2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共13页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32691" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc32691 \h 1
\l "_Tc13282" 二、典型题型 PAGEREF _Tc13282 \h 2
\l "_Tc10348" 题型一：隔项等差数列 PAGEREF _Tc10348 \h 2
\l "_Tc2489" 题型二：隔项等比数列 PAGEREF _Tc2489 \h 3
\l "_Tc4735" 三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练 PAGEREF _Tc4735 \h 4
一、必备秘籍
1、隔项等差数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
2、隔项等比数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
二、典型题型
题型一：隔项等差数列
1．（23-24高三上·湖南益阳·期末）已知是等差数列，满足：对，，则数列的通项公式＝（ ）
A．nB．n﹣1C．n﹣D．n+
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，，则的值为 ，的值为 .
3．（2024·广西·二模）在等差数列中，，且等差数列的公差为4.
(1)求；
4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n，a1＝1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
5．（四川省眉山市2024届高中第三次诊断性考试数学（文史类）试题）将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.
已知是数列前n项和，___________.
(1)求的通项公式；
4．（江苏省苏州市第十中学2023-2024学年高二数学10月阶段检测数学试题）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
已知正项数列满足，，__________.
(1)求数列的通项公式：
三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练
1．（广东省深圳市2023届高三二模数学试题）已知数列满足，，，.
(1)求数列的通项公式；
2．（湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
3．（河北省唐山市玉田县2018-2019学年高一下学期期中数学试题）已知数列的前项和为，，且，，（）
（1）求，并证明：当时， ．
4．（新疆维吾尔自治区普通高考2022届高三第一次适应性检测数学（理）试题）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc32691" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc32691 \h 1
\l "_Tc13282" 二、典型题型 PAGEREF _Tc13282 \h 2
\l "_Tc10348" 题型一：隔项等差数列 PAGEREF _Tc10348 \h 2
\l "_Tc2489" 题型二：隔项等比数列 PAGEREF _Tc2489 \h 5
\l "_Tc4735" 三、专题04 数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练 PAGEREF _Tc4735 \h 8
一、必备秘籍
1、隔项等差数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
2、隔项等比数列
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
二、典型题型
题型一：隔项等差数列
1．（23-24高三上·湖南益阳·期末）已知是等差数列，满足：对，，则数列的通项公式＝（ ）
A．nB．n﹣1C．n﹣D．n+
【答案】C
【分析】由得，两式相减得，可得d的值，可得答案.
【详解】解：由得，
两式相减得，
故.
故选.
【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，由已知得出是解题的关键.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，，则的值为 ，的值为 .
【答案】 20 231
【分析】由数列的递推关系式可得{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式和前n项和公式求解即可得到答案.
【详解】将n＝1代入an＋an＋1＝2n＋1中得a2＝3－1＝2.
由an＋an＋1＝2n＋1①，得an＋1＋an＋2＝2n＋3②.
②－①，得an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，
则a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20，
S21＝(a1＋a3＋a5＋…＋a21)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝＋＝231.
故答案为：20；231
【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，属于基础题.
3．（2024·广西·二模）在等差数列中，，且等差数列的公差为4.
(1)求；
【答案】(1)；
【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式；
【详解】（1）设的公差为，则，，
又，所以，
所以，．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n，a1＝1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
【答案】an＝
【详解】
解：由an＋an＋1＝2n ①，得n≥2时，an－1＋an＝2(n－1) ②.由①－②得an＋1－an－1＝2，所以该数列奇数项和偶数项分别成公差为2的等差数列，由a1＋a2＝2，得a2＝1，
∴ an＝
5．（四川省眉山市2024届高中第三次诊断性考试数学（文史类）试题）将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.
已知是数列前n项和，___________.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）若选①，类比作差证明数列是隔项等差数列即可；
若选②，利用类比作差和阶差法可以求解；
若选③，利用公式作差后因式分解，找出与的关系，再根据等差数列的定义和通项公式即可求出.
（2）利用数学归纳法证明结论即可.
【详解】（1）若选①：
因为
所以，
两式相减得，
所以是隔项等差数列，
且，
所以为奇数，
为偶数，
所以.
若选②：，
所以，
两式相减得，，
所以，
所以.
若选③：
因为①，
所以②，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
所以的通项公式.
6．（2023届山东省潍坊市三县高三最后一次模拟考试理数）已知数列满足．
（1）若，求数列的前项和；
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由得．两式相减，得,分奇数、偶数两种情况，分别利用等差数列通项公式求解即可；
【详解】（I）由，得，
两式相减，得．
所以数列是首项为，公差为4的等差数列；数列是首项为，公差为4的等差数列．
由，，得．
所以
①当为奇数时，，
．
②当为偶数时，
．
所以
题型二：隔项等比数列
1．(多选）（广东省广州市白云区2023-2024学年高二上学期期中数学试题）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是等比数列C．D．
【答案】ABD
【分析】先由分析出数列的奇数项和偶数项均为等比数列，再逐项判断即可.
【详解】解：数列中，，，
所以，即
因为，所以
所以
所以数列的奇数项和偶数项，均为以为公比的等比数列
所以
对A，，故A正确；
对B，由分析知，是等比数列，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对已知数列的递推公式进行变形整理，得到新的递推公式，从而得到数列的奇数项和偶数项均为等比数列.
2．（北京市大兴区2023届高三上学期期末检测数学试题）已知数列中，，，，则下列结论错误的是（）
A．B．
C．是等比数列D．
【答案】D
【分析】AB项，分别令，，求出的值验证；CD项，由可得，得，继而得到及均为等比数列，根据等比数列的通项求解.
【详解】当时，，故A正确.
当时，，
当时，，，故B正确.
C项，，
，
所以得，所以，是以为首项，为公比的等比数列，故C正确.
D项，由C项得，
又，，是以为首项，为公比的等比数列，
，故D错误.
故选：D
3．（四川省德阳市2023-2024学年高二下学期期中数学理科试题）已知正项等比数列对任意的均满足．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据，得当时，，两式相除可求得公比，再求出首项，再根据等比数列得通项即可得解；
【详解】（1）设公比为，
由，得当时，，
两式相除得，所以，
又，则，所以（舍去），
所以；
4．（江苏省苏州市第十中学2023-2024学年高二数学10月阶段检测数学试题）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
已知正项数列满足，，__________.
(1)求数列的通项公式：
由，得,
所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，,
数列是首项为6，公比为4的等比数列，,
综上，数列的通项公式为 .
2．（湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）根据的关系式可得是首项为1，公比为的等比数列，再根据可分别对的奇数项和偶数项分别求通项公式可得；
【详解】（1）由①，当时，②，
得，
当时，，
是首项为1，公比为的等比数列，故，
由③.由
得，又④.
④-③得，
的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：
所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得.
综上可得；
3．（河北省唐山市玉田县2018-2019学年高一下学期期中数学试题）已知数列的前项和为，，且，，（）
（1）求，并证明：当时， ．
【答案】（1）；见证明；
【分析】（1）取代入即可求出，要证明，只需要把换成之间的关系即可．
【详解】（1）当，由及，得．
当时，由，得．
因为，所以．
4．（新疆维吾尔自治区普通高考2022届高三第一次适应性检测数学（理）试题）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)；
【分析】（1）分奇偶讨论并结合累加法求通项、等比数列前n项和公式计算作答.
【详解】（1）依题意，，由得：，
则当n为奇数，时，
，满足上式，
当n为偶数，时，
，满足上式，
即当n为奇数时，，当n为偶数时，，
所以．