人教版（2024）八年级上册14.2.1 平方差公式课后测评

这是一份人教版（2024）八年级上册14.2.1 平方差公式课后测评，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值为（ ）
A．10B．C．7D．
3．在等式中，括号里应填的多项式是（）
A．B．C．D．
4．如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证（ ）
A．B．
C．D．
5．根据等式：，，，的规律，则可以得出的结果为（ ）
A．B．C．D．
6．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．计算等于（ ）
A．B．C．D．
8．下列多项式乘多项式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（ ）
A．5B．7.5C．10D．12.5
10．在下列多项式中，与-x-y相乘的结果为x2－y2的多项式是( )
A．x－yB．x＋yC．–x＋yD．–x－y
11．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．化简的结果是( )
A．B．C．D．
二、填空题
13．用平方差公式计算：(ab﹣2)(ab+2)＝ .
14．若，且，则 ．
15．( )
16．计算： ．
17．如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多用了72个小正方形，则n的值是 .
三、解答题
18．计算：
(1)；(2)；
(3)；(4)．
19．已知2a2+a-6=0，求代数式(3a+2)(3a-2)-(5a3-2a2)÷a的值．
20．如图（1）是一个长为，宽为（＞）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是．
21．观察下列各式：
；
；
．
(1)请你按照以上各式的运算规律，填空．
① ；
② ；
③ ．
(2)应用规律计算：
．
22．综合与实践
如图1所示，边长为的正方形中有一个边长为的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．
(1)请直接用含和的代数式表示__________， __________；写出利用图形的面积关系所得到的公式：__________（用式子表达）．
(2)依据这个公式，康康展示了“计算：”的解题过程．
解：原式
．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：．
(3)对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
23．阅读材料后解决问题．
小明遇到下面一个问题：计算经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：计算：．
24．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
25．根据以下10个乘积，回答问题：
；；；；；
；；；；；
（1）试将以上各乘积分别写成一个平方差的形式，并写出其中一个的思考过程
（2）将以上10个乘积按照从小到大排列起来
（3）若用，，，，表示n个乘积，其中为正数，试由（1）（2）猜测一个一般性的结论．（不要求写证明）
26．阅读下列材料：
某同学在计算3（4+1）（42+1）时，发现把3写成4-1后，可以连续运用平方差公式计算，
3（4+1）（42+1）
=（4-1）（4+1）（42+1）
=（42-1）（42+1）
=44-1
=256-1
=255．
请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）
（2）．
1．D
【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A. ，不能用平方差公式计算，不合题意；
B. ，不能用平方差公式计算，不合题意；
C. ，不能用平方差公式计算，不合题意；
D. ，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
2．A
【分析】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．直接利用平方差公式将原式变形进而得出答案．
【详解】解：，，
．
故选：A
3．A
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解决问题的关键．
利用平方差公式进行计算，即可得出答案．
【详解】解：，
即，
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出两幅图中阴影部分的面积，再关键两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．
【详解】解：左边一幅图阴影部分面积为，右边一幅图阴影部分面积为，
∵两幅图阴影部分面积相等，
∴，
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字类规律问题．先将变形为，根据求出的结果得出规律，即可解答．
【详解】解：
，
．
故选：D．
6．D
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方、幂的乘方，平方差公式，熟练掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查运用平方差公式的运算，根据求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
原式
，
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键．根据平方差公式的结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．，不能用平方差公式计算，不符合题意；
B．，可以用平方差公式计算，符合题意；
C．，不可以用平方差公式计算，不符合题意；
D．，不可以用平方差公式计算，不符合题意；
故选B．
9．B
【分析】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与宽，理解图示，掌握乘法公式，实数的混合运算是解题的关键．
由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为，
，，解得：，，
，
点是的中点，
，
，
，
．
故选：．
10．C
【分析】依据多项式乘多项式法则进行判断即可．
【详解】解：（x-y）（-x-y）=y2-x2，故A错误；
（-x-y）（x+y）=-x2-2xy-y2，故B错误；
（-x+y）（-x-y）=x2-y2，故C正确；
（-x-y）（-x-y）=x2+2xy+y2，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是多项式乘多项式和平方差公式，熟练掌握多项式乘多项式法则以及平方差公式是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查了整式的混合运算，利用单项式的乘除法，幂的乘方的法则，平方差公式逐一判断即可，熟练掌握幂的运算法则和乘法公式是解题的关键．
【详解】、，此选项计算错误，不符合题意；
、，此选项计算正确，符合题意；
、，此选项计算错误，不符合题意；
、，此选项计算错误，不符合题意；
故选：．
12．A
【分析】将3转换成的形式，再利用平方差公式求解即可．
【详解】
故答案为：A．
【点睛】本题考查了实数的化简运算问题，掌握平方差公式是解题的关键．
13．a2b2﹣4
【分析】根据平方差公式求解即可.
