高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题09数列求和(通项含绝对值数列求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题09数列求和(通项含绝对值数列求和)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共14页。试卷主要包含了双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32072" 一、典型题型 PAGEREF _Tc32072 \h 1
\l "_Tc4996" 题型一：通项含绝对值 PAGEREF _Tc4996 \h 1
\l "_Tc26840" 题型二：通项含取整函数 PAGEREF _Tc26840 \h 2
\l "_Tc12591" 题型三：通项含自定义符号 PAGEREF _Tc12591 \h 3
\l "_Tc3551" 二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 PAGEREF _Tc3551 \h 4
一、典型题型
题型一：通项含绝对值
如：求an=|2n−11|的前n项和Tn
例题1．（2023·福建宁德·校考二模）已知Sn为等差数列an的前n项和，S63S21=9，a11=21．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=(2)an+1−1000，求数列bn的前15项和T15．
例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）设等差数列an的前n项和为Sn，a2+a6=−12，a3⋅a5=32，且Sn有最小值.
(1)求数列an的通项公式an及前n项和Sn；
(2)设数列an的前n项和为Tn，求Tn.
题型二：通项含取整函数
如：求an=[n+12]的前n项和Tn
例题1．（2023·全国·高三专题练习）Sn为等差数列an的前n项和，且&2n−12,n为奇数&2n2,n为偶数记bn=lgan，其中表示不超过x的最大整数，如&2n−12,n为奇数&2n2,n为偶数.
（Ⅰ）求b1,b11,b101；
（Ⅱ）求数列bn的前1000项和.
例题2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn2−n2+n−2Sn−2n2+n=0.
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=lgan（其中表示不超过x的最大整数），求数列bn的前100项的和T100.
题型三：通项含自定义符号
如：记⟨x⟩表示x的个位数字，如⟨2022⟩=2,⟨2023⟩=3
求an=1的前n项和Tn
例题1．（2020秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期中）设Sn为数列an的前n项和，Sn=n2.数列bn前n项和为Tn且Tn=43bn−83.数列cn满足cn=lg2bn.
（1）求数列an和cn的通项公式；
（2）记n表示n的个位数字，如2018=8，求数列1an⋅cn的前30项的和.
例题2．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）设Sn为数列an的前n项和，Sn=n2，数列bn满足b2=a3,bn+1=bn.
(1)求an及bn；
(2)记n表示n的个位数字，如6174=4，求数列1an⋅bn的前20项和.
二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练
一、单选题
1．（2023秋·江苏·高二专题练习）设数列an满足，a2=6，且an−2an+1+an=2n∈N∗，若表示不超过x的最大整数（例如1.6=1，−1.6=−2），则22a1+32a2+⋯+20192a2018＝（ ）
A．2018B．2019C．2020D．2021
2．（2023·全国·高三专题练习）正项数列an满足：an+an+1+an=anan+1an，a1+a3=6，若前三项构成等比数列且满足，Sn为数列an的前n项和，则S2020的值为（ ）
（表示不超过x的最大整数）.
A．4040B．4041C．5384D．5385
二、填空题
3．（2023·全国·高三对口高考）已知an的前n项和Sn=n2−4n+1，则 .
三、双空题
4．（2023·全国·高三专题练习）对于数列an，如果存在最小的一个常数TT∈N∗，使得对任意的正整数恒有an+T=an成立，则称数列an是周期为T的周期数列.设m=qT+r,m,q,T,r∈N∗，数列前m,T,r项的和分别记为Sm,ST,Sr，则Sm,ST,Sr三者的关系式 ；已知数列an的通项公式为an=|n−13|，那么满足ak+ak+1+⋯+ak+19=102的正整数k = .
四、解答题
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列an是首项为1的等差数列，数列bn−1是公比为2的等比数列，且．
(1)求数列an,bn的通项公式；
(2)设表示不超过x的最大整数（如：），求集合中元素的个数．
6．（2023·全国·高二专题练习）从条件①2Sn=n+1an,an>0；②an2+an=2Sn,an>0；③Sn+Sn−1=ann≥2中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
已知数列an的前n项和为Sn，，_____________.
(1)求an的通项公式；
(2)表示不超过x的最大整数，记，求bn的前100项和T100.
7．（2023·全国·高三专题练习）在①a3+a5=14；②S4=28；③a8是a5与a13的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知an为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn,bn为等比数列，其前n项和Tn=2n+λ,λ为常数，a1=b1，
（1）求数列an，bn的通项公式；
（2）令cn=lgan，其中表示不超过x的最大整数，求c1+c2+c3+…+c100的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列{an}中，公差d=2，a2是a1和a4的等比中项；
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=|11−12an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列an的前n项和为Sn=14n−n2.
（1）求数列an的通项公式；
（2） 求数列an的前n项和Tn.
13．（2023·全国·高二随堂练习）等差数列an中，a1=20，公差d=−52，令bn=|an|，求数列bn的前n项和Sn．
14．（2023·全国·高三专题练习）an=2n−1n∈N∗，bn=2n+1,n∈N∗，记⟨x⟩表示x的个位数字，如⟨2022⟩=2,⟨2023⟩=3， 求数列1⟨an⟩⋅⟨bn⟩的前20项的和T20
15．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知数列{an}是以2为公差的等差数列，a1， a2，a5成等比数列，数列{bn}前n项和为Sn，且Sn=n2n.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记⟨x⟩表示x的个位数字，如⟨2022⟩=2,⟨2023⟩=3， 求数列1⟨an⟩⋅⟨bn⟩的前20项的和T20.
