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    2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

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    2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)第1页
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    2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

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    这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析),共19页。


    \l "_Tc218" 二、典型题型 PAGEREF _Tc218 \h 2
    \l "_Tc2744" 题型一:构造法 PAGEREF _Tc2744 \h 2
    \l "_Tc28991" 题型二:倒数法 PAGEREF _Tc28991 \h 4
    \l "_Tc29364" 三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练 PAGEREF _Tc29364 \h 5
    一、必备秘籍
    1.构造法
    类型1: 用“待定系数法”构造等比数列
    形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.
    标准模型:(为常数,)或(为常数,)
    类型2:用“同除法”构造等差数列
    (1)形如,可通过两边同除,将它转化为,从而构造数列为等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
    (2)形如,可通过两边同除,将它转化为,换元令:,则原式化为:,先利用构造法类型1求出,再求出的通项公式.
    (3)形如的数列,可通过两边同除以,变形为的形式,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
    2.倒数法
    用“倒数变换法”构造等差数列
    类型1:形如(为常数,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,即:,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,即可求得.
    类型2:形如(为常数,,,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,可通过换元:,化简为:(此类型符构造法类型1: 用“待定系数法”构造等比数列:形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.)
    二、典型题型
    题型一:构造法
    1.(23-24高二下·河南·阶段练习)已知数列满足.
    (1)求的通项公式;
    2.(23-24高二下·江西·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    3.(23-24高三下·河北张家口·开学考试)已知数列满足,且.
    (1)求数列的通项公式;
    4.(23-24高三上·山东青岛·期末)已知是公差不为0的等差数列,,且成等比数列,数列,数列的前项和.
    (1)求
    5.(23-24高二上·浙江绍兴·期末)已知数列满足,.
    (1)求数列的通项公式;
    题型二:倒数法
    1.(2023高三·全国·专题练习)已知数列满足:求通项.
    2.(2023高二·全国·专题练习)已知数列满足,,.若,求数列的通项公式.
    3.(23-24高二上·上海浦东新·期中)已知数列有递推关系
    (1)记若数列的递推式形如且,也即分子中不再含有常数项,求实数的值;
    (2)求的通项公式.
    4.(23-24高三上·山西·阶段练习)已知数列中,,
    (1)证明:数列是等比数列
    6.(23-24高二上·湖北黄石·阶段练习)已知数列满足,则的通项公式为 .
    7.(2024高三·全国·专题练习)已知数列满足,且,求数列的通项公式.
    8.(23-24高二上·河北张家口·期末)已知满足.
    (1)证明:数列为等比数列;
    9.(23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习)设数列满足,.
    (1)求数列的通项公式;
    10.(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    11.(2023·陕西安康·模拟预测)在数列中,已知.
    (1)求的通项公式;
    12.(23-24高二上·福建莆田·期末)设数列的前项和为,已知,且
    (1)求数列的通项公式;
    专题03 数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)
    目录
    TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25464" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc25464 \h 1
    \l "_Tc218" 二、典型题型 PAGEREF _Tc218 \h 2
    \l "_Tc2744" 题型一:构造法 PAGEREF _Tc2744 \h 2
    \l "_Tc28991" 题型二:倒数法 PAGEREF _Tc28991 \h 4
    \l "_Tc29364" 三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练 PAGEREF _Tc29364 \h 7
    一、必备秘籍
    1.构造法
    类型1: 用“待定系数法”构造等比数列
    形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.
    标准模型:(为常数,)或(为常数,)
    类型2:用“同除法”构造等差数列
    (1)形如,可通过两边同除,将它转化为,从而构造数列为等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
    (2)形如,可通过两边同除,将它转化为,换元令:,则原式化为:,先利用构造法类型1求出,再求出的通项公式.
    (3)形如的数列,可通过两边同除以,变形为的形式,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
    2.倒数法
    用“倒数变换法”构造等差数列
    类型1:形如(为常数,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,即:,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,即可求得.
    类型2:形如(为常数,,,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,可通过换元:,化简为:(此类型符构造法类型1: 用“待定系数法”构造等比数列:形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.)
    二、典型题型
    题型一:构造法
    1.(23-24高二下·河南·阶段练习)已知数列满足.
    (1)求的通项公式;
    【答案】(1);
    【分析】(1)构造等比数列,结合等比数列的通项公式,即可求得结果;
    【详解】(1)因为,所以又,
    所以,
    所以是以9为首项,3为公比的等比数列,
    所以,所以.
    2.(23-24高二下·江西·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    【答案】(1)
    【分析】
    (1)变形得到是以2为首项,2为公比的等比数列,得到通项公式;
    【详解】(1)由两边同时除以,可得,
    所以,
    故数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
    所以,即.
    3.(23-24高三下·河北张家口·开学考试)已知数列满足,且.
    (1)求数列的通项公式;
    【答案】(1);
    【分析】(1)由已知条件构造等比数列,根据等比数列的通项公式,即可求得结果;
    【详解】(1)由已知,所以,又,
    所以数列是首项为,公比的等比数列,
    所以,即 .
    4.(23-24高三上·山东青岛·期末)已知是公差不为0的等差数列,,且成等比数列,数列,数列的前项和.
    (1)求
    【答案】(1)
    【分析】(1)由题意列方程,求出数列的首项和公差,求出,可得,变形后构造等比数列,即可求得答案;
    【详解】(1)因为成等比数列,所以,
    设等差数列的公差为,,所以,
    解得,