【详解】解：(ab﹣2)(ab+2)＝a2b2﹣4，
故答案为：a2b2﹣4.
【点睛】本题主要考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键.
14．
【分析】本题主要考查了平方差公式，根据进行求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行作答即可．
【详解】解：∵；
故答案为：．
16．1
【分析】本题考查的是应用平方差公式简便运算，先将后面的式子转化为，再利用平方差公式计算即可
【详解】解：
．
17．
【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数，进而归纳得到拼成第个图形需要个正方形，即可得出结论．
【详解】第1个图形是一个小正方形；
第2个图形由个小正方形拼成；
第3个图形由个小正方形拼成，
……
拼成第个图形需要个正方形，
拼成第个图形需要个正方形，
，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
(4)4
【分析】本题考查了单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、多项式除以单项式、平方差公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据单项式乘以多项式法则计算，即可作答．
（2）根据多项式乘以多项式法则计算，即可作答．
（3）根据多项式除以单项式法则计算，即可作答．
（4）根据平方差公式计算，再运算减法，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
19．8
【分析】先利用平方差公式和整式的除法法则运算，然后运用整式的加减运算化简，将已知式子化简代入求解即可
【详解】解：
，
，
；
∵，
∴，
∴
，
，
．
【点睛】题目主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题关键．
20．
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．
【详解】图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，
∴正方形的边长为：m+n，∵由题意可得，正方形的边长为（m+n），正方形的面积为，
∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积=-4mn=．
【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．
21．(1)①；②；③；
(2)
【分析】（1）根据材料中的规律可得结论；
（2）先将分解为，再分别与后两项组合为立方和，立方差公式，最后再根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）①；
②；
③．
故答案为：①；②；③；
（2）
．
【点睛】本题考查了平方差公式及整式的混合运算，能根据求出的算式得出规律是解此题的关键．
22．(1)；；
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据图形可知，，根据两个面积相等即可求解；
（2）根据康康的演示，可知将代入，即可求解；
（3）根据（1）中结论，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，，
∵，
∴，
故答案为：；；．
（2）解：
，
故答案为：．
（3）解：设一个奇数为，则另一个相邻的奇数为，
∴
，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
【点睛】本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键．
23．
【分析】结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
24．(1)1
(2)
【分析】本题主要考查了整式的运算中平方差公式、逆用积的乘方、同度数幂的乘法进行简便计算，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）先将原式的乘法部分写成平方差公式的形式，然后再计算即可；
（2）先运用积的乘方进行化简，然后再进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
25．（1）11×29=202-92（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．
【详解】（1）11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；
14×26=202-62；15×25=202-52；16×24=202-42；
17×23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12；
20×20=202-02
例如，11×29；假设11×29=□2-○2，
因为□2-○2=（□+○）（□-○）；
所以，可以令□-○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=202-92．
或11×29=（20-9）（20+9）=202-92
（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20
（3）①若a+b=40，a，b是自然数，则ab≤202=400．
②若a+b=40，则ab≤202=400．
③若a+b=m，a，b是自然数，则ab≤()2
④若a+b=m，则ab≤()2．
⑤若a，b的和为定值，则ab的最大值为()2．
⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40．且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．
⑦若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m．且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn．
⑧若a+b=m，a，b差的绝对值越大，则它们的积就越小．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键．
26．（1）24096-1；（2）2．
【分析】（1）在前面乘一个（2-1），然后再连续利用平方差公式计算；
（2）在前面乘一个2×（1-），然后再连续利用平方差公式计算．
【详解】解：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）
=（24-1）（24+1）（28+1）…（22048+1）
=24096-1；
（2）
=2．
【点睛】本题考查了平方差公式的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．