贵州市贵阳七校2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)

这是一份贵州市贵阳七校2025届高三上学期第一次联考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足,若复数z为纯虚数,则实数a的值为( )
A.B.C.1D.2
2．设集合,,则是的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若向量,,都是单位向量,且,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
4．为了了解某班学生数学成绩,利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本,统计如下:
则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为( )
A.77.5,5B.77.5,11C.78,5D.78,11
5．已知函数,且满足,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．如图甲,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,将,,分别沿DE,EF,DF折起,使得A,B,C三点重合于点,如图乙,若三棱锥的所有顶点均在球O的球面上,则球O的体积为( )
A.B.C.D.
7．已知函数的图像如图所示,,是的极值点,则等于( )
A.B.C.D.
8．已知,且,若恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.
B.函数的图象关于直线对称
C.函数是偶函数
D.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到函数的图象
10．已知直线与圆相交于A,B两点,下列说法正确的是( )
A.直线l恒过某一定点
B.时,最大
C.的最小值为
D.当时,对任意,曲线过直线l与圆C的交点
11．我们知道,函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数是定义在R上的可导函数,其导函数为,若函数是奇函数,函数是偶函数,则( )
A.B.
C.函数是奇函数D.
三、填空题
12．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则________.
13．若的展开式的二项式系数和为32,且的系数为80,则实数a的值为________.
14．设函数,若,则的最小值为________.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为,且满足.
（1）求证为等比数列;
（2）求数列的前n项和.
16．如图甲,中国是风筝的故乡,南方称“鹞”,北方称“鸢”.某种风筝的骨架模型是是四棱锥,其中,,AC交BD于点O,如图乙.
（1）求证:平面PBD;
（2）若,,点Q是线段PC的中点,求直线BQ与平面PAD所成角的正弦值.
17．已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）若,且,求k的取值范围.
18．某校将进行篮球定点投篮测试,规则为:每人至多投3次,在M处投一次三分球,投进得3分,未投进不得分,在N处连续投2次两分球,每投进一次得2分,未投进不得分,测试者累计得分高于3分即通过测试,并终止投篮（若前两次投篮后确定不能通过测试也终止投篮）.甲同学为了通过测试,刻苦训练,投中3分球的概率为,投中2分球的概率为,且每次投篮结果互不影响.
（1）若甲同学先投3分球,求他投篮2次就终止投篮的概率;
（2）为使通过测试的概率最大,甲同学应先投几分球?
（3）为使投篮累计得分期望最大,甲同学应先投几分球?
19．已知椭圆过点P,F为C的右焦点,轴,且,如图,过点P的两条动直线交椭圆于,.
（1）求实数a的值;
（2）设M是C的动点,过点M作直线的垂线MN,N为垂足,求;
（3）记,,若直线AB的斜率为,求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,所以,因为复数z为纯虚数,
所以,,所以,
故选:C.
2．答案：B
解析：由集合,
又,,所以,
所以是的必要不充分条件.
故选：B.
3．答案：A
解析：设,,,因为,
则,解得,
因为,所以,
所以四边形OACB是的菱形,
所以与的夹角即.
故选:A.
4．答案：D
解析：可估计全班学生数学的平均分为,
方差为.
故选:D.
5．答案：C
解析：因为,所以为奇函数,
又因为,
所以为R上的增函数.
因为,为奇函数,
所以,
又为R上的增函数,所以,
即,解得或,
所以实数m的取值范围为.
故选:C.
6．答案：A
解析：根据题意可得,,,且,,,
所以三棱锥可补成一个长方体,三棱锥的外接球即为长方体的外接球,
如图所示,设长方体的外接球的半径为R,可得,所以,
所以外接球的体积为.
故选:A.
7．答案：B
解析：由函数的图象可知:,,
解得,,
所以,可得,
由韦达定理及极值点的定义得,,
所以.
故选:B.
8．答案：D
解析：已知,,则,,
因为,
当且仅当时等号成立,由,解得.
故的最小值为4.
因为恒成立,
所以,即,
解得,即.
故选:D.
9．答案：ABD
解析：由图可得,,,解得,故A正确;
又函数图象经过点,则,即,
因,故,解得,故.
