江苏省扬州市六校2024-2025学年高二上学期第一次联测数学试卷(含答案)

这是一份江苏省扬州市六校2024-2025学年高二上学期第一次联测数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．经过点,且与直线垂直的直线方程为( )
A.B.
C.D.
3．“”是“直线：与直线：互相平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知直线l倾斜角的余弦值为,且经过点,则直线l的方程为( )
A.B.C.D.
5．已知圆内一点,则过P点的最短弦所在的直线方程是( )
A.B.
C.D.
6．若直线与曲线恰有两个交点,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．直线,直线,给出下列命题：
①,使得;
②,使得;
③,与都相交;
④,使得原点到的距离为.
其中正确的是( )
A.①②B.②③C.②④D.①④
8．已知圆,直线上存在点P,过点P作圆C的切线,切点分别为A,B,使得,则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线,下列说法正确的是( )
A.若,则直线l的倾斜角为
B.若直线l的在两坐标轴的截距相等,则
C.直线l与直线垂直,则
D.若直线l不过第二象限,则
10．已知直线和圆,则( )
A.直线l恒过定点
B.存在k使得直线l与直线垂直
C.直线l与圆O相交
D.若,直线l被圆O截得的弦长为
11．已知圆,则( )
A.圆O与直线必有两个交点
B.圆O上存在4个点到直线的距离都等于1
C.圆O与圆恰有三条公切线,则
D.动点P在直线上,过点P向圆O引两条切线,A,B为切点,则四边形面积最小值为2
三、填空题
12．若直线与直线平行,则这两条直线间的距离为__________.
13．写出圆与圆的一条公切线方程_________.
四、双空题
14．过直线上任意点P作圆的两条切线,切点分别为A,B,直线过定点_________;记线段的中点为Q,则点Q到直线l的距离的最小值为_________.
五、解答题
15．已知的顶点,,,线段AB的中点为D,且.
（1）求m的值;
（2）求BC边上的中线所在直线的方程.
16．在中,已知顶点,AB边上的中线所在直线方程为,内角的平分线所在直线方程为.
(1)求点B的坐标;
(2)求直线BC的方程.
17．已知定点,,动点P满足.设动点P的轨迹是曲线T,
(1)求曲线T的方程;
(2)直线和曲线T交于两点C、D,求线段的长;
(3)若实数x,y满足曲线T的方程,求的最大值.
18．已知圆C经过坐标原点O,圆心在x轴正半轴上,且与直线相切.
(1)求圆C的标准方程;
(2)直线与圆C交于A,B两点.
①求k的取值范围;
②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值.
19．已知圆C过点,且与直线相切于点.
（1）求圆C的方程;
（2）过点的直线与圆C交于M,N两点,若为直角三角形,求直线的方程;
（3）在直线上是否存在一点Q,过点Q向圆C引两切线,切点为E,F,使为正三角形,若存在,求出点Q的坐标,若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：直线的斜率
,,
.
故选：C
2．答案：B
解析：直线的斜率为-2,
所以所求直线的斜率为,
所以所求直线的方程为,即.
故选：B.
3．答案：C
解析：若直线：与直线：互相平行,
则,解得或,
又当时,两直线重合(舍去),
所以“”是“直线：与直线：互相平行”的充要条件,
故选：C.
4．答案：A
解析：设直线l的倾斜角为,则,可得,
则直线l的斜率,
且直线l经过点,
所以直线l的方程为,即.
故选：A.
5．答案：B
解析：由题意可知,当过圆心且过点时所得弦为直径,
当与这条直径垂直时所得弦长最短,
圆心为,,
则由两点间斜率公式可得,
所以与垂直的直线斜率为,
则由点斜式可得过点的直线方程为,
化简可得,
故选：B
6．答案：B
解析：由可知直线l过定点,
曲线两边平方得,
所以曲线C是以为圆心,半径为1且位于直线x轴上方的半圆,
当直线l过点时,直线l与曲线C有两个不同的交点,此时,
当直线l与曲线C相切时,直线和圆有一个交点,圆心到直线l的距离,两边平方解得,
所以结合图形可知直线l与曲线C恰有两个交点,则.
故选：B.
7．答案：C
解析：对于①,若,则,该方程组无解,①错;
对于②,若,则,解得,②对;
对于③,当时,直线的方程为,即,此时,、重合,③错;
对于④,直线的方程为,
若,使得原点到的距离为,则,整理可得,
,方程有解,④对.
故选：C.
8．答案：D
解析：圆,则圆心为,半径,
因为,在中,,
所以,所以点P的轨迹方程为,即圆心为,半径,
又直线上存在点P,
所以直线l与有交点,所以,解得,
即实数k的取值范围是.
