所属成套资源:2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)【精品典型题型归类训练】(学生版+解析)
- 2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题02数列求通项(累加法、累乘法)(典型题型归类训练)(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题03圆锥曲线中的三角形(四边形)面积问题(典型题型归类训练)(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题04圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题(典型题型归类训练)(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)(典型题型归类训练)(学生版+解析) 试卷 0 次下载
- 2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)(学生版+解析) 试卷 0 次下载
2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)
展开这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题03数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)(学生版+解析),共19页。
\l "_Tc218" 二、典型题型 PAGEREF _Tc218 \h 2
\l "_Tc2744" 题型一:构造法 PAGEREF _Tc2744 \h 2
\l "_Tc28991" 题型二:倒数法 PAGEREF _Tc28991 \h 4
\l "_Tc29364" 三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练 PAGEREF _Tc29364 \h 5
一、必备秘籍
1.构造法
类型1: 用“待定系数法”构造等比数列
形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.
标准模型:(为常数,)或(为常数,)
类型2:用“同除法”构造等差数列
(1)形如,可通过两边同除,将它转化为,从而构造数列为等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
(2)形如,可通过两边同除,将它转化为,换元令:,则原式化为:,先利用构造法类型1求出,再求出的通项公式.
(3)形如的数列,可通过两边同除以,变形为的形式,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1:形如(为常数,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,即:,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,即可求得.
类型2:形如(为常数,,,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,可通过换元:,化简为:(此类型符构造法类型1: 用“待定系数法”构造等比数列:形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.)
二、典型题型
题型一:构造法
1.(23-24高二下·河南·阶段练习)已知数列满足.
(1)求的通项公式;
2.(23-24高二下·江西·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
3.(23-24高三下·河北张家口·开学考试)已知数列满足,且.
(1)求数列的通项公式;
4.(23-24高三上·山东青岛·期末)已知是公差不为0的等差数列,,且成等比数列,数列,数列的前项和.
(1)求
5.(23-24高二上·浙江绍兴·期末)已知数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
题型二:倒数法
1.(2023高三·全国·专题练习)已知数列满足:求通项.
2.(2023高二·全国·专题练习)已知数列满足,,.若,求数列的通项公式.
3.(23-24高二上·上海浦东新·期中)已知数列有递推关系
(1)记若数列的递推式形如且,也即分子中不再含有常数项,求实数的值;
(2)求的通项公式.
4.(23-24高三上·山西·阶段练习)已知数列中,,
(1)证明:数列是等比数列
6.(23-24高二上·湖北黄石·阶段练习)已知数列满足,则的通项公式为 .
7.(2024高三·全国·专题练习)已知数列满足,且,求数列的通项公式.
8.(23-24高二上·河北张家口·期末)已知满足.
(1)证明:数列为等比数列;
9.(23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习)设数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
10.(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
11.(2023·陕西安康·模拟预测)在数列中,已知.
(1)求的通项公式;
12.(23-24高二上·福建莆田·期末)设数列的前项和为,已知,且
(1)求数列的通项公式;
专题03 数列求通项(构造法、倒数法)(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc25464" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc25464 \h 1
\l "_Tc218" 二、典型题型 PAGEREF _Tc218 \h 2
\l "_Tc2744" 题型一:构造法 PAGEREF _Tc2744 \h 2
\l "_Tc28991" 题型二:倒数法 PAGEREF _Tc28991 \h 4
\l "_Tc29364" 三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练 PAGEREF _Tc29364 \h 7
一、必备秘籍
1.构造法
类型1: 用“待定系数法”构造等比数列
形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.
标准模型:(为常数,)或(为常数,)
类型2:用“同除法”构造等差数列
(1)形如,可通过两边同除,将它转化为,从而构造数列为等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
(2)形如,可通过两边同除,将它转化为,换元令:,则原式化为:,先利用构造法类型1求出,再求出的通项公式.
(3)形如的数列,可通过两边同除以,变形为的形式,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,便可求得的通项公式.
