数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆随堂练习题

这是一份数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆随堂练习题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．椭圆的离心率是，则它的长轴长是( )
A．B．或C．D．或
2．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（ ）
A．5B．9C．4D．3
4．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
6．已知椭圆的左､右焦点分别是，直线与交于两点，若的面积是的面积的2倍，则（ ）
A．B．C．D．或
7．直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆交于P，Q两点，若线段PQ的中点坐标为，则椭圆离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆的上顶点为，离心率为，过其左焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于，两点，若的周长为16，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，现有一个水平放置的椭圆形台球盘，点是它的焦点，长轴长为4，焦距为2，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程可能是（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．已知椭圆C：的一个焦点为F，P为C上一动点，则（ ）
A．C的短轴长为B．的最大值为
C．C的长轴长为6D．C的离心率为
11．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、B两点，M为线段AB的中点．下列结论中正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为，则直线方程为
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若直线方程为，则
三、填空题
12．已知椭圆的焦点在轴上，它的长轴长为，焦距为2，则椭圆的短轴长为 ，标准方程为 .
13．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为 ．
14．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．则动圆圆心的轨迹的方程为 .
四、解答题
15．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为8，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在椭圆上，点、为椭圆的两个焦点且，求的面积.
16．已知椭圆的离心率为，且过点
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0，求直线l的斜率.
17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M在上，且 .
(1)求的标准方程；
(2)若直线与交于A，B两点，且的面积为求的值.
18．如图，已知点分别为椭圆的左､右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，垂足分别为点．
(1)求证：；
(2)求证：为定值，并求出该定值；
19．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面α相切，两个球分别与平面α相切于点，，丹德林（）利用这个模型证明了平面x与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面α截圆锥得的是焦点在x轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点V到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设点Q的坐标为（，0），过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，直线BQ与直线交于点E，试问直线EA是否垂直于直线l？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由.参考答案
1．【详解】椭圆方程为．
当时，，由题意得，解得，此时长轴长为；
当时，由题意得，解得，此时长轴长为2．
综上椭圆的长轴长为或．故选: D．
2．【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且，
所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆，
设椭圆方程为，焦距为，
则，解得，故动点P的轨迹方程为.故选：B
3．【详解】由已知得，，，
设，则，所以，
从而或时取最小值为4.故选：C.
4．【详解】由椭圆定义得：，又因为，
所以解得：，
再由于，，结合勾股定理可得：
，解得，所以椭圆的离心率为，故选：C.
5．【详解】设椭圆的标准方程为，则椭圆的面积为，又，
联立解得．所以椭圆的标准方程为．故选：D.
6．【详解】联立，化简得,
因为直线与交于两点，所以,
解得,即得,
由已知的面积是的面积的2倍，得,
，解得或，
时，不合题意，故.故选：B.
7．【详解】由题意知,点,,
由斜率公式可得,,
所以直线的方程为y=bcx+b,
设点,
因为P，Q两点在圆上,
所以,两式相减可得,
，
因为线段PQ的中点坐标为,
由中点坐标公式可得,,
所以,
化简可得,,
所以,因为,
所以椭圆的离心率.故选:C
8．【详解】因为椭圆的离心率，可得，
所以，即，可得，
则点，右焦点，所以，
由题意可得直线的斜率，
所以，即，
由题意设直线的方程为，
直线的方程为，
设直线与直线的交点为，
联立，可得，，
则，可得为的中点，所以直线为线段的中垂线，
即，，
的周长为，可得，
所以，，
所以椭圆的方程为：.故选：C．
9．【详解】依题意，
当小球从A点出发，经过左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是，
当小球从点出发，经过右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，
当小球从A点出发，经过非左右顶点的位置，反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是.故选：ACD
10．【详解】由标准方程可知，，，
所以，，．
所以短轴长为，长轴长为，即选项AC正确；
离心率，即D正确；
由椭圆性质得， 故选项B错误.故选：ACD
11．【详解】由题意可知：，
对于选项A：设，
则，且，
因为A、B两点在椭圆上，则，相减可得，
整理可得，即，
所以直线AB与OM不相互垂直，故 A错误；
对于选项B：因为，
若点M坐标为，则，可得，
所以直线方程为，即，故B正确；
对于选项C：若直线方程为，点M13,43，则，
可得，所以C错误；
对于选项D：若直线方程为，
联立方程，消去y整理得：，解得，
所以，故D正确；故选：BD．
12．【详解】（1）由题得，所以椭圆的短轴长为；
（2）因为，椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为.
13．【详解】解：是椭圆上任意一点，为的右焦点，的最小值为，
可得，所以，即，所以，解得，
所以．故答案为：．
14.【详解】因为圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
设动圆的半径为，
因为动圆与圆内切，与圆外切，
所以，，
于是，
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
从而，所以.
所以动圆圆心的轨迹的方程为．故答案为：.
15．【详解】（1）由，∴，
∵椭圆焦点在轴上，设方程为，
又椭圆过点，∴，解得.
∴椭圆的标准方程：.
（2）由（1）知，∴，，
在中，，
∴，
∴，解得：，
∴.
16．【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，
所以，解得，
所以椭圆C的标准方程为；
（2）设直线，，，
联立方程，整理得，
即，
，，
即，
，
即，
整理得，所以或，
若，则直线过点，不合题意，
所以直线的斜率为
17．【详解】（1）由题意，设的标准方程为，
则，，即，所以，
所以的标准方程为；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，
由联立得，
由题意，即，
，，显然直线过定点，
所以，
所以，即，
所以，解得或，均满足，
所以或.
18．【详解】（1）联立与消y得：，
由直线与椭圆有一个公共点可知：，
化简得：；
（2）由题意得：，
因为，所以∥，故，
其中，，
所以，
为定值，该定值为1.
19．【详解】（1）由题知∶
由，解得
因为椭圆的离心率为，所以.
所以椭圆的标准方程为
（2）当AB的斜率为0时，显然EA⊥直线l
当AB的斜率不为0时，可设其方程为∶，
联立整理得∶，显然
由韦达定理得∶
直线的方程为∶
令，得
因为，所以，
所以，
韦达定理代入得∶
即，所以EA⊥直线l.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
D
B
C
C
ACD
ACD
题号
11









答案
BD