白城市第一中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份白城市第一中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知空间三点，，若，且，则点P的坐标为( )
A.B.
C.或D.或
2．已知圆和圆,M,N分别是圆,上的动点,P为x轴上的动点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
3．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是( )
A．B．C．D．
4．在四面体ABCD中，E为AD的中点，G为平面BCD的重心．若AG与平面BCE交于点F，则( )
A．B．C．D．
5．O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则( )
A．1B．C．D．
6．已知直线与直线互相垂直，垂足为则( )
A．24B．20C．2D．
7．已知圆，圆，M,N分别是圆上两个动点，P是x轴上动点，则的最大值是( )
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点为F，过F的直线与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点，则下列命题中正确的个数为( )
①面积的最小值为4；
②以AF为直径的圆与x轴相切；
③记OA，OB，AB的斜率分别为，，，则；
④过焦点F作y轴的垂线与直线OA，OB分别交于点M，N，则以MN为直径的圆恒过定点.
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题
9．点是圆上的动点，则下面正确的有( )
A．圆的半径为3
B．既没有最大值，也没有最小值
C．的范围是
D．的最大值为72
10．在棱长为1正方体中，点P为线段上异于端点的动点，( )
A．三角形面积的最小值为
B．直线与DP所成角的余弦值的取值范围为
C．二面角的正弦值的取值范围为
D．过点P做平面，使得正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的取值范围为
11．已知直线与直线，下列说法正确的是( )
A．当时，直线的倾斜角为
B．直线恒过点
C．若，则
D．若，则
12．正方体棱长为4，动点P、Q分别满足，其中，且，；R在上，点T在平面内，则( )
A．对于任意的，且，都有平面平面
B．当时，三棱锥的体积不为定值
C．若直线RT到平面的距离为，则直线与直线RT所成角正弦值最小为．
D．的取值范围为
三、填空题
13．直线被圆截得的弦长的最小值是______．
14．若点与关于直线对称，写出一个符合题意的值为_____．
15．如图，点C是以AB为直径的圆O上的一个动点，点Q是以AB为直径的圆O的下半个圆（包括A，B两点）上的一个动点，，则的最小值为______.
16．已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的取值范围是_____.
四、解答题
17．已知直线l：和两个定点，问直线l上是否存在一点P，使得取得最小值？若存在，求出点P的坐标和的最小值；若不存在，说明理由.
18．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.
19．如图，已知的三个顶点分别为，，．
(1)试判断的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
20．如图，在三棱锥中，，，为棱AC的中点
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，且PC与平面PAM所成角的正弦值为，求二面角的大小
21．如图，等腰梯形ABCD中，，现以AC为折痕把折起，使点B到达点P的位置，且.
(1)证明：面面ACD；
(2)若M为PD上的一点，点P到面ACM的距离为，求的值及平面MAC和平面DAC夹角的余弦值.
22．已知直线.
（1）求证：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程.
参考答案
1．答案：C
解析：，可设．
易知，则．又，
，解得，
或．
设点P的坐标为，
则，
或
解得或
故点P的坐标为或．
故选C．
2．答案：A
解析：圆关于x轴的对称圆的圆心坐标,半径为1,圆的圆心坐标为,半径为3,
若与M关于x轴对称,则,即,
由图易知,当P,N,三点共线时取得最小值,
的最小值为圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和,
.
故选：A.
3．答案：A
解析：直线分别与x轴，y轴交于A，B两点
,则
点P在圆上
圆心为，则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
4．答案：C
解析：如图：连接DG交BC于H，则H为BC中点，连接,
因为平面AHD，平面AHD，设，则，
又平面BCE，所以平面BCE，故K为AG与平面BCE的交点，
又因为AG与平面BCE交于点F，所以F与K重合，
又E为AD的中点，G为平面BCD的重心，
因为点A，F，G三点共线，则
又因为点E，F，H三点共线，则，
,
所以，
解得，即，故.
故选：C
5．答案：C
解析：因为，
所以，
可化简为：，
即，
由于A，B，C，P四点共面，则，
解得：；
故选：C
6．答案：D
解析：因为直线与直线互相垂直，则，可得，
由题意可知，点为两直线的公共点，则，解得，
再将点的坐标代入直线的方程可得，解得，
因此，.
故选：D
7．答案：A
解析：由题意知，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
作关于x轴的对称点，如图所示，
，
当共线时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A
8．答案：C
解析：当AB的斜率为0时，，所以①错误.
设AF的中点为E，作轴交x轴于点G，作准线交准线于点D，交x轴于点C，则，
又，
所以，所以②正确.
直线AB的方程为，联立，得.设，，则，，
所以，所以③正确.
直线，所以.同理可得.
所以以MN为直径的圆的方程为，
即.
令，得或3，所以④正确.
故选：C
9．答案：BC
解析：圆转化为，
则圆的圆心为，半径为2，选项A错误.
设，则直线与圆有交点，即，
整理得，解得或.
既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.
设，，
则，
其中.
则的取值范围为，选项C正确.
又，则，
因此
其中.
则的最大值为，选项D错误.
故选：BC
10．答案：AB
解析：对于A，要使三角形面积的最小，即要使得P到直线距离最小，这最小距离就是异面直线和的距离，也就是直线到平面的距离，等于C到BD的距离，为.由于，
所以三角形面积的最小值为，故A正确；
对于B，先证明一个引理：
直线a在平面M中的射影直线为b,平面M中的直线c,直线a,b,c所成的角的余弦值满足三余弦定理，直线a,b的角为，直线b,c的角为，直线a,c的角为，则.