专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32072" 一、典型题型 PAGEREF _Tc32072 \h 1
\l "_Tc4996" 题型一：通项含绝对值 PAGEREF _Tc4996 \h 1
\l "_Tc26840" 题型二：通项含取整函数 PAGEREF _Tc26840 \h 3
\l "_Tc12591" 题型三：通项含自定义符号 PAGEREF _Tc12591 \h 4
\l "_Tc3551" 二、专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 PAGEREF _Tc3551 \h 5
一、典型题型
题型一：通项含绝对值
如：求an=|2n−11|的前n项和Tn
例题1．（2023·福建宁德·校考二模）已知Sn为等差数列an的前n项和，S63S21=9，a11=21．
(1)求数列an的通项公式；
(2)设bn=(2)an+1−1000，求数列bn的前15项和T15．
【答案】(1)an=2n−1
(2)66490
【详解】（1）设等差数列an的公差为d，，
且a11=21，，∴d=a32−a1132−11=2，∴a1=a11−10d=1，．
（2）由（1）可知bn=2n−1000=1000−2n,1≤n≤9,2n−1000,10≤n≤15,其中n∈N∗．
故bn的前15项和为
T15=1000−21+1000−22+⋅⋅⋅+1000−29+210−1000+⋅⋅⋅+215−1000
=3000−21+22+⋅⋅⋅+29+210+211+⋅⋅⋅+215
=3000−211−291−2+2101−261−2=66490．
例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）设等差数列an的前n项和为Sn，a2+a6=−12，a3⋅a5=32，且Sn有最小值.
(1)求数列an的通项公式an及前n项和Sn；
(2)设数列an的前n项和为Tn，求Tn.
【答案】(1)an=2n−14；Sn=n2−12n
(2)Tn=−n2+13n,n≤7,n∈N∗n2−13n+84,n≥8,n∈N∗
【详解】（1）因an为等差数列，故a2+a6=a3+a5=−12，
又因a3⋅a5=32，所以a3=−4a5=−8或a3=−8a5=−4，
当a3=−4a5=−8时，an的公差为d=a5−a32=−2，a1=a3−2d=0，
此时Sn=na1+nn−12d=−n2+n有最大值，无最小值不符合题意舍去，
当a3=−8a5=−4时，an的公差为d=a5−a32=2，a1=a3−2d=−12，
此时Sn=na1+nn−12d=n2−13n，有最小值满足题意，
an=a1+n−1d=2n−14，
综上an=2n−14，Sn=n2−an
=T7+Sn−S7
=−72+13×7+n2−13n−72−13×7
=n2−13n+84，
故Tn=−n2+13n,n≤7,n∈N∗n2−13n+84,n≥8,n∈N∗
题型二：通项含取整函数
如：求an=[n+12]的前n项和Tn
例题1．（2023·全国·高三专题练习）Sn为等差数列an的前n项和，且&2n−12,n为奇数&2n2,n为偶数记bn=lgan，其中表示不超过x的最大整数，如&2n−12,n为奇数&2n2,n为偶数.
（Ⅰ）求b1,b11,b101；
（Ⅱ）求数列bn的前1000项和.
【答案】（Ⅰ）b1=0,b11=1,b101=2.（Ⅱ）1893.
试题解析：（Ⅰ）设{an}的公差为d，据已知有71d=28，解得d=1.
所以{an}的通项公式为an=n.
b1=[lg1]=0,b11=[lg11]=1,b101=[lg101]=2.
（Ⅱ）因为bn={0,1≤n13时，an的前n项和为Sn=S13+(1+n−13)(n−13)2=12(n2−25n+312)；
满足ak+ak+1+⋯+ak+19=102，
即ak+ak+1+⋯+ak+19=Sk+19−Sk−1=102，k∈N∗.
而Sk+19=12(k+19)2−25(k+19)+312=12(k2+13k+198)，
(1)当k−1≤13时，Sk−1=−12k2+272k−13，
所以Sk+19−Sk−1=12(k2+13k+198)−(−12k2+272k−13)=102，
解得k=2或k=5；
(2)当k−1>13时，Sk−1=12(k−1)2−25(k−1)+312=12(k2−27k+338)，
所以Sk+19−Sk−1=12(k2+13k+198)−12(k2−27k+338)=102，
解得k不是整数，舍去.
故答案为：k=2或k=5.
四、解答题
5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列an是首项为1的等差数列，数列bn−1是公比为2的等比数列，且．
(1)求数列an,bn的通项公式；
(2)设表示不超过x的最大整数（如：），求集合中元素的个数．
【答案】(1)
(2)36
【详解】（1）设等差数列an的公差为d，
由题意可知，
因为，
所以1d=2b1−1+11+5d+4b1−1+1=20，
解得b1=3,d=2，所以an=1n−1=2n−1，
bn−1=3−1×2n−1=2n，故bn=2n+1．
（2）因为，所以，所以．
因为，
所以当m=1时，，则1