高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题08数列求和(奇偶项讨论求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题08数列求和(奇偶项讨论求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共33页。
\l "_Tc8753" 二、典型题型 PAGEREF _Tc8753 \h 2
\l "_Tc29771" 题型一：求的前项和 PAGEREF _Tc29771 \h 2
\l "_Tc9843" 题型二：求的前项和 PAGEREF _Tc9843 \h 3
\l "_Tc11592" 题型三：通项含有的类型；例如： PAGEREF _Tc11592 \h 4
\l "_Tc15564" 题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题 PAGEREF _Tc15564 \h 6
\l "_Tc28257" 三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练 PAGEREF _Tc28257 \h 7
一、必备秘籍
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．
类型一：
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
类型二：
通项含有的类型；例如：
类型三：
已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
二、典型题型
题型一：求的前项和
例题1．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知为等差数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
例题2．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
例题3．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
例题4．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知数列满足，.
(1)记，求证：数列是等比数列；
(2)若，求.
题型二：求的前项和
例题1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足求的前项和.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）数列的前项和为，数列的前项积为，且．
(1)求和的通项公式；
(2)若，求的前项和．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，（），，，，成等差数列．
(1)求k的值和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
题型三：通项含有的类型；例如：
例题1．（2023秋·天津和平·高三天津二十中校考阶段练习）数列是等差数列，数列是等比数列，且，，，．
(1)求数列的公差以及数列的公比；
(2)求数列前项的和．
(3)求数列前项的和．
例题2．（2023秋·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）已知数列满足（是常数）.
(1)若，证明是等比数列；
(2)若，且是等比数列，求的值以及数列的前项和.
例题3．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列的前项和满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
例题4．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
例题1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知各项均为正数的数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求．
例题2．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）设为正数数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前99项和.
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知为等差数列的前n项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，的前项和为，求.
例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例题5．（2023春·广东佛山·高二佛山市第四中学校考阶段练习）已知在数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，则（ ）
A．1012B．C．2023D．
2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）若数列的通项公式（），则的前项和（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，，，，数列的前n项和为，则（ ）
A．0B．50C．100D．2525
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，数列的前n项和
(2)令，记，求.
14．（2023·全国·高三专题练习）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc4381" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc4381 \h 1
\l "_Tc8753" 二、典型题型 PAGEREF _Tc8753 \h 2
\l "_Tc29771" 题型一：求的前项和 PAGEREF _Tc29771 \h 2
\l "_Tc9843" 题型二：求的前项和 PAGEREF _Tc9843 \h 5
\l "_Tc11592" 题型三：通项含有的类型；例如： PAGEREF _Tc11592 \h 10
\l "_Tc15564" 题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题 PAGEREF _Tc15564 \h 13
\l "_Tc28257" 三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练 PAGEREF _Tc28257 \h 17
一、必备秘籍
有关数列奇偶项的问题是高考中经常涉及的问题，解决此类问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．本专题主要研究与数列奇偶项有关的问题，并在解决问题中让学生感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用.因此，在数列综合问题中有许多可通过构造函数来解决．
类型一：
通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
类型二：
通项含有的类型；例如：
类型三：
已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
二、典型题型
题型一：求的前项和
例题1．（2023秋·安徽·高三校联考阶段练习）已知为等差数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为d．
∵，
∴，解得．
∴．
（2）当n为奇数时，，当为偶数时，．
∴
设，①
则，②
，得
∴．
故．
例题2．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，则，
∴，两式相除得：，
当时，，
∴，即，
当时，，
∴，即，
综上所述，的通项公式为：；
（2）由题设及（1）可知：，
例题3．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，设数列的公差为，
因为，所以，则，
因为，即，所以，
所以，，
所以，即．
（2）因为，所以，
所以
．
例题4．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知数列满足，.
(1)记，求证：数列是等比数列；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以，
故，故，
当时，，
故，
所以数列是首项为5，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知：，故，
其中，
故，
设，
故.
题型二：求的前项和
例题1．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足求的前项和.
【答案】(1),；
(2).
【详解】（1）根据题意可知，
所以
当为奇数时，，即，
所以当为偶数时，；
当为偶数时，，即，
所以当为奇数时，.
综上，,.
（2）由（1）可知当为奇数时，若，即，解得，
当为偶数时，若，即，解得，
所以，当时，，
所以.
当时，且为奇数时，
当时，且为偶数时，
.
综上，
例题2．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，且对任意的，都有.
(1)证明：是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【详解】（1）证明：因为，，所以.
因为，所以，
又，则有，
所以，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列.
所以，
所以，
又，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，
则的奇数项为以为首项，为公比的等比数列；偶数项是以，为公差的等差数列.
所以当为偶数，且时，
；
当为奇数，且时，为偶数，
.
时，，满足.
所以，当为奇数，且时，有.
综上，.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）数列的前项和为，数列的前项积为，且．
(1)求和的通项公式；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）当时，，当时，，
所以，因为，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；
当时，，当时，，时也符合，所以．
（2）由（1）知，，所以，当即为偶数时，
，即；
当为奇数时，，所以．
例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，（），，，，成等差数列．
(1)求k的值和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：，，成等差数列，
所以，
得，得，
因为，所以，
所以，得．
（2）由（1）知，
当n为偶数时，设n＝2k，
可得
，
即；
当n为奇数时，设n＝2k－1，
可得
，
即．
综上所述，.
