2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题04构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共28页。

\l "_Tc18025" 二、典型题型 PAGEREF _Tc18025 \h 2
\l "_Tc2314" 题型一：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc2314 \h 2
\l "_Tc31802" 题型二：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc31802 \h 3
\l "_Tc10020" 题型三：构造或型 PAGEREF _Tc10020 \h 4
\l "_Tc14310" 题型四：构造或型 PAGEREF _Tc14310 \h 5
\l "_Tc13392" 三、专项训练 PAGEREF _Tc13392 \h 6
一、必备秘籍
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
二、典型题型
题型一：构造或(，且)型
1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知的定义域为是的导函数，且，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（23-24高二下·山西太原·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
4．（多选）（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函数的导函数为，对任意的正数x，都满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：构造或(，且)型
1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的连续可导函数及其导函数满足恒成立，且时，则下列式子不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·广东梅州·模拟预测）设是的导函数，定义在上的函数满足（1）；（2），则的范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的连续可导函数，，的导函数为，若，是指数函数，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．在上单调递增
C．，D．
题型三：构造或型
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
三、专项训练
1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（21-22高三下·西藏拉萨·阶段练习）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23高二下·四川绵阳·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．（22-23高二下·江西吉安·期末）若定义在上的可导函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·浙江温州·一模）定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（ ）
A．函数为奇函数
B．不等式的解集为
C．若方程有两个根，，则
D．在处的切线方程为
10．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（ ）
A．B．
C．在上是减函数D．在上是增函数
三、填空题
11．（23-24高二下·上海·期中）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 .
12．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为 ．
13．（22-23高二下·吉林长春·期中）已知函数的导数为，若，，则不等式的解集为 .
14．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知为定义域上函数的导函数，且，， 且，则不等式的解集为 ．序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8
专题04 构造函数法解决不等式问题(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc7089" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc7089 \h 1
\l "_Tc18025" 二、典型题型 PAGEREF _Tc18025 \h 2
\l "_Tc2314" 题型一：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc2314 \h 2
\l "_Tc31802" 题型二：构造或(，且)型 PAGEREF _Tc31802 \h 5
\l "_Tc10020" 题型三：构造或型 PAGEREF _Tc10020 \h 9
\l "_Tc14310" 题型四：构造或型 PAGEREF _Tc14310 \h 11
\l "_Tc13392" 三、专项训练 PAGEREF _Tc13392 \h 14
一、必备秘籍
1、两个基本还原
① ②
2、类型一：构造可导积函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2
③ 高频考点1：
④
高频考点1： 高频考点2
⑤
⑥
3、类型二：构造可商函数
① 高频考点1：
②
高频考点1： 高频考点2：
③
⑥
二、典型题型
题型一：构造或(，且)型
1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由结构特征可知是函数的导数简单变形得到的，故构造函数并得到函数的单调性，再结合函数奇偶性即可判断选项中各函数值大小.
【详解】令，则在恒成立，所以在单调递增，所以，即，
又因为函数为定义在上的偶函数，所以，即，
故选：D.
2．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知的定义域为是的导函数，且，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据构造函数，代入原式化简后得到，再构造函数，讨论的单调性即可得到，最后根据的单调性求解即可.
【详解】因为，即，
构造函数，则，.
将代入，得.
再构造函数，则，
易知，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，
由于，所以，所以，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递减，所以在单调递减.
又根据单位圆可得三角不等式，又，，所以，故.
故选：C.
【点睛】方法点睛：本题考查构造函数，并利用导数比大小的问题.题中条件可以构造函数，进一步构造函数，然后讨论的单调性，由得到，再由三角不等式得到自变量的大小关系，最后根据的单调性求解.
3．（多选）（23-24高二下·山西太原·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
【答案】BC
【分析】构造函数，然后利用函数的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】设，
由是定义在上的奇函数知，则时，为偶函数，
且时，，
故在单调递减，
由偶函数的对称性知，在单调递增，
故，即，故，B选项正确；
当时，，故，C选项正确；
当时，，故，D选项错误；
由B，D选项知，，故，A选项错误.
故选：BC
4．（多选）（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函数的导函数为，对任意的正数x，都满足，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】设，利用导数求出的单调性，据此即可判断A和B选项，设，根据导数求出的单调性，据此即可求解C和D选项.
【详解】设，则，
所以在上单调递增，
由得，故A项错误；
由得，故B项正确；
设，则，
所以在上单调递减，
由得，故C项正确：
由得，故D项错误.