故选：D.
9．答案：AC
解析：对于选项A,当时,直线l可化为,故直线的斜率为-1,
所以倾斜角为,故选项A正确;
对于选项B,由题意,令,得,令,得,
若截距相等,则有,解得或,故选项B错误;
对于选项C,由直线垂直的充要条件得,解得,故选项C正确;
对于选项D,直线l可化为,因为l不过第二象限,
所以,解得,所以,故选项D错误.
故选：AC.
10．答案：BC
解析：对于A、C,由l：,得,
令,解得,所以直线l恒过定点,故A错误;
因为直线l恒过定点,而,故在圆内,
所以直线l与圆O相交,故C正确;
对于B,直线的斜率为,则当时满足直线l与直线垂直,故B正确;
对于D,时,直线,故圆心到直线的距离为,
所以直线l被圆O截得的弦长为,故D错误.
故选：BC.
11．答案：AC
解析：对于A,将直线整理得,由,
知,所以直线过定点,因为,
所以该定点在圆内,故A正确;
对于B,圆的圆心到直线的距离为,
所以过圆心且与直线l平行的直线与圆相交有两个点到直线l的距离为1,
与直线l平行且与圆相切,并且与直线l在圆心同侧的直线到l的距离为1,
所以只有三个点满足题意,故B错误;
对于C,将圆化成标准形式为,
因为两圆有三条公切线,所以两圆外切,所以,
解得,故C正确;
对于D,连接,,,因为A,B为切点,所以,,
所以,且当最小时,最小,
所以当与直线垂直时,,又因为半径为2,
所以,
所以,,故D错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：由两线平行知：,即直线与平行,
所以它们的距离为.
故答案为：.
13．答案：（或之一也可以）
解析：圆心,半径为;圆心,半径为;
等于半圆半径之和,所以两圆相外切,
又M,N两点关于原点对称,所以公切线有三条,
由,所以过原点的公切线与两圆心连线垂直可得斜率为,
此时公切线方程为,
另外两条公切线平行于过两圆圆心的直线,设方程为,
由圆心M到切线的距离等于半径可得
,
此时公切线方程为或,
故答案为：（或之一也可以）
14．答案：;
解析：设,因为P是直线上一点,
所以,以为直径的圆的方程为,
即,所以,即直线的方程为,
又直线的方程为,故直线过定点.
设,直线过定点为M,则,
由,得,
整理得点Q的轨迹方程为,
因为点到直线的距离,
所以直线与圆相离,
所以点Q到直线l的距离的最小值为.
故答案为：,.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,所以D的坐标为,
因为,所以,
解得.
（2）设线段BC的中点为E,由（1）知,则,
所以,
所以直线AE的方程为,化简得,
即BC边上的中线所在直线的方程为.
16．答案：(1);
(2).
解析：(1)由内角的平分线所在直线方程为知,
点B在直线上,
设,
则AB中点D的坐标为.
由AB边上的中线所在直线方程为知,
点D在直线上,
,解得.
点B的坐标为.
(2)设点与点关于直线对称,
则,
,解得.
点E的坐标为.
由直线为内角的平分线所在直线,知点E在直线BC上.
直线BC方程为,即.
17．答案：(1);
(2);
(3).
解析：(1)设,由得,
两边平方化简得,
所以曲线T的方程.
(2)由(1)知曲线T是以为圆心,为半径的圆,
所以圆心到直线的距离是,
所以;
(3)设点在圆上,,
所以表示圆上的点与定点两点所在直线的斜率,如图,
由图可知直线与圆相切时k取得最大值和最小值,
此时圆心到直线距离为,整理得,解得,
所以的最大值为.
18．答案：(1);
(2)（ⅰ）;（ⅱ）具体见解析.
解析：(1)由题意,设圆心为,因为圆C过原点,所以半径,
又圆C与直线相切,所以圆心C到直线的距离（负值舍去）,
所以圆C的标准方程为：.
(2)（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：,因为有两个交点,
所以,即k的取值范围是.
（ⅱ）设,,由根与系数的关系：,
所以.
即直线OA,OB斜率之和为定值.
19．答案：（1）
（2）或
（3）存在点或,使为正三角形
解析：（1）设圆心坐标为,则,解得:,
圆的半径,
圆C的方程为:.
（2）为直角三角形,,,
则圆心C到直线的距离;
当直线斜率不存在,即时,满足圆心C到直线的距离;
当直线斜率存在时,可设,即,
,解得:,
,即;
综上所述:直线的方程为或.
（3）假设在直线存在点Q,使为正三角形,,,
设,,解得:或,
存在点或,使为正三角形.