2.倒数法
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1:形如(为常数,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,即:,从而构造出新的等差数列,先求出的通项,即可求得.
类型2:形如(为常数,,,)的数列,通过两边取“倒”,变形为,可通过换元:,化简为:(此类型符构造法类型1: 用“待定系数法”构造等比数列:形如(为常数,)的数列,可用“待定系数法”将原等式变形为(其中:),由此构造出新的等比数列,先求出的通项,从而求出数列的通项公式.)
二、典型题型
题型一:构造法
1.(23-24高二下·河南·阶段练习)已知数列满足.
(1)求的通项公式;
【答案】(1);
【分析】(1)构造等比数列,结合等比数列的通项公式,即可求得结果;
【详解】(1)因为,所以又,
所以,
所以是以9为首项,3为公比的等比数列,
所以,所以.
2.(23-24高二下·江西·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
【答案】(1)
【分析】
(1)变形得到是以2为首项,2为公比的等比数列,得到通项公式;
【详解】(1)由两边同时除以,可得,
所以,
故数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以,即.
3.(23-24高三下·河北张家口·开学考试)已知数列满足,且.
(1)求数列的通项公式;
【答案】(1);
【分析】(1)由已知条件构造等比数列,根据等比数列的通项公式,即可求得结果;
【详解】(1)由已知,所以,又,
所以数列是首项为,公比的等比数列,
所以,即 .
4.(23-24高三上·山东青岛·期末)已知是公差不为0的等差数列,,且成等比数列,数列,数列的前项和.
(1)求
【答案】(1)
【分析】(1)由题意列方程,求出数列的首项和公差,求出,可得,变形后构造等比数列,即可求得答案;
【详解】(1)因为成等比数列,所以,
设等差数列的公差为,,所以,
解得,
,
,
对上式两边同时除以得:,即
,
数列是以为首项,以为公比的等比数列,
故,即;
5.(23-24高二上·浙江绍兴·期末)已知数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
【答案】(1)
【分析】(1)根据题意等比数列的定义和通项公式运算求解;
【详解】(1)由,即,
可得,且,故,
可知是首项为2,公比为的等比数列,
则,即,
所以数列的通项公式为.
题型二:倒数法
1.(2023高三·全国·专题练习)已知数列满足:求通项.
【答案】
【分析】取倒数后得到是等差数列,求出,得到通项公式.
【详解】取倒数:,故是等差数列,首项为,公差为2,
,
∴.
2.(2023高二·全国·专题练习)已知数列满足,,.若,求数列的通项公式.
【答案】
【分析】将代入已知可得,进而推得,即可得出数列是等差数列,写出通项即可得出答案.
【详解】将代入已知可得.
因为,所以,
所以有,所以.
又,
所以,数列是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以,,
所以,.
3.(23-24高二上·上海浦东新·期中)已知数列有递推关系
(1)记若数列的递推式形如且,也即分子中不再含有常数项,求实数的值;
(2)求的通项公式.
【答案】(1)或
(2)
【分析】(1)根据题意整理可得,即,运算求解即可;
(2)取,可得,利用构造法结合等比数列求通项公式.
【详解】(1)因为,且,
所以,
则,解得或;
(2)由(1)可得:当时,则,且,
可得,
则,且,
故数列是以为首项,为公比的等比数列,
∴,则,
故.
4.(23-24高三上·山西·阶段练习)已知数列中,,
(1)证明:数列是等比数列
【答案】(1)证明见解析 ;
【解析】(1)由可得,然后可得答案;
【详解】(1)证明:由,知
又,∴是以为首项,3为公比的等比数列
5.(2024高三·全国·专题练习)在数列中,.求证:数列是等差数列,并求的通项公式;
【答案】证明见解析;
【分析】根据等差数列的定义证明,然后利用等差数列的通项公式求解.
【详解】
,
且所以,数列是等差数列,且首项为1,公差为1,
.
三、数列求通项(构造法、倒数法)专项训练
1.(23-24高二上·重庆·期末)已知数列满足,则数列的前8项和 .