故选：BC.
题型二：构造或(，且)型
1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断.
【详解】设，则，
由条件可知，，所以，则函数在上单调递增，
因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误；
由函数的单调性可知，，得，故B正确；
由，得，故C错误；
由，得，故D错误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项.
2．（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的连续可导函数及其导函数满足恒成立，且时，则下列式子不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用的单调性可得结果.
【详解】设，因为，
又，所以，即在R上为增函数，
选项A：因为，即，化简得，故A成立；
选项B：因为，即，化简得，故B成立；
选项C：因为，即，化简得，故C成立；
选项D：因为，即，化简得，而故D不一定成立；
故选：D.
【点睛】本题关键是构造函数，利用函数的单调性判断结果.
3．（2020·广东梅州·模拟预测）设是的导函数，定义在上的函数满足（1）；（2），则的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造，求导得到单调性，根据得到，构造，求导得到单调性，根据得到，得到答案.
【详解】设，则，在上单调递增，
则，即，；
设，则，在上单调递减，
则，即，；
综上所述：.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数确定单调性，再根据单调性确定不等关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，构造和，求导确定单调区间是解题的关键，构造法是常考的数学方法，需要熟练掌握.
4．（多选）（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】令，可得在上单调递增，取自变量的值可得结果.
【详解】令，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，故A错误，B正确；
又，所以，
即，故C正确，D错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数．
(3)利用导数研究的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
5．（多选）（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的连续可导函数，，的导函数为，若，是指数函数，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．在上单调递增
C．，D．
【答案】AC
【分析】由及可得函数的解析式，结合导数即可判断B；由是指数函数及可得的解析式，可判断A；由解析式计算可判断C；D选项代入后为比较与的大小关系，可转化为比较与的大小关系，构造函数，结合导数研究即可得.
【详解】由，即，
即有，可得（为常数），
又，故，所以，
对于选项A，（且），由，得，
故，故A正确；
对于选项B，，当时，，
故在上单调递减，故B错误；
对于选项C，，而，
故，故，故C正确；
对于选项D，，，
设，则，
令，则；令，则，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，
故，故D错误，
故选：AC．
题型三：构造或型
1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意可构造函数，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，结合，即可求得答案.
【详解】令，则，
由于当时，，故此时，
则在上单调递减，
由于函数是定义在上的奇函数，
则，即为上的偶函数，
则在上单调递增，
而，故，
故当或时，，当或时，，
由可得或，解得或，
故不等式的解集为，
故选：B
【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，并得出其单调性、奇偶性，由此即可顺利得解.
2．（23-24高二下·重庆）设是函数的导函数，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
利用三角函数公式化简已知，再构造函数，利用函数单调性依次判断选项.
【详解】，
设在单调递增，
，所以A错误；
，
所以，所以B正确；
，所以C错误；
，
，所以D错误.
故选：B
3．（23-24高二下·江苏·阶段练习）函数的定义域是，其导函数是，若，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件和要求解得不等式，构造函数g(x)＝f(x)sinx，，根据已知条件判断其单调性，根据单调性即可求解要求解的不等式.
【详解】变形为，
变形为，
故可令g(x)＝f(x)sinx，，
则，
∴g(x)在单调递减，
不等式即为g(x)＜g()，
则，
故答案为：.
题型四：构造或型
1．（23-24高二上·宁夏石嘴山·）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选项，即得到结论．
【详解】
当，
则不等式等价为，
即，
设，，
则，
即函数在上单调递增，
则，，，，
即，，
，，
则，故A正确；
，得不出，故B错误．
，故C错误．
，故D错误．
故选：A．
2．（多选）（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】构造函数，结合题目所给性质可得在上单调递减，结合函数单调性计算即可得.
【详解】令，则，
由已知可得，即在上单调递减，
所以，
故，即C､D选项正确.
故选：CD.
3．（23-24高二下·江苏苏州·期中）已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由题设得，构造并应用导数研究单调性，
【详解】因为，所以，又，
所以，
构造函数，，则，
所以在上为增函数，
因为，所以，即，即，故A正确；
因为，所以，即，故，故B错误；
因为，所以，即，故，故C错误；
因为，所以，即，故，故D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：将已知条件转化为，进而构造研究单调性为关键.
三、专项训练
1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，求导确定其单调性，根据单调性确定建立的不等关系，以及的不等关系，整理化简得答案.
