南宁市新民中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份南宁市新民中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列关系中正确的个数为( )
①,
②,
③
④
A.1个B.2个C.3个D.4个
2．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
3．高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格,100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人,则这两项成绩都合格的人数是( )
A.3B.4C.5D.9
4．设命题,,则p的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
5．设,,则下列不等式中正确的是( )
A.B.C.D.
6．设集合,,则( )
A.B.C.D.
7．设,,若,求实数a组成的集合的子集个数有_____个( )
A.2B.4C.6D.8
8．定义集合运算：.若集合,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知集合,则下列式子表示正确的是( )
A.B.C.D.
10．下列说法正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的充分不必要条件
C.若,则“”的充要条件是“”
D.若,则“”是“”的充要条件
11．下列结论中,错误的结论有( )
A.取得最大值时x的值为1
B.若,则的最大值为
C.函数的最小值为2
D.若,,且,那么的最小值为
三、填空题
12．已知集合,则___________.
13．已知,,则的取值范围是______________.
14．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足,,则此三角形面积的最大值为________________.
四、解答题
15．已知全集,,,或.
(1)求,;
(2)求.
16．已知非空集合,.
（1）若,求;
（2）若“”是“”的充分条件,求实数a的取值范围.
17．已知集合.
(1)若A是空集,求a的取值范围;
(2)若A中只有一个元素,求a的值,并求集合A;
(3)若A中至少有一个元素,求的取值范围.
18．已知x,y都是正数,且,求证
(1)
(2)
19．学习了不等式的内容后,老师布置了这样一道题：
已知,,且,求的最小值.
李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”,但结果并不相同.
李雷的解法：由于,所以,而,.那么,则最小值为.
韩梅梅的解法：由于,所以,而,则最小值为.
(1)你认为哪位同学的解法正确,哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由）
(2)为巩固学习效果,老师布置了另外两道题,请你解决：
（i）设a,b,c都是正数,求证：;
（ii）已知,,且,求的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：对于①,显然正确;
对于②,是无理数,故②正确;
对于③,是自然数,故③正确;
对于④,是无理数,故④错误.
故正确个数为3.
故选：C
2．答案：A
解析：集合,,则.
故选：A.
3．答案：B
解析：设两项都合格的人数为x,则由题意得
,解得,
即这两项成绩都合格的人数是4.
故选：B.
4．答案：C
解析：因为命题,是存在量词命题,
所以其否定是全称量词命题,即为,.
故选：C.
5．答案：C
解析：对于A,由在上是增函数可得,故A错误;
对于B,由在上是减函数可得,故B错误;
对于C,,所以,故C正确;
对于D,当时,,故D错误;
故选：C.
6．答案：B
解析：由题知,,,
因为时,为奇数,为所有整数,
所以.
故选：B.
7．答案：D
解析：,
因为,所以,
所以,,,
对应实数a的值分别为0,,,
其组成集合的子集个数为个.
故选：D.
8．答案：D
解析：,
当,或,或,或,解得或或 或,
所以,,
所以.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：因为,
所以,
A：,故A正确;
B：是集合,不是元素,不能用,故B错误;
C：,故C正确;
D：,故D正确;
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：对于A选项,当,时,;当,时,,所以两者既不充分也不必要,故A错误;
对于B选项,当时,可取,,但,当时,,故B正确;
对于C选项,当时,,从而,反之,时,若,则,所以两者不是充要条件,故C错误；
对于D选项,,且,故D正确,
故选：BD.
11．答案：ABC
解析：对于A,因为,则函数的对称轴为,
所以取得最大值时x的值为,故A错误;
对于B,令,
若,,,,当时取等号,
所以,则,则的最大值为-3,故B错误;
对于C,函数,
令,当时,解得,不满足题意,故C错误;
对于D,若,,且,
所以,
当时,即,时取等号,
所以的最小值为,故D正确.
故选：ABC.
12．答案：-1
解析：由题意得,,解得或,
当时,集合为,不满足集合中元素的互异性,舍去,
当时,集合为,满足题意,
故答案为：-1.
13．答案：
解析：设,
所以,解得,,
所以,
又,所以,
又
所以上述两不等式相加可得,
即,
所以的取值范围是,
故答案为：.
14．答案：12
解析：依题意,
所以
当且仅当,时等号成立.
故答案为：12.
15．答案：(1),.
(2)
解析：(1)由,可得,
,
,.
(2),.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,,又,
所以.
（2）若“”是“”的充分条件,即,
因为P是非空集合,所以,即,
所以,解得,
故实数a的取值范围为:.
17．答案：(1)
(2)当时,集合,当时,集合;
(3)
解析：(1)是空集,
且,
,解得,
所以a的取值范围为：;
(2)①当时,集合,
②当时,,
,解得,此时集合,
综上所述,当时,集合,当时,集合;
(3)A中至少有一个元素,则当A中只有一个元素时,或;
当A中有2个元素时,则且,即,解得且;
综上可得,时A中至少有一个元素,即.
18．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)证明：因为x,y都是正数,所以,,
所以,当且仅当,即时,等号成立,
由于,所以
(2)因为x,y都是正数,且,所以,
又,所以,
即.
19．答案：(1)韩梅梅解法正确,李雷解法错误,理由见解析
(2)（i）证明见解析;（ii）
解析：(1)韩梅梅解法正确,李雷解法错误,理由如下：
对于,,
当且仅当,即时取等号,
此时,不满足题意,
所以该解法错误;
(2)（i）由已知a,b,c都是正数,
则,,,
所以,即,
当且仅当,即时等号成立;
（ii）由已知,,且,
则,即,
所以
,
当且仅当,即时,等号成立.