题型三：通项含有的类型；例如：
例题1．（2023秋·天津和平·高三天津二十中校考阶段练习）数列是等差数列，数列是等比数列，且，，，．
(1)求数列的公差以及数列的公比；
(2)求数列前项的和．
(3)求数列前项的和．
【答案】(1)数列的公差为1，数列的公比为2
(2)
(3)
【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为，
由题意可得，即，解得，
所以数列的公差为1，数列的公比为2.
（2）由（1）可得：，则，
设数列前项的和为，
则
，
所以.
（3）由（2）可知，
当为奇数，则，
设数列前项的和为，
则，
可得，，
两式相减得
，
所以.
例题2．（2023秋·广东珠海·高三珠海市第二中学校考阶段练习）已知数列满足（是常数）.
(1)若，证明是等比数列；
(2)若，且是等比数列，求的值以及数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2),
【详解】（1）依题意，，
当时，，
所以数列是首项，公比为的等比数列.
（2）依题意，，，且是等比数列，
则，
，
所以，而，故解得，
则，所以等比数列的公比，
则，
所以，
所以，当为偶数时，
，
当为奇数时，
，
综上所述，.
例题3．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列的前项和满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，当时，
所以，即，
所以，
所以，即是常数数列，又，所以，则.
（2）因为，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
；
综上可得.
例题4．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知是各项均为正数的数列，为的前n项和，且，，成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，，成等差数列，得，①
当时，，
∴，得（舍去），
当时，，②
①－②得，，
∴，
又，∴，
∴是首项为2，公差为1的等差数列，
∴，
故；
（2）由（1）知，
当是奇数时，
，
当是偶数时，
，
综上.
题型四：已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题
例题1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）已知各项均为正数的数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为各项为正数，，
所以上式两边同时除以，得，
令，则，即，解得（负值舍去），
所以，又，
所以是以，的等比数列，
故.
（2），
当时，，当时，，当时，，
当时，，根据三角函数周期性知的周期为4，
则
例题2．（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）设为正数数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前99项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）,,两式相减
，
化简得，
又,
所以,所以数列为等差数列，
在中令得，
因此数列的通项公式为；
（2）由的周期为3，
，
，
因此 .
例题3．（2023·全国·高二专题练习）已知为等差数列的前n项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，的前项和为，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列的公差为，则
解得，，
所以
（2）由，可得，
数列的最小正周期，
所以，
所以
例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
当时，，两式子作差可得
，
又，所以，
可得数列为公差为2 的等差数列，
当时，，
所以，数列的通项公式为.
（2），
，
所以，数列的前项和.
例题5．（2023春·广东佛山·高二佛山市第四中学校考阶段练习）已知在数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，即数列为常数列，
因为，所以.
（2）由（1）可得，
三、专题08 数列求和（奇偶项讨论求和）专项训练
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，则（ ）
A．1012B．C．2023D．
【答案】D
【详解】∵，
故
故
.
故选：D.
2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）若数列的通项公式（），则的前项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，
则
，
故选：D
3．（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，，，，数列的前n项和为，则（ ）
A．0B．50C．100D．2525
【答案】B
【详解】法一：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，易知，
所以．
又满足，故，则，
易知，所以.
法二：由于①，则当时，②，
①-②，得，即，又易知，
所以数列为常数列，所以，所以，则，
易知，所以.
故选：B．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（ ）
A．351B．353C．531D．533
【答案】B
【详解】依题意，，
显然，当n为奇数时有，
即有，，…，，
令，故，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
故；
当n为偶数时有，
即，，…，，
于是，
，
故选：B．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为为数列的前n项和，（ ）
A．1008B．1009C．1010D．1011
【答案】D
【详解】解：因为当为奇数时，为偶数时，
所以，
所以，
所以；
故选：D
6．（2023春·陕西西安·高二西安中学校考期中）已知数列的通项公式是，则（ ）
A．B．C．3027D．3028
【答案】A
【详解】解：由，
得
.
故选：A.
二、填空题
7．（2023秋·辽宁·高三校联考阶段练习）数列满足则数列的前60项和为 ．
【答案】
【详解】由， 得
，
，
所以，
即，又，所以，
所以数列为各项均为1的常数数列，
所以，
又由 得
，
，
即，
所以
，
所以数列的前60项和为 .
故答案为：.
8．（2023春·江西上饶·高二上饶市第一中学校考阶段练习）已知数列的通项公式，其前项和为，则 .
【答案】-1012
【详解】解：因为，所以，
当时，
当时，
当时，
当时，
所以，
所以，，
故，
所以
.
故答案为：-1012.
9．（2023·全国·高三专题练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则 ．
【答案】
【详解】由题意，，
在数列中，，
当或，时，，；
当，时，，；
当，时，，．
∴，
∴，
故答案为：-2023.
10．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试）设数列的通项公式为，其前项和为，则 .
【答案】100
【详解】当或，时，，；
当，时，，，
当，时.
∴，
∴.
故答案为：100.
三、解答题
11．（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且，求的值.
【答案】36
【详解】法一：由可得：
当n为奇数时，
，
，
两式相减可得：，
所以.
当n为偶数时，
，
，
两式相加可得：，
所以，，
所以
.
法二：因为，
所以，，，
，，，，
所以.
12．（2023春·安徽阜阳·高二统考期末）已知数列的前项和为，若，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，
数列为等差数列.
设公差为，则.
综上．
14．（2023·全国·高三专题练习）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列的公差为，则，
又，所以
因为，，成等比数列，
所以，
化简得，又，
所以，
所以；
（2）由（1）可得：，
则，
则当为偶数时，，
当为奇数时，，
即.