    对上式两边同时除以得:,即

    数列是以为首项,以为公比的等比数列,
    故,即;
    5.(23-24高二上·浙江绍兴·期末)已知数列满足,.
    (1)求数列的通项公式;
    【答案】(1)
    【分析】(1)根据题意等比数列的定义和通项公式运算求解;
    【详解】(1)由,即,
    可得,且,故,
    可知是首项为2,公比为的等比数列,
    则,即,
    所以数列的通项公式为.
    题型二:倒数法
    1.(2023高三·全国·专题练习)已知数列满足:求通项.
    【答案】
    【分析】取倒数后得到是等差数列,求出,得到通项公式.
    【详解】取倒数:,故是等差数列,首项为,公差为2,

    ∴.
    2.(2023高二·全国·专题练习)已知数列满足,,.若,求数列的通项公式.
    【答案】
    【分析】将代入已知可得,进而推得,即可得出数列是等差数列,写出通项即可得出答案.
    【详解】将代入已知可得.
    因为,所以,
    所以有,所以.
    又,
    所以,数列是以2为首项,1为公差的等差数列,
    所以,,
    所以,.
    3.(23-24高二上·上海浦东新·期中)已知数列有递推关系
    (1)记若数列的递推式形如且,也即分子中不再含有常数项,求实数的值;
    (2)求的通项公式.
    【答案】(1)或
    (2)
    【分析】(1)根据题意整理可得,即,运算求解即可;
    (2)取,可得,利用构造法结合等比数列求通项公式.
    【详解】(1)因为,且,
    所以,
    则,解得或;
    (2)由(1)可得:当时,则,且,
    可得,
    则,且,
    故数列是以为首项,为公比的等比数列,
    ∴,则,
    故.
    4.(23-24高三上·山西·阶段练习)已知数列中,,
    (1)证明:数列是等比数列
    【答案】(1)证明见解析 ;
    【解析】(1)由可得,然后可得答案;
    【详解】(1)证明:由,知
    又,∴是以为首项,3为公比的等比数列
    5.(2024高三·全国·专题练习)在数列中,.求证:数列是等差数列,并求的通项公式;
    【答案】证明见解析;
    【分析】根据等差数列的定义证明,然后利用等差数列的通项公式求解.
    【详解】

