2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题05数列求和(倒序相加法、分组求和法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题05数列求和(倒序相加法、分组求和法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)，共38页。

目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc15854" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc15854 \h 1
\l "_Tc2100" 二、典型题型 PAGEREF _Tc2100 \h 1
\l "_Tc16340" 题型一：倒序相加法 PAGEREF _Tc16340 \h 1
\l "_Tc16969" 题型二：通项为型求和 PAGEREF _Tc16969 \h 3
\l "_Tc14555" 题型三：通项为型求和 PAGEREF _Tc14555 \h 5
\l "_Tc11656" 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 PAGEREF _Tc11656 \h 7
一、必备秘籍
1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
2、分组求和法
2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
二、典型题型
题型一：倒序相加法
1．（2023高一·全国·竞赛）已知，其中是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2013高一·全国·竞赛）函数，则的值为（ ）．
A．2012B．C．2013D．
3．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ．
4．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数满足为的导函数，.若，则数列的前2023项和为 .
5．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数.
(1)求证为定值；
(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；
题型二：通项为型求和
1．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和为，并求满足的最小整数n．
2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知数列的前n项和为，对于任意的，都有点在直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．
3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若.
(1)设的二阶差数列为，求的通项公式.
(2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为
4．（2024·河北唐山·一模）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．
5．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，求满足的最小的正整数n的值．
6．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知数列为等差数列，且．
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，证明：．
题型三：通项为型求和
1．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知正项数列中，，点在抛物线，数列中，点在经过点，斜率的直线l上.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，若表示的前n项和，求；
(3)若，问是否存在，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知为等差数列的前项和，．
(1)求的通项公式;
(2)若数列满足，求的前2n项和．
3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列数列的前项和为，求．
6．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 .
2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ．
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
4．（2024高三·全国·专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
5．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
6．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
10．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
11．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知数列，______.在①数列的前n项和为，；②数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
12．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
13．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前项和.
14．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前30项的和.
15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，满足，数列满足，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)，求数列的前项和；
专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc15854" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc15854 \h 1
\l "_Tc2100" 二、典型题型 PAGEREF _Tc2100 \h 1
\l "_Tc16340" 题型一：倒序相加法 PAGEREF _Tc16340 \h 1
\l "_Tc16969" 题型二：通项为型求和 PAGEREF _Tc16969 \h 5
\l "_Tc14555" 题型三：通项为型求和 PAGEREF _Tc14555 \h 10
\l "_Tc11656" 三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 PAGEREF _Tc11656 \h 16
一、必备秘籍
1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
2、分组求和法
2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
二、典型题型
题型一：倒序相加法
1．（2023高一·全国·竞赛）已知，其中是上的奇函数，则数列的通项公式为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由奇函数的性质可得，从而得到，再利用倒序相加法计算可得.
【详解】因为是上的奇函数，
则，即，
即，即，
所以当，则，
又，
所以，
所以，
.
故选：C．
2．（2013高一·全国·竞赛）函数，则的值为（ ）．
A．2012B．C．2013D．
【答案】B
【分析】由题意可得，再由倒序相加法求解即可.
【详解】由可得：，
所以，，
所以设
，
则两式相加可得：．
故选：B.
3．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先计算出的图象关于点中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围.
【详解】因为
，
所以的图象关于点中心对称．
因为，
所以，
两式相加得，所以．
由，得，
所以．
令，则当时，单调递减；
当时，单调递增．
又，所以，
所以，即的取值范围是．
故答案为：
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称.
4．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数满足为的导函数，.若，则数列的前2023项和为 .
【答案】
【分析】由，可得，从而得，然后利用倒序相加法从而可求解.
【详解】由题意知，所以，即，
又因为，所以，
所以，
，
将两式相加可得：.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要是对求导后得，主要能够找到的关系，再根据倒序相加法从而可求解.
5．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数.
(1)求证为定值；
(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由函数的解析式得出的表达式，化简后可得为定值；
（2）由于，可得，即，倒序相加可得.
【详解】（1）证明：由于函数，
则，
所以.
（2）由（1）可知，，
则，其中为正整数，，
即，且，
所以，其中为正整数，，
且，
，①
变化前项顺序后，可得：，②
①②得：，
因此.
题型二：通项为型求和
1．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前n项和为，并求满足的最小整数n．
【答案】(1)
(2)，11
【分析】（1）根据等比数列的通向公式，结合题意建立方程组，可得答案；
（2）利用分组求和公式，结合等比数列以及等差数列求和公式，可得答案.
【详解】（1）设的公比为，则，
因为，所以，依题意可得，即，
整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可知，
故
.
显然，随着的增大而增大，
，，
所以满足的最小整数.
2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知数列的前n项和为，对于任意的，都有点在直线上．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，，两式相减得，可证明数列是以首项为1，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式；
（2）分别求出当为奇数和为偶数时，数列的前n项中的最大值为，最小值为，即可求出，再由分组求和法结合等比数列的前n项和公式求解即可.
