安徽省六安市第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学

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分值：150分 时间：120分钟
命题人：刘欢审题人：袁绪信
注意事项
1.考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上并粘好条形码.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它选项.不能答在试题卷上.
3.解答题按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域的答案无效.
4.保持答题卡卷面清洁，不折叠，不破损.
第Ⅰ卷(选择题58分)
一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.
1. 设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合，再求交集即可.
【详解】根据题意，可得，
故.
故选：.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式，进而判断命题的充分必要性.
【详解】解不等式，可得，
解不等式，可得，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助特殊角的三角函数值、指数运算和对数函数性质，化简即可判断大小.
【详解】由题知，，，
又，
所以.
故选：A
4. 函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定函数定义域，判断函数奇偶性，即可判断B；当时，，利用导数判断此时函数的单调性，即可判断A，C，D，即得答案.
【详解】函数函数的定义域为，
设，则，
故为偶函数，其图象关于y轴对称，则B中图象错误；
又当时，，，
由，得，由，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
结合选项A，C，D中图象可知只有D中图象符合题意，
故选：D
5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的对称性作出函数的图象，可知函数为增函数，再利用奇偶性转化不等式为，再利用单调性求解不等式即可.
【详解】由题意，函数是定义域为R的奇函数，则图象关于原点对称.
先作出当时的图象，再利用对称性可作出R上的的图象.
函数的图象如图.
由图象可知，函数是R上的增函数.
由，得，
由是奇函数，可得，
则有，
又是R上增函数，则，解得.
故的取值范围为1,+∞.
故选：D.
6. 科学技能的迅猛发展，使人们在学校里学到的专业知识，逐步陈旧过时，这就是所谓的“知识半衰期”.1950年以前，知识的半衰期为50年：21世纪，知识的半衰期平均为3.2年；IT业高级工程师1.8年.如果一个高三学生的初始知识量为，则经过一定时间，即t个月后的知识量T满足，h称为知识半衰期，其中是课堂知识量，若，某同学知识量从80降至75大约用时1个月，那么知识量从75降至45大约还需要（ ）（参考数据:lg2≈0.30，lg11≈1.04）
A. 8个月B. 9个月C. 10个月D. 11个月
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到方程，求出，两边取对数，计算出答案.
【详解】由题意得，即，
，所以，得，
两边取对数， ，
故选：C.
7. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解.
【详解】当时，则，
且，所以，
若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，
若，则在内单调递减，
可得，不合题意；
若，则在内单调递增，
可得，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：B.
8. 对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由得，，同构函数由得：，再参变分离，转化为借助导数求函数的最值即可.
【详解】已知，由得，，
构造函数则是R上的增函数，则由得：，
即，令， ，
当则单调递减，
当，则单调递增，
∴，则又则.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.
9. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若函数的定义域为0,2，则函数f2x+2的定义域为−1,0
B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是0,4
C. 命题“”的否定是“”
D. 函数的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】选项A抽象函数的定义域只需要令变量属于原函数定义域，解出的范围即可；选项B分类讨论和，时借助二次函数开口方向和即可解决恒成立问题；选项C是命题的否定，注意“，结论边否定”；选项D讨论自变量的取值范围，从而得到指数函数的值域.
【详解】A：由题设，则，即f2x+2的定义域为−1,0，正确；
B：当时，不等式恒成立，
当时，恒成立，
当时，则需满足，则，
综上，的取值范围是，不正确，
C：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为，不正确；
D：令，故，即的值域为，对.
故选：AD
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
分析】由题意得，且，结合基本不等式以及相关推理逐一验算即可得解.
【详解】则，且，故D正确；
，A正确；
又由可知，B正确；，故C错误．
故选：ABD．
11. 设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由已知条件可得导函数对称性，判断A；由已知推出导函数的对称轴即可判断B；结合导函数对称性推出函数周期，进而利用周期进行求值，判断C；根据导数求导法则即可判断D.
【详解】对于A，，，
即关于对称，故A错误；
对于B，为偶函数，故，即关于对称，
由关于对称，知，故B正确；
对于C，因为，所以，
因为，所以，
则，故，则，
所以的周期为4，则，故C错误；
对于D，由，得，
即，令得，，
故，故D正确.
故选：BD.
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
（1）若，则函数关于中心对称；
（2）若，则函数关于对称.
第Ⅱ卷（非选择题92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递减区间为____________
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的定义域，再令 ，然后利用复合函数的单调性求解.\
【详解】函数的定义域为，
令 ，则 ，
因为是增函数， 在 上是减函数，
所以单调递减区间为
故答案为：
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
13. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
【答案】或
【解析】
【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可.
【详解】因为，所以，
所以当时，，即切线的斜率为2，
所以由点斜式得即，
联立整理得，
因为切线与曲线只有一个公共点，
所以方程只有一个根，
当时，方程为只有一个根，满足题意；
当时，，即，解得，
综上或，
故答案为: 或.
14. 已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】或
【解析】
【分析】换元后转化为，该方程存在唯一解，且，数形结合求解.
【详解】当时，单调递减，图象为以和轴为渐近线的双曲线的一支；
当时，有，可得在单调递减，在单调递增
且，，画出图象如下:

由题意，有唯一解，设，
则，（否则至少对应2个，不满足题意），
原方程化为，即，
该方程存唯一解，且.
转化为与有唯一公共点，且该点横坐标在，画图如下：

情形一：与相切，联立得，
由解得，此时满足题意：
情形二：与有唯一交点，其中一个边界为(与渐近线平行)，
此时交点坐标为，满足题意；
另一个边界为与相切，即过点的切线方程，
设切点为，则，解得，
所以求得，此时左侧的交点D横坐标为满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到；
所以的范围为.
综上，的取值范围为或.
故答案为：或
【点睛】关键点点睛，解决本题的关键在于第一要换元，令，转化为方程存在唯一解，且，作出与的图象数形结合求解，第二关键点在于分类讨论后利用导数或联立方程组求切线的斜率，属于难题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知命题P：“，”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为A.
（1）求集合
（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由：“，”为假命题时，可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可；
（2）由是的必要不充分条件可得BA，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可.
【小问1详解】
因为命题为假命题，所以关于的一元二次方程无解，
即，解得，
故集合，所以或；
【小问2详解】
由是的必要不充分条件，则BA，
当时，，解得，此时满足BA，
当时，
则，且等号不同时成立，
解得，
综上所述，的取值范围是.
16. 已知函数．
（1）判断并证明的奇偶性；
（2）若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）奇函数，证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可；
（2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果.
【小问1详解】
为奇函数，证明如下：
由解析式易知，函数定义域为，
而，故为奇函数.
【小问2详解】
由在上为减函数，而在定义域上为增函数，
所以在上为减函数，故，
要使任意，，不等式恒成立，
只需在上恒成立，即在上恒成立，
由开口向上，则，
综上，.
17. 函数.
（1）求函数在处的切线方程;
（2）求出方程的解的个数.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，得到切点处切线的斜率，得到切线方程；
（2）作出函数图像，由函数图像与直线交点个数确定方程解的个数.
【小问1详解】
定义域为：，
∵
∴
∴切线方程为：.
【小问2详解】
方程解的个数等价于y=fx于的交点个数.
所以在上递减，在上递增，
且时,,
作出与的图象，
由图可知当时，方程的解为0个
当或时，方程的解为1个
当时，方程的解为2个
18. 已知函数
（1）当时，求函数单调区间
（2）若有两个零点，求的取值范围
【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增．
（2）
【解析】
【分析】小问1：先对函数求导，令，解得，即可求解单调性；
小问2：当时，，函数在上单调递减，此时函数最多有一个零点；当时，由（1）可知：时，函数取得极小值，故，进而可求出实数的取值范围．
【小问1详解】
时，．
令，，解得．
时，，函数在上单调递减；
时，，函数在上单调递增．
小问2详解】
．
时，，函数在上单调递减，此时函数最多有一个零点，不满足题意，舍去．
时，由（1）可知：时，函数取得极小值，
有两个零点，，
令，（1）．
，函数在上单调递增，
．
又； ．
满足函数有两个零点．
的取值范围为．
19. 从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作y=fx在点处切线，切线与轴交于点，再作y=fx在点处切线(轴，以下同)，切线与轴交于点.，再作y=fx在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解.

（1）设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解(取，且结果保留小数点后第二位)；
（2）如图，设函数；
(i)由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释?
(ii)若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和.
【答案】（1）
（2）(i)答案见解析；(ii)
【解析】
【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程的近似值；
（2）（i）设，则，由求得处的切线方程，得到即可；
(ii)再根据得，从而，再结合等比数列的求和公式求解即可；
【小问1详解】
由函数，则，切线斜率，，
那么在点处的切线方程为，
所以，且，
那么在点处的切线方程为，
所以，且，
故用牛顿法求方程满足精度的近似解为；
【小问2详解】
(i)设，则，
因为，所以，
则处切线为，
切线与轴相交得，即为定值，
根据牛顿法，此函数没有零点；
(ii)因为得，
所以，，
所以，
.
故所得前个三角形的面积和为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于根据，再结合牛顿法得到.