广东省五校2025届高三上学期10月联考（二）数学试卷(含答案)

这是一份广东省五校2025届高三上学期10月联考（二）数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．下列函数为奇函数的是( )
A.B.C.D.
3．已知是定义在上的函数,那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知函数,则函数的图象的对称中心的坐标为( )
A.B.C.D.
5．已知，且，则函数的图象一定经过( )
A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限
6．设,,,则( )
A.B.C.D.
7．已知函数,若,则的最大值和最小值分别是( )
A.,0B.,1C.,D.,1
8．设函数,若方程有3个不同的实根,则b的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.只有1个零点B.在单调递增
C.曲线在点处切线的斜率为D.是偶函数
10．若x,y满足,则( )
A.B.C.D.
11．若正实数x,y满足,则下列不等式中可能成立的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．已知,,则________.
13．设是定义域为R的奇函数,且.若,则________
14．已知函数的定义域为,其导函数为,若.,则关于x的不等式的解集为________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求的最小正周期;
（2）求在区间上的最小值.
16．已知函数,.
（1）求曲线在点处的切线方程;
（2）求的最大值和最小值.
17．在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者,,,,,和4名女志愿者,,,,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率.
（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.
18．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）当时,证明.
19．已知函数,,其中k为实数.
（1）求的极值;
（2）若有4个零点,求k的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：由于,故,
,,即,故,
因此,即.
故选:C
2．答案：D
解析：对于A,函数的定义域为,定义域不关于原点对称,
所以此函数为非奇非偶函数,故A错误;
对于B,定义域为R,因为,
所以此函数为偶函数,故B错误;
对于C,定义域为,定义域不关于原点对称,
所以此函数为非奇非偶函数,故C错误;
对于D,定义域为R,因为,
所以此函数为奇函数,故D正确.
故选:D.
3．答案：A
解析：若函数在上单调递增,则在上的最大值为,
若在上的最大值为,
比如,
但在为减函数,在为增函数,
故在上的最大值为推不出在上单调递增,
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件,
故选：A.
4．答案：C
解析：因为,
所以函数的图象关于点对称.
故选:C
5．答案：D
解析：当时，，
则当时，函数图象过二、三、四象限；
则当时，函数图象过一、三、四象限；
所以函数的图象一定经过三、四象限.
故选：D
6．答案：D
解析：当时,令,求导得,
则函数在上单调递增,有,即有,
因此,显然,
所以.
故选:D
7．答案：B
解析：由,得到,令,
则,对称轴,
当时,取得最大值,最大值为,
当时,取得最小值,最小值为,
所以的最大值和最小值分别是,,
故选:B.
8．答案：A
解析：令;
方程有3个不同的实根等价于与有3个不同的交点;
当时,,
则当时,;当时,;
在上单调递增,在上单调递减,;
则可得图象如下图所示,
由图象可知:当时,与有个不同的交点;
综上所述:实数b的取值范围为.
故选:A.
9．答案：ABC
解析：易知的定义域为,又,
令,则在区间上恒成立,
所以在区间上单调递增,又,
所以时,,时,,
即在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以选项B正确,
对于选项A,因,所以只有1个零点,故选项A正确,
对于选项C,因为,所以曲线在点处切线的斜率为,故选项C正确,
对于选项D,因为函数定义域为,不关于原点对称,所以是非奇非偶函数,故选项D错误,
故选:ABC.
10．答案：BC
解析：因为（a,）,由可变形为,,解得,当且仅当时,,当且仅当时,,所以A错误,B正确;
由可变形为,解得,当且仅当时取等号,所以C正确;
因为变形可得,设,
所以,,
因此
,所以当时满足等式,但是不成立,所以D错误.
故选:BC.
11．答案：AC
解析：因为,所以,
因为,所以,则,
令,,则,
所以在上单调递增,
由,可得,
令,则,所以当时,当时,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,则,即当且仅当时取等号,
即当且仅当时取等号,
又,所以,当且仅当时取等号,
当时或,
结合与的图象也可得到
所以或.
故选:AC
12．答案：/
解析：因为,所以,
所以.
故答案为:
13．答案：
解析：因为是定义域为R的奇函数,则,
则,故2是的周期,
故.
故答案为:.
14．答案：
解析：令函数,,则,因此函数在上单调递减,
,因此,即,解得,
所以不等式的解集为.
故答案为:.
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）
的最小正周期为;
（2）,,当,时,
取得最小值为:
16．答案：（1）
（2）最大值为6,最小值为
解析：（1）由题意知,,则,
又,所以切点为,
所以曲线在点处的切线方程为
,即.
（2）,,
令,或,
所以在上单调递减,在,上单调递增,
故在上的极大值为,极小值为,
又,,
所以在上的最大值为6,最小值为.
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M,则
（2）由题意知X可取的值为:0,1,2,3,4.则
,
,
,
,
因此X的分布列为
X的数学期望是
=.
18．答案：（1）见解析;
（2）见解析.
解析：（1）的定义域为,.
若,则当时,,故在单调递增.
若,则当时,时;当时,.
故在单调递增,在单调递减.
（2）由（1）知,当时,在取得最大值,最大值为.
所以等价于,即.
设,则.
当时,;当时,.所以在单调递增,在单调递减.故当时,取得最大值,最大值为.所以当时,.从而当时,,即.
19．答案：（1）,无极小值.
（2）
解析：（1）因为,,
所以,令,解得,令,解得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
所以在处取得极大值,即,无极小值.
（2）由即,可得,
令,则,
设,则,
由得,由得,
所以在上单调递增,在上单调递减,
且,,,即,,
所以存在,使得,,
即,①,
故在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,
故的极大值为,极小值为和
对①式两边取对数可得,②,
将①②代入得,
同理可得,
要使有四个零点,则必有,解得,
而,,
由零点存在定理可知,当时有且仅有4个零点,即有4个零点,
所以实数k的取值范围为.
X
0
1
2
3
4
P