新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,A,B两点都在直线上，且A,B两点横坐标之差为2，则的面积为( )
A.1B.2C.3D.4
2．已知点为直线上任意一点，则的最小值是( )
A.B.2C.D.
3．曲线与x轴围成区域的面积为( )
A.B.C.D.
4．已知曲线，设曲线C上任意一点A与定点连线的中点为P，则动点P的轨迹方程为( )
A.B.C.D.
5．若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A.B.C.D.
6．已知椭圆的左、右焦点为,,P,Q为C在第一象限的两个动点，且,，若，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
7．已知双曲线的左，右焦点分别为,，点P在双曲线的右半支上，点，则的最小值为( )
A.B.4C.6D.
8．已知椭圆经过点，右焦点为，A，B分别为椭圆E的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线l与椭圆E交于C,D两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为( )
A.1B.3C.2D.
二、多项选择题
9．已知圆，直线，则( )
A.直线l恒过定点
B.直线l与圆C有两个交点
C.当时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1
D.圆C与圆恰有三条公切线
10．曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）.给出下列四个结论,正确的有( )
A.曲线C关于直线交于不同于原点O的,两点,则
B.存在一个以原点为中心、边长为1的正方形,使得曲线C在此正方形区域内（含边界）;
C.存在一个以原点为中心、半径为1的圆,使得曲线C在此圆面内（含边界）;
D.曲线C上存在一个点M,使得点M到两坐标轴的距离之积大于.
11．已知双曲线的左右焦点分别为,，且，A、P、B为双曲线上不同的三点，且A、B两点关于原点对称，直线与斜率的乘积为1，则下列正确的是( )
A.双曲线C的实轴长为
B.双曲线C的离心率为
C.若，则三角形的周长为
D.的取值范围为
三、填空题
12．已知，，若点在线段上，则的取值范围是______.
13．如图：已知圆内有一点，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M，当点Q在圆C上运动时，点M的轨迹方程为________.
14．已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点P与点在曲线上，且满足,，则该双曲线的标准方程为________.
四、解答题
15．已知两直线和的交点为P.
(1)若直线l过点P且与直线平行，求直线l的一般式方程；
(2)若圆C过点且与相切于点P，求圆C的标准方程.
16．已知圆，直线是圆E与圆C的公共弦所在直线方程，且圆E的圆心在直线上.
(1)求公共弦的长度；
(2)求圆E的方程；
(3)过点分别作直线，，交圆E于M，N，R，S四点，且，求四边形面积的最大值与最小值.
17．已知椭圆的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A,B两点.
(1)若是线段的中点，求直线l的方程；
(2)若直线l经过点（点A在点B,Q之间），直线与直线的斜率分别为,，求证：为定值.
18．已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线标准方程，
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为,P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
19．已知椭圆的左、右焦点别为，，离心率为，过点的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直，的周长为，直线与E交于另一点C，直线与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图.
(1)求E的方程；
(2)证明：直线过定点.
参考答案
1．答案：B
解析：设，，则，，
显然点不在直线上，则边上的高，
所以的面积.
故选：B.
2．答案：C
解析：点为直线上任意一点，
又的几何意义为直线上的点到的距离，
故最小值为到直线的距离，即最小值为
故选：C.
3．答案：B
解析：曲线的方程化为,即,
所以这条曲线与x轴围成的区域是一个半径的半圆,其面积为.
故选：B.
4．答案：B
解析：设，，因为P为的中点，所以，即，
又因为点A在曲线上，所以，所以.
所以点P的轨迹方程为即.
故选：B
5．答案：A
解析：点到圆心的距离为，圆的半径为，所以，于是.故选A.
6．答案：A
解析：连接,，设，则，
在中，由余弦定理可得
，
即，
解得，即.
由可知，
在中利用余弦定理可得
，
同理可解得，
又因为，即，
所以.
故选：A.
7．答案：D
解析：由题意并结合双曲线的定义可得
，
当且仅当Q，P，三点共线时等号成立.
而直线的方程为，由可得，所以，
所以点P的坐标为.
所以当且仅当点P的坐标为时，的最小值为.
故选：D.
8．答案：B
解析：由题意可知，，，
椭圆的标准方程为.
设直线，联立直线和椭圆方程，
，得
，记，，
则，
由题意知和.则，，
则，
所以.