【详解】令，则，
因为当时，有恒成立，
所以当时，，
即在上单调递减，
所以，即，即，A 错误，B正确，
，即，即，CD错误.
故选：B.
2．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】令，则，
所以在上单调递增，
不等式，即，即，
所以，解得，所以不等式的解集是.
故选：C
3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数，要求解的不等式可化为，判断单调性即可求解．
【详解】设，则，
∵，∴，
∴，即在定义域R上单调递减．
∵，∴，
∴不等式等价于，即，解得，
故选：D．
4．（21-22高三下·西藏拉萨·阶段练习）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】观察，可考虑构造函数，求得的奇偶性，再由时，的单调性确定整个增减性，由与的正负反推正负即可求解.
【详解】设，则，∵当时，，
∴当时，，即在上单调递减.
由于是奇函数，所以，是偶函数，
所以在上单调递增.
又，
当或时，；
当或时，，
所以当或时，.
即不等式的解集为.
故选：B.
5．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，通过求导及已知条件得出单调性并化简不等式，即可求出不等式的解集.
【详解】由题意，
在函数中，，导函数为，，
设，则.
∵，
∴，则是上的增函数.
不等式等价于
，
即，
则
解得：，
故选：D.
6．（22-23高二下·四川绵阳·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，求出函数的导数，问题转化为，利用单调性解出即可．
【详解】令，则，
∵，∴在上递减，
∵，∴，
∵不等式，∴，
∴，解得，
故不等式的解集是．
故选：B．
7．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案．
【详解】令，
，
，
在上单调递减，
又，
，
不等式可化为，
，
故选：B.
8．（22-23高二下·江西吉安·期末）若定义在上的可导函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断其单调性，利用单调性比较大小可得答案.
【详解】因为，所以构造函数，
所以
，则在上单调递减，
又，
所以，即，故A错误；
，即，故B正确；
，即，故C错误；
，即，故D错误.
故选：.
【点睛】关键点点睛：根据不等式构造函数，利用函数的单调性比较大小是解题关键.
二、多选题
9．（2024·浙江温州·一模）定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（ ）
A．函数为奇函数
B．不等式的解集为
C．若方程有两个根，，则
D．在处的切线方程为
【答案】AC
【分析】
根据奇函数的定义即可判定A，根据导数的运算可得进而可求解，即可求解BD，根据二次函数的图象性质，即可求解C.
【详解】
对于A，，由可得，所以，且定义域为，故为奇函数，A正确，
由于，所以为常数，则
又在中，令，则，故，故，
所以，
对于B, 可得，又，故，则，故B错误，
对于C，为单调递增函数，而为开口向上，且对称轴为的二次函数，且是的两个交点，的两个交点设为，则，且，又为单调递增函数，所以，所以， C正确，
由得，所以在处的切线方程为，D错误，
故选：AC
10．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（ ）
A．B．
C．在上是减函数D．在上是增函数
【答案】ABD
【分析】令，可得，得出函数的单调性及，进而判定A、B正确；由，得到，设，利用导数求得函数为单调递增函数，且，可判定D正确.
【详解】令，可得，
因为，所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又因为，可得，
由，即，可得，所以A正确；
又由，即，可得，所以B正确；
因为，可得，可得，
设，可得，
所以函数为单调递增函数，又因为，
所以，所以在上是增函数，所以D正确.
故选：ABD.
【详解】因为，故构造函数，，
则当时，，
所以函数在上单调递减，
又不等式，可化为，
即，
所以，
解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
13．（22-23高二下·吉林长春·期中）已知函数的导数为，若，，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】先将不等式变形为，再构造函数，讨论出函数的单调性，即可求解．
【详解】不等式变形为，
设函数，
则，
因为，所以在上恒成立，
则在上单调递增，又，则，
所以不等式即为，
由在上单调递增，可得，
即不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：利用导数解不等式的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数；
(3)利用导数研究的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
14．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知为定义域上函数的导函数，且，， 且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据导数的对称性求得原函数的对称性，构造函数，通过不等式可得新函数导数与零的大小，可得其单调性，解得答案.
【详解】由，整理可得，则函数关于成中心对称，
所以关于直线成轴对称，
当时，，由，则，
由函数的导数为，
则函数在上单调递增，易知在上单调递减，
当时，；当时，，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
【点睛】本题的接解题关键在于根据已知等式得到函数的对称性，利用构造函数的思想解题.序号
条件
构造函数
1
2
3
4
5
6
7
8