佳木斯市第一中学校2024-2025学年高二上学期（10月份）月考数学试卷(含答案)

这是一份佳木斯市第一中学校2024-2025学年高二上学期（10月份）月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为( )
A.B.C.D.
2．已知方程表示椭圆，则t的取值范围是( )
A.B.或C.或D.
3．下列说法正确的是( )
A.不能表示过点且斜率为k的直线方程
B.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
C.直线与y轴的交点到原点的距离为b
D.设，，若直线与线段有交点，则a的取值范围是
4．椭圆的离心率为，则( )
A.B.C.D.2
5．已知直线l的斜率，则该直线的倾斜角的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．经过两条直线和的交点，且与直线平行的直线的方程为( )
A.B.C.D.
7．已知Q为直线上的动点，点P满足，记P的轨迹为E，则( )
A.E是一个半径为的圆B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为D.E是两条平行直线
8．已知椭圆的左、右两个顶点为A，B，点，，是的四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆C于，，…，，则直线，，…，，这6条直线的斜率乘积为( )
A.B.C.8D.64
二、多项选择题
9．已知圆，则下列说法正确的是( )
A.圆C的半径为16
B.圆C截x轴所得的弦长为
C.圆C与圆相外切
D.若圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数m的取值范围是
10．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( )
A.点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆
B.轨迹C上的点到直线的最小距离为
C.若点在轨迹C上，则的最小值是
D.圆与轨迹C有公共点，则a的取值范围是
11．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有( )
A.存在点P，使得B.直线与直线斜率乘积为定值
C.有最小值D.的范围为
三、填空题
12．已知直线l经过点，圆，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为________.
13．已知圆，若从点发出的光线经过直线：，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是________.
14．已知P是椭圆上一点，，是C的两个焦点，，点Q在的平分线上，O为原点，，且.则C的离心率为________.
四、解答题
15．平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切.
(1)求动圆P的圆心的轨迹方程；
(2)当时，求的大小.
16．已知圆C的圆心在上，点在圆C上，且圆C与直线相切.
(1)求圆C的标准方程；
(2)过点A和点的直线l交圆C于A，E两点，求弦的长.
17．已知直线，直线与直线垂直，且直线，的交点的横坐标与纵坐标相等.
(1)求直线的方程；
(2)若直线l被直线，所截得的线段恰好被点平分，求直线l的方程.
18．已知圆.
(1)证明：圆C过定点；
(2)当时，点P为直线上的动点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积最小值，并写出此时直线的方程.
19．已知椭圆的长轴长为，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆上点处的切线方程是，
①过直线上一点M引C的两条切线，切点分别是P、Q，求证：直线恒过定点N；
②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：方法一直线的一个方向向量为，，
直线的方程为，即.
方法二由题意知直线的一个法向量为，
直线的方程可设为，将点代入得，
故所求直线的方程为.
故选：B
2．答案：B
解析：因为方程表示椭圆，所以，解得或，
故选：B.
3．答案：A
解析：对于选项A：由可知，所以不过点,，故选项A正确，
对于选项B：当时，在x轴、y轴上的截距分别为0的直线不可用表示，故选项B错误，
对于选项C：直线与y轴的交点为，到原点的距离为，故选项C错误，
对于选项D：直线l方程可化为，恒过定点，画出图形，如图所示，
，，
若直线与线段有交点，则，或，
即或，故选项D错误，
故选：A.
4．答案：A
解析：由椭圆的标准方程可知，所以.又离心率，所以，解得，所以.故选A.
5．答案：B
解析：直线倾斜角为，则，
由可得，
所以.
故选：B.
6．答案：B
解析：联立，解得，即交点为，
因为直线的斜率为，
所以，所求直线的方程为，即.
故选：B.
7．答案：C
解析：设，由，则，
由Q在直线上，故，
化简得，即P的轨迹为E为直线且与直线l平行，
E上的点到l的距离，故A、B、D错误，C正确.
故选：C.
8．答案：A
解析：如图，
左右顶点的坐标分别为,，设椭圆上任意一点坐标为，
且P不与A、B重合，则，
又在椭圆上，故，所以，
则，
所以,,,
同理可得
直线这6条直线的斜率乘积
故选：A.