    且所以,数列是等差数列,且首项为1,公差为1,

    三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练
    1.(23-24高二上·重庆·期末)已知数列满足,则数列的前8项和 .
    【答案】502
    【分析】根据取倒数构造等比数列,结合等比数列求和公式即可得到答案.
    【详解】由,取倒数得,
    所以,
    因为,所以,所以,
    所以是首项为2,公比为2的等比数列,
    所以,则,
    所以数列的前8项和.
    故答案为:502
    2.(23-24高二下·全国·单元测试)已知数列满足,,,则 .
    【答案】
    【分析】将变形可得数列为等差数列,再借助等差数列求解即得.
    【详解】数列中,,,显然,取倒数得,
    即,则数列是首项为1,公差为4的等差数列,
    因此,所以.
    故答案为:.
    3.(23-24高二上·全国·单元测试)已知数列满足,且,则数列的通项公式为 .
    【答案】
    【详解】
    在等式两边取到数,推导出数列为等差数列,确定该数列的首项和公差,即可求得数列的通项公式,进而可求得数列的通项公式.
    【分析】因为数列满足,且,则,
    ,,
    以此类推可知,对任意的,,
    在等式两边取倒数可得,则,
    所以数列是首项为,公差为的等差数列.
    所以,,所以,.
    故答案为:.
    4.(23-24高二下·河南·期中)数列中,若,,则 .
    【答案】19
    【分析】取倒数可得,即可得数列的通项公式,计算即可得.
    【详解】∵,则,
    ∴,∴故数列为等差数列,公差等于2,
    又,故,
    ∴.
    故答案为:19.
    5.(2024·江苏南京·模拟预测)已知数列满足,则数列的通项公式为 .
    【答案】
    【分析】根据给定的递推公式,利用构造法求出通项即得.
    【详解】数列中,,,显然,
    则有,即,而,
    因此数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
    所以,即.
    故答案为:
    6.(23-24高二上·湖北黄石·阶段练习)已知数列满足,则的通项公式为 .
    【答案】
    【分析】对取倒数,然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可.
    【详解】对两边取倒数得,即,
    当时,,,,,,
    将以上各式累加得,又,
    所以,所以,当时,也满足,所以.
    故答案为:
    7.(2024高三·全国·专题练习)已知数列满足,且,求数列的通项公式.
    【答案】
    【分析】根据题意先证数列为等比数列,再结合等比数列的通项公式分析求解.
    【详解】因为,且,可知,
    则,可得,
    且,
    可知数列是首项为2,公比为4的等比数列,
    可得,所以.
    8.(23-24高二上·河北张家口·期末)已知满足.
    (1)证明:数列为等比数列;
    【分析】(1)推导出数列为等比数列,确定该数列的公比和第二项的值,即可求得数列的通项公式;
    【详解】(1)解:因为数列满足,,则,
    且,所以,数列是等比数列,且该数列的第二项为,公比为,
    所以,,则.
    10.(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    【答案】(1)
    【分析】(1)由得,得数列以为首项以3为公比的等比数列,由等比数列求通项即可.
    【详解】(1)当时,,得,
    当时,

    所以,变形得,即,
    数列以为首项以3为公比的等比数列,
    所以,即
    11.(2023·陕西安康·模拟预测)在数列中,已知.
    (1)求的通项公式;
    【答案】(1)
    【分析】(1)由可得,由等比数列定义可得是首项为2,公比为2的等比数列,即可得的通项公式,即可得;
    【详解】(1)因为,
    所以,又,
    所以是首项为2,公比为2的等比数列.
    所以,即;
    12.(23-24高二上·福建莆田·期末)设数列的前项和为,已知,且
    (1)求数列的通项公式;
    【答案】(1)
    【分析】(1)计算,根据得到,变换,确定是首项为,公比为的等比数列,计算得到答案.
    【详解】(1),则,故,
    当时,,,
    两式相减得到,即,则,
    ,故是首项为,公比为的等比数列,
    ,故,
    时满足,故.

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