对于B,当时,,此时函数取得最小值,故B正确;
对于C,,是奇函数,故C错误;
对于D,将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,
将得到函数的图象,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：ACD
解析：对于A:直线,整理为,
不管k为何值,直线l始终过点,故A正确;
对于B:时直线l的方程为,
而圆,圆心是,它不过圆C的圆心,故B错误;
对于C:由A知当是线段AB的中点时,此时弦长AB最短,
而圆,圆心是,半径,
圆心和点的距离是,
所以最短弦长,故C正确;
对于D:当时,直线,曲线,
即,显然该曲线过直线l与圆C的交点,故D正确;
故选:ACD.
11．答案：A
解析：因为函数是奇函数,则,
整理可得,可知函数的图象关于点对称;
若函数是偶函数,则,
可知的图象关于直线对称;
对于选项A:因为,
令可得,解得,故A正确;
对于选项BCD:例如,则,
可知函数的图象关于点对称,且的图象关于直线对称,
即符合题意,
,故B错误;
但不为奇函数,故C错误;
,故D错误;
故选:A.
12．答案：
解析：对于,
由正弦定理得,
即,
由余弦定理得,
又,所以.
故答案为:.
13．答案：
解析：因为的展开式的二项式系数和为32,
所以,解得.
所以,
由,解得,
所以的系数为,解得.
故答案为:.
14．答案：
解析：,且恒成立,
在定义域上单调递增且零点为,
在定义域上单调递减且零点为,
故与在定义域内函数值正负相反且零点重合,
则,所以,
当且仅当时取等号.
故答案为:.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:当时,,
解得.
因为①
所以②
①-②得:
,
整理得,
所以,
即,
又,
所以数列是以2为首项,以2为公比的等比数列.
（2）由（1）知,
所以,
所以,
所以
.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:因为,,,所以,
有,又,,所以.
所以,,所以.
同理,,有
又因为,平面PBD,平面PBD,
所以平面PBD.
（2）由（1）可知,因为,,,
所以,所以,
从而由等面积法,可知,
由勾股定理,可知
因为,所以,所以.
又因为,,OB,平面ABCD,
所以平面ABCD.
以O为原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
由（1）可知,所以,所以,
因为,,,,
因为点Q为线段PC的中点,所以,
所以,,,
设平面PAD的法向量为,
则,令,解得,,
所以平面PAD的法向量为,
设直线BQ与平面PAD所成角为,
则,
所以直线BQ与平面PAD所成角的正弦值为.
17．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）由题意得的定义域为,,
当,时,,所以在区间内单调递减;
当时,令（2）,得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
综上,当时,在区间内单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
（2）当时,由,得,
整理得,即.
令
则,
由（1）知,当时,的最小值为,
即恒成立,
所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
故当时,取得最大值,即,
故k的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）甲同学先投2分或先投3分是一样的
（3）先投2分球
解析：（1）记甲同学先投3分球,投篮2次就终止投篮的事件为,
.
（2）记甲同学先投3分球通过测试的概率为,
则;
记甲同学先投2分球通过测试的概率为,
则;
因为,故甲同学先投2分或先投3分是一样的.
（3）记甲同学先投3分球投篮累计得分为,先投2分球投篮累计得分为,
X可能取0,2,3,4,5,
,,
,,
,
.
Y可能取0,2,4,5,
,,
,,
.
故甲同学先投2分球投篮累计得分期望最大.
19．答案：（1）2
（2）
（3）
解析：（1）由椭圆的方程,
得,故,
因为点P在椭圆C上,轴,且,
所以P的坐标为,
代入椭圆方程得,解得,.
（2）由（1）知椭圆C的方程为,
设动点,则,所以,
故,
又,
所以.
（3）不妨设,的外接圆半径为R,由,,
则在中,由正弦定理,
所以.
如图,过A,B分别作直线的垂线,垂足分别为D,E,
过B作于点G,
由（2）的结论可得,
所以,即,
所以,
又,得,
则在中,,即,
所以,当且仅当,即时等号成立,
所以的最大值为.
学生数
平均分
方差
男生
6
80
7
女生
4
75
2