9．答案：BC
解析：由圆，可得圆C的标准方程为，
所以圆C的半径为4，故A错误；
令，得，设圆C与x轴交点的横坐标分别为，，
则，是的两个根，所以，，
所以，故B正确；
两圆圆心距，故C正确；
由圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，
则，解得或，
即实数m的取值范围是，故D错误.
故选：BC.
10．答案：ACD
解析：设，由，
整理得，显然点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A正确；
圆心到直线的距离，
所以轨迹C上的点到直线的最小距离为，故B错误；
设，易知圆心到直线的距离
，故C正确；
易知圆的半径为2，则其与轨迹C相交或相外切时符合题意，
则圆心距，解之得，故D正确.
故选：ACD
11．答案：BCD
解析：对于A中，由椭圆，可得，，，
且，可得，所以，所以A错误；
对于B中，设，则，且，，可得，则为定值，所以B正确.
对于C中，由椭圆的定义，可得，
则
，
当且仅当时，即时等号成立，所以C正确.
对于D中，由点Q在椭圆外，设直线，与椭圆相交于，，
如图所示，则，
因为，且，
可得，即，
所以，
所以，所以D正确.
故选：BCD.
12．答案：或
解析：将圆的方程化为标准方程为，
所以圆心坐标为，半径，
因为，所以点在圆C外，
当直线l的斜率不存在时，即直线为，
圆心到直线的距离为2，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
整理：，解得，
所以直线为，即，
综上所述：直线l的方程为或.
13．答案：
解析：如图所示，由圆，可得圆心为，
设关于直线的对称点为，
则满足，解得,，即，
因为反射后恰好平分圆C的圆周，所以反射光线经过N,C两点，
又由，所以反射光线的方程为，即.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图，设，，延长交于A，
由题意知，O为的中点，故A为中点，
又，即，则，
又点Q在的平分线上,则，故是等腰直角三角形，
因此，
则，
可得，，
又，则，
因此可得，
又在中，，则，
将，代入得，
即，由所以，
所以，.
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2)16
解析：（1）圆M的圆心为，半径为，
圆N的圆心为，半径为.
设动圆P的圆心为，半径为r，
则依题意得，，
所以，
所以，点P的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，其中，，故，
所以，动圆P的圆心的轨迹方程为.
故椭圆方程为.
（2）记，，，
由（1）知，，
由余弦定理可得，
整理得，即，
所以.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）设圆的标准方程为，由题意得，解得，所以圆的标准方程为；
（2）直线l过点和点，直线的斜率为，
直线l为，即.
设圆心到直线的距离为，
，，
弦的长为.
17．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由题意设直线，的交点坐标为，则，得，
所以直线，的交点坐标为，
由题意设直线为，则，得，
所以直线的方程为；
（2）设直线l交直线，分别于点，，
因为为的中点，所以，，
因为，，
所以，即，
由，解得，，
所以，，所以，，
所以，
所以直线l的方程为，即.
18．答案：(1)证明见解析；
(2)面积最小值为，
解析：（1）依题意，将圆C的方程化为
，
令，即，则恒成立，
解得，即圆C过定点；
（2）当时，圆，
直线，
设，依题意四边形的面积，
当取得最小值时，四边形的面积最小，
又，即当最小时，四边形的面积最小，
圆心到直线的距离即为的最小值，
即,
，即四边形面积最小值为，
此时直线与直线l垂直，
所以直线的方程为，与直线l联立，解得，
设以为直径的圆Q上任意一点：，
故圆Q的方程为，
即，又圆，
两式作差可得直线方程.
19．答案：(1)；
(2)①证明见解析；②存在，
解析：（1）由题意可知：，所以，所以，
所以椭圆C的方程为；
（2）①设,,，
由题设可知：,，
又因为,经过点，
所以，所以P,Q均在直线上，即，
由，解得，
所以直线过定点；
②设实数存在，因为，所以，
当直线斜率不存在时，此时，由解得，
所以，所以；
当直线斜率k存在时，
所以，
联立可得，
所以,，
所以；
综上可知，存在满足条件.