故选：B
9．答案：ABD
解析：对于A，直线l的方程为，由，得，直线l过定点，A正确；
对于B，，即定点在圆C内，则直线l与圆C相交且有两个交点，B正确；
对于C，当时，直线，圆心到直线l的距离为，而圆半径为2，因此只有2个点到直线的距离等于1，C错误；
对于D，圆的方程化为，
其圆心为，半径为3，两圆圆心距为，
两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确.
故选：ABD.
10．答案：AC
解析：因为由可得,所以曲线关于原点对称,又直线过原点,所以与两点关于原点对称,所以,所以A正确;
由,所以,
即:①,当取等号,此时,点在曲线上,
而,所以不可能在一个以原点为中心、边长为1的正方形内,所以B错误,
点可以在一个以原点为中心、半径为1的圆上,故C正确,
由①式知,所以D错误.
故答案为:AC.
11．答案：BCD
解析：根据题意可知，所以，设,，则，将,分别代入到双曲线后相减可得，代入可求解出，
对A，根据，解之可得，所以双曲线C的实轴长为，故A错误；
对B，根据离心率，将,代入可得，故B正确；
对C，根据，可知，则
，可求得，
所以三角形的周长为，故C正确；
对D，设与双曲线联立可得，若有解，
需要解之可求出或，故D正确.
故选：BCD
12．答案：
解析：当点与重合，则,，代入得，
当点与重合，则,，代入得，
我们把看作动点与定点的斜率k，
再结合图象：
利用正切函数在锐角范围内是单调递增，可知，
故答案为：.
13．答案：
解析：
连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得，
则有，
所以点M的轨迹是以A,C为焦点，以5为长轴长的椭圆，
则,，即，
所以点M的轨迹方程为：，即，
故答案为：.
14．答案：
解析：依题意，
即，故，
又点在曲线上，所以，即，
故双曲线的标准方程为.
故答案为：
15．答案：(1)；
(2).
解析：（1）联立方程组，解得，
所以直线和的交点.
因为直线l与直线平行，故可设直线.
又直线l过点P，则，解得，
即直线l的方程为.
（2）设所求圆的标准方程为，
直线的斜率为，故直线的斜率为，
由题意可得，解得，
故所求圆的标准方程为.
16．答案：(1)；
(2)；
(3)最大值17，最小值
解析：（1）圆，所以圆C的圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离，
公共弦；
（2）圆E的圆心在直线上，设圆心，
由题意得，,，即，E到l的距离，
所以E的半径，
所以圆E的方程：；
（3）
当过点的互相垂直的直线，为x轴，垂直于x轴时，，这时直线的方程为，代入到圆E中，，
所以，四边形的面积；
当过点的互相垂直的直线，不垂直于x轴时，
设直线为：，
则直线为：，
所以圆心E到直线的距离，圆心E到直线的距离，
，，
设，
当或1时，正好是x轴及垂直x轴，
面积，
当时，s最大且，或1时，s最小，
四边形面积的最大值17，最小值.
17．答案：(1)；
(2)证明见解析
解析：（1）设，，则有，
且，作差可得，
所以，
由点斜式得，，
整理得即为直线l的方程.
（2）
不妨设的直线方程为，，，
联立，消去x整理得，
由韦达定理得，,,
所以，
因为
，
所以为定值.
18．答案：(1)；
(2).
解析：（1）由双曲线一条渐近线方程为，可以该双曲线方程为，
由点在双曲线上，可得，即，
所以双曲线标准方程为.
（2）由双曲线标准方程为可知：左顶点的坐标为，右焦点为的坐标，
可设双曲线右支上任意一点，且，
则，，
所以，
又因为满足双曲线方程，则，
所以，
由于二次函数的对称轴是，
所以当，单调递增，
即当时，二次函数有最小值，
所以的最小值是.
19．答案：(1)；
(2)证明见解析
解析：（1）由椭圆定义可知，，
所以的周长为，所以，
又因为椭圆离心率为，所以，所以，
又，所以椭圆的方程：.
（2）设点，，，，
则直线的方程为，则，
由得，，
所以，
因为，所以，所以，故，
又，
同理，，，
由A，，B三点共线，得，所以，
直线的方程为，
由对称性可知，如果直线过定点，则该定点在x轴上，
令得，
，
故直线过定点.