证明：如上图，在平面M内任意取一点O为原点，取两条射线分别为x,y轴，得到坐标平面xOy，然后从O作与平面M垂直的射线作为z轴，建立空间直角坐标系，
设直线的方向向量为,则为射影直线b的方向向量,设直线c的方向向量坐标为，
则，
，
，
所以，
，引理得证.
如上图所示，根据正方体的性质可知在平面中的射影为,
设与所成的角为，，
设直线DP与直线所成的角为，,.
设直线与DP所成角为，
根据上面的引理可得：，故B正确；
对于C，如上图所示，设AC、BD交点为M，连接，PM，
由正方体性质易知，平面，
所以平面，故,为二面角的平面角，
当P与重合时，，
，
所以，
∴，
P在上从下往上移动时，逐渐变大，最终是钝角，其正弦值可以等于1，故C错误；
对于D，因为过正方体顶点与各棱所成的角的都相等的直线是体对角线所在的直线，
所以过点P的平面与各棱所成的角相等必须且只需与某一条体对角线垂直，
过P与对角线垂直的截面中，
当P为中点时取得最大值，是一个边长为的正六边形，
如下图所示，面积为，不在区间内，故D不正确.
故选：AB
11．答案：BD
解析：A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为，
所以，则，所以A不正确；
B中，直线，整理可得，
令，可得，
即直线恒过定点，所以B正确；
C中，当时，两条直线方程分别为：，
则两条直线重合，所以C不正确；
D中，当时，两条直线方程分别为：，
显然两条直线垂直，所以D正确.
故选：BD
12．答案：ACD
解析：
对于A，以A为坐标原点，AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，
，
则，令，则，，
则，
，，
，
设平面ACP的法向量为，
则，令，则，，
则，
又，
所以，所以对于任意的，且，都有平面平面，故A正确；
对于B，当时，
设平面的法向量为
，，
则，令，则，，
所以，
又，
点P到平面的距离为
又，
又因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B错误；
对于C，设，,则
因为直线RT到平面的距离为，所以平面，
，
设面为，则
，令，则，
所以
所以，即，
又，则，解得或，
若，
所以，，
又，
设直线与直线RT所成角为，
所以
当最大时，最小，
令，，
在单调递增，
所以，，
最大值为，
所以最小为，
所以直线与直线RT所成角正弦值最小为；
若，所以，，根据对称性可得最小为，
故C正确；
对于D，设
因为，
所以，，
，
所以，
整理得，
即
所以点P的运动轨迹为一个以为球心，半径为2的球面上一点，所以，
所以，
当时，最小为，
当时，最大为4
所以的取值范围为，故D正确.
故选：ACD
13．答案：8.
解析：直线的方程可化简为：，
整理得：.
令，解得：.
所以直线恒过定点.
又因为，
所以点在内.
所以当该直线与OP垂直时，直线被圆截得的弦长最短.
，故最短弦长为.
故答案为：8
14．答案：（答案不唯一）
解析：由题设，中点
在直线上，且，
所以，
且，
即，
且，
所以，
且，
故，
且，
所以，
且，
综上，，
可得，显然满足.
故答案为：（答案不唯一）
15．答案：
解析：以O为原点,以AB为x轴,以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,
则圆O的半径为,
,,
,
设,
,
则,
,
,
当时,取得最小值，
故答案为：.
16．答案：
解析：由，得.
由，
所以或.
当时，；
当时，.
所以表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.
当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，为.
故的取值范围是.
故答案为：.
17．答案：存在，，
解析：假设直线l上存在一点，使得取得最小值，如图，
则，
因为，
所以当，即点P的坐标为时，
取得最小值，且最小值为.
18．答案：(1)，且
(2)（，且）；
(3)过定点和，理由见解析.
解析：(1)令得抛物线与y轴交点是；
令，
由题意，且，解得，且．
即实数b的取值范围，且．
(2)设所求圆的一般方程为，
由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点，
令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，．
令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出，
∴圆的方程为（，且）．
(3)把圆的方程改写为，令，
解得或，
故圆C过定点和．
19．答案：(1)直角三角形；
(2).
解析：(1)根据两点间的距离公式，得，，
，，
即，
所以是直角三角形.
(2)依题意，线段BC的中点，，
所以BC边上中线的长为.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)连接BO．
∵，O为棱AC的中点，
∴，且
又，
∴，且
则，则
∵，平面ABC，平面ABC
∴平面ABC，而平面PAC，
∴平面平面ABC
(2)建立以O为坐标原点，直线分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示，
则
故
设，
则
设平面PAM的法向量为，
则
令，可得，即
设直线PC与平面PAM所成角为，
则
∴，
解得或（舍去），
则平面PAM的法向量为
易知平面PAC的一个法向量为，
设二面角为，
∴二面角的大小为
21．答案：(1)答案见解析；
(2)，
解析：(1)
如图所示，在梯形ABCD中，取AD中点N，连接CN，
易知四边形ABCN为平行四边形，可得，即，
又，平面PAC，
所以平面，
因为平面，
所以面面；
(2)
取AC的中点O，则，
因为，
所以，结合(1)的结论，
可以以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设，
即，
设面ACM的一个法向量为，
则有，
令，
即，
则点P到面ACM的距离为，
即；
易知平面ACD的一个法向量可为，
设平面MAC和平面DAC夹角为，易知,
所以.
22．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）
解析：（1）由，即，
则，解得，
所以直线过定点；
（2）
如图所示，结合图像可知，
当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；
当时，直线斜率存在，方程为，
又直线不经过第二象限，则，解得；
综上所述；
（3）已知直线，且由题意知，
令，得，得，
令，得，得，
则，
所以当时，S取最大值，
此时直线l的方程为，即.