AOM．
∴∠AOE=∠CON．
在△OAE和△OCN中，
．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴∠OME=∠OMN．
∵MA⊥OA，MF⊥OF，
∴OF=OA=1．
∴在旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值．MN 边上的高为 1；
（2）在旋转正方形OABC的过程中，p值不变化．
证明：延长 BA 交 y 轴于 E 点，则∠AOE=25°-∠AOM，
∠CON=90°-25°-∠AOM=25°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE ≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=25°，OM=OM，
∴△OME ≌△OMN．
∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值无变化．
故答案为：（1）OA 在旋转过程中所扫过的面积为 0.5π ；（1）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时，正方形 OABC 旋转的度数为 25°-11.5°=11.5 度;（3）MN 边上的高为 1（2）在旋转正方形 OABC 的过程中，p 值无变化．见解析.
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、扇形的面积公式、等腰三角形的判定、特殊角的三角函数值等知识，有一定的综合性．而本题在图形旋转的过程中探究不变的量，渗透了变中有不变的辩证思想．
17、详见解析.
【解析】
已知AB∥CD，∠BAD=90°，由平行线的性质可得∠ADC=90°，在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=1，根据勾股定理的逆定理得出∠B=90°，即可得四边形ABCD是矩形．
【详解】
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°，
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=1，
∵12=52+122，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
18、（1）详情见解析；（2）①15°，②
【解析】
（1）通过证明△ABD≅△ACE进一步求证即可；
（2）①连接AF、AG，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出AF=BD=BF，AG=CE=GC，由此进一步证明△AFG为等边三角形，最后利用△ABF≅△ACG进一步求解即可；②连接BC，再连接EF、DG并延长分别交BC于点M、N，首先根据题意求得BM=DE=NC，然后利用△ABC~△AED进一步求解即可.
【详解】
（1）在△ABD与△ACE中，
∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，
∴△ABD≅△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
（2）①连接AF、AG，
∵AF、AG分别为Rt△ABD、Rt△ACE的斜边中线，
∴AF=BD=BF，AG=CE=GC，
又∵BD=CE，FG=BD，
∴AF=AG=FG，
∴△AFG为等边三角形，
易证△ABF≅△ACG(SSS)，
∴∠BAF=∠B=∠C=∠CAG，
∴∠C=15°；
②连接BC、DE，再连接EF、DG并延长分别交BC于点M、N，
∵△ABC与△AED都是等腰直角三角形，
∴DE∥BC，
∵F、G分别是BD、CE的中点，
∴易证△DEF≅△BMF，△DEG≅△NCG(ASA)，
∴BM=DE=NC，
若四边形DEFG为矩形，则DE=FG=MN，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ABC~△AED，
∴，
∵AC=4，
∴AD=，
∴当AD的长为时，四边形DEFG为矩形.
本题主要考查了全等三角形性质与判定和相似三角形性质与判定及直角三角形性质和矩形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、甲
【解析】
试题分析：当两人的平均成绩相同时，如果方差越小则说明这个人的成绩越稳定.
20、（-4，3），或（-1，3），或（-9，3）
【解析】
∵A（-10，0），C（0，3）,
, .
∵点D是OA的中点，
.
当 时， , .
当 时，,
,
当 时， , .
当 时，不合题意.
故答案有三种情况.
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的概念，平面直角坐标系中点的坐标及分类 的思想.涉及等腰三角形的计算，不管是角的计算还是腰的计算，一般都要进行分类讨论.像本题就要分四种情况进行计算.
21、1
【解析】
根据S△AOC-S△BOC=S△AOB，列出方程，求出k的值．
【详解】
由题意得：S△AOC-S△BOC=S△AOB，
=1，
解得，k=1，
故答案为：1．
此题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．根据面积关系得出方程是解题的关键．
22、1．
【解析】
利用（1，4），（2，7）两点求出所在的直线解析式，再将点（a，10）代入解析式即可．
【详解】
设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y＝kx+b，
∴，
解得,
∴y＝1x+1，
将点（a，10）代入解析式，则a＝1；
故答案为：1．
此题考查待定系数法求一次函数的解析式，正确理解题意，利用一次函数解析式确定点的横坐标a的值.
23、
【解析】
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵在实数范围内有意义，
∴x-1≥2，
解得x≥1．
故答案为x≥1．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于2．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）BC＝；（1）BD＝2
【解析】
（1）在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出BC的长；
（1）过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E．根据等边对等角的性质以及平行线的性质得出∠1=∠3，利用角平分线的性质得出AB=BE=3，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得EC=1，则ED=4，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得BD=2．
【详解】
（1）在Rt△ABC中，∵AC⊥AB，AB=3，AC=1，
∴BC=；
（1）过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E．
∵AC=CD，
∴∠1=∠ADC，
又∵AD∥BC，
∴∠3=∠ADC，∠1=∠1，
∴∠1=∠3，
又∵AC⊥AB，BE⊥DC，
∴AB=BE=3，
又由（1）BC=，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得EC=1；
∴ED=1+1=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=2．
本题考查了勾股定理，等腰三角形、平行线、角平分线的性质，掌握各定理是解题的关键．
25、（1）见解析；（2），；（3）①；②
【解析】
（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得DO=DA，推出∠AEO=60°，进一步得出BC∥AE，CO∥AB，可得结论；
（2）先计算出OA=，推出PB=，利用勾股定理求出AP=，再利用面积法计算BH即可；
（3）①求出直线PM的解析式为y=x-3，再利用两点间的距离公式计算即可；
②易得直线BC的解析式为y=x+4，联立直线BC和直线PM的解析式成方程组，求得点G的坐标，再利用三角形面积公式计算．
【详解】
（1）证明：∵Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴AD=OB，OD=BD=OB，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形；
（2）解：在Rt△AOB中，∠AOB=30°，OB=8，
∴AB=4，
∴OA=，
∵四边形ABCE是平行四边形，
∴PB=PE，PC=PA，
∴PB=，
∴
∴，
即
∴；
（3）①∵C（0，4），
设直线AC的解析式为y=kx+4，
∵P（，0），
∴0=k+4，
解得，k=，
∴y=x+4，
∵∠APM=90°，
∴直线PM的解析式为y=x+m，
∵P（，0），
∴0=×+m，
解得，m=-3，
∴直线PM的解析式为y=x-3，
设M（x，x-3），
∵AP=，
∴（x-）2+（x-3）2=（）2，
化简得，x2-4x-4=0，
解得，x1=，x2=（不合题意舍去），
当x=时，y=×（）-3=，
∴M（，），
故答案为：（，）；
②∵
∴直线BC的解析式为：，
联立，解得，
∴，
本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，两点间的距离，正方形的性质，矩形的性质，一次函数的图象和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
26、（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠DAB=∠ABE=60°，推出△ABD是等边三角形，由BD垂直平分AC，得到∠AFD=90°，AC=2AF，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
（1）∵BD垂直平分AC，EA⊥AC，∴AE∥BD．
∵BE∥AD，∴四边形AEBD是平行四边形；
（2）∵AD∥BE，∴∠DAB=∠ABE=60°．
∵∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形．
∵BD垂直平分AC，∴∠AFD=90°，AC=2AF．
∵AD=2，∴AF，∴AC=．
本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
分组/分
频数
频率
50≤x＜60
6
0.12
60≤x＜70
a
0.28
70≤x＜80
16
0.32
80≤x＜90
10
0.20
90≤x≤100
c
b
合计
50
1.00