【答案】502
【分析】根据取倒数构造等比数列,结合等比数列求和公式即可得到答案.
【详解】由,取倒数得,
所以,
因为,所以,所以,
所以是首项为2,公比为2的等比数列,
所以,则,
所以数列的前8项和.
故答案为:502
2.(23-24高二下·全国·单元测试)已知数列满足,,,则 .
【答案】
【分析】将变形可得数列为等差数列,再借助等差数列求解即得.
【详解】数列中,,,显然,取倒数得,
即,则数列是首项为1,公差为4的等差数列,
因此,所以.
故答案为:.
3.(23-24高二上·全国·单元测试)已知数列满足,且,则数列的通项公式为 .
【答案】
【详解】
在等式两边取到数,推导出数列为等差数列,确定该数列的首项和公差,即可求得数列的通项公式,进而可求得数列的通项公式.
【分析】因为数列满足,且,则,
,,
以此类推可知,对任意的,,
在等式两边取倒数可得,则,
所以数列是首项为,公差为的等差数列.
所以,,所以,.
故答案为:.
4.(23-24高二下·河南·期中)数列中,若,,则 .
【答案】19
【分析】取倒数可得,即可得数列的通项公式,计算即可得.
【详解】∵,则,
∴,∴故数列为等差数列,公差等于2,
又,故,
∴.
故答案为:19.
5.(2024·江苏南京·模拟预测)已知数列满足,则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】根据给定的递推公式,利用构造法求出通项即得.
【详解】数列中,,,显然,
则有,即,而,
因此数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以,即.
故答案为:
6.(23-24高二上·湖北黄石·阶段练习)已知数列满足,则的通项公式为 .
【答案】
【分析】对取倒数,然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可.
【详解】对两边取倒数得,即,
当时,,,,,,
将以上各式累加得,又,
所以,所以,当时,也满足,所以.
故答案为:
7.(2024高三·全国·专题练习)已知数列满足,且,求数列的通项公式.
【答案】
【分析】根据题意先证数列为等比数列,再结合等比数列的通项公式分析求解.
【详解】因为,且,可知,
则,可得,
且,
可知数列是首项为2,公比为4的等比数列,
可得,所以.
8.(23-24高二上·河北张家口·期末)已知满足.
(1)证明:数列为等比数列;
【分析】(1)推导出数列为等比数列,确定该数列的公比和第二项的值,即可求得数列的通项公式;
【详解】(1)解:因为数列满足,,则,
且,所以,数列是等比数列,且该数列的第二项为,公比为,
所以,,则.
10.(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末)已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
【答案】(1)
【分析】(1)由得,得数列以为首项以3为公比的等比数列,由等比数列求通项即可.
【详解】(1)当时,,得,
当时,
,
所以,变形得,即,
数列以为首项以3为公比的等比数列,
所以,即
11.(2023·陕西安康·模拟预测)在数列中,已知.
(1)求的通项公式;
【答案】(1)
【分析】(1)由可得,由等比数列定义可得是首项为2,公比为2的等比数列,即可得的通项公式,即可得;
【详解】(1)因为,
所以,又,
所以是首项为2,公比为2的等比数列.
所以,即;
12.(23-24高二上·福建莆田·期末)设数列的前项和为,已知,且
(1)求数列的通项公式;
【答案】(1)
【分析】(1)计算,根据得到,变换,确定是首项为,公比为的等比数列,计算得到答案.
【详解】(1),则,故,
当时,,,
两式相减得到,即,则,
,故是首项为,公比为的等比数列,
,故,
时满足,故.
相关试卷
这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)(学生版+解析),共29页。
这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题01三角函数的图象与性质(典型题型归类训练)(学生版+解析),共31页。试卷主要包含了必备秘籍,典型题型,专项训练,解答题等内容,欢迎下载使用。
这是一份高考数学复习解答题提高第一轮专题复习专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)(典型题型归类训练)(学生版+解析),共17页。