【详解】（1）对于任意的，都有点在直线上．
即对于任意的都有，
当时，，两式相减得，即，
进而得，
当时，，故，
所以数列是以首项为1，公比为的等比数列，
所以.
（2）当为奇数时，，且，当为偶数时，，且，
因此当为大于1的奇数时，的前n项中的最大值为，
最小值为，此时，
因此当为偶数时，的前n项中的最大值为，
最小值为，此时，
当时，，
因此的前20项和：
.
3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若.
(1)设的二阶差数列为，求的通项公式.
(2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）借助定义计算即可得；
（2）借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.
【详解】（1），则；
（2），
则.
4．（2024·河北唐山·一模）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式和前项和公式列方程组解出公比，从而可求出通项公式；
（2）由（1）得，然后用分组求和法即可求，分别计算和，即可确定的值.
【详解】（1）设的公比为，则，
因为，所以，
依题意可得，即，
整理得，
解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可知，
故
显然，随着的增大而增大，
，
，
所以满足的最大整数.
5．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，数列的前n项和为，求满足的最小的正整数n的值．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由题意，列出关于公差与公比的方程组，求解方程组，然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案；
（2）由（1）可得，利用分组求和法及等比、等差数列的前n项和公式即可求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
由，可得，
由题意，，整理得，
解得或（舍去），则，
所以，；
（2）由（1）可得：，
.
因为在上单调递增，所以可得：
，所以，
当时，，
当时，，
故满足的最小的正整数n的值为.
6．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知数列为等差数列，且．
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解；
（2）根据（1）结论及指数的运算，利用分组求和法、等比数列的前项和公式及裂项相消法即可求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则
，
数列的通项公式为，即.
（2）由（1）知，，，
，
,
,
.
题型三：通项为型求和
1．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知正项数列中，，点在抛物线，数列中，点在经过点，斜率的直线l上.
(1)求数列，的通项公式；
(2)若，若表示的前n项和，求；
(3)若，问是否存在，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，
【分析】（1）将代入抛物线方程得数列是等差数列，从而得通项公式，求出直线方程后可得；
（2）分类讨论，按n的奇偶分类讨论，然后利用数列的分组求和可得
（3）分类讨论，按k的奇偶分类讨论即可求解；
【详解】（1）将代入抛物线方程得，，
所以，所以数列是等差数列，
所以，
又直线在经过点，斜率，所以直线方程为，
因为在直线l上，所以
（2）由题意得，，
当n为偶数时，令,
所以
，
所以
当n为奇数时，令，
所以，
所以
（3）由，
①当k是偶数时，是奇数，，
即，
②当k是奇数时，是偶数，，
即，（舍去），
故存在唯一的符合条件.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知为等差数列的前项和，．
(1)求的通项公式;
(2)若数列满足，求的前2n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）利用分组求和法和并项求和法求解即可.
【详解】（1）设等差数列的为，
由，
得，解得，
所以；
（2）由（1）得，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以
.
3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；
（2）由（1）可得，利用分组求和以及裂项相消法运算求解.
【详解】（1）因为，则，
两式相减得：，
整理得，
且为正项数列，可知，
可得，即，
可知数列是以首项，公差的等差数列，
所以.
（2）由（1）可得，
当为奇数，则，
可得
，
所以.
4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）对递推式变形得，利用等差数列定义即可证明，代入等差数列通项公式即可求解；
（2）先利用（1）知，然后利用分组求和思想求解即可.
【详解】（1）显然，将两边同时取倒数得，即，所以数列是公差为2的等差数列，
所以，所的.
（2）由已知得，那么数列的前项和，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
故.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列数列的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；
（2）利用分组求和法求解即可.
【详解】（1）设数列的公差为．因为，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）可得，
所以
．
6．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据裂项求和即可求解，
（2）根据并项求和即可求解.
【详解】（1）由题意可知，数列是等差数列，设数列的公差为．
可转化为，
即，
即，，即，
，．
（2）由题可得，
，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
综上所述,
三、专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练
1．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 .
【答案】1009
【分析】根据给定的函数式，求出，再利用倒序相加法求和作答.
【详解】由函数，得，
令，
则，
两式相加得，解得，
所以所求值为1009.
故答案为：1009
2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ．
【答案】
【分析】
计算出，，倒序相加得到答案.
【详解】
，，
因为①，
所以②，
两式相加得
，
所以.
故答案为：
3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用倒序相加法可求得；
（2）利用错位相减法求出，由已知条件结合参变量分离法可得出，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数满足，数列满足，
则，
所以，，
故.
（2）解：由（1）可得，
则，
所以，，
上式下式可得，
所以，，则，
所以，，
由可得，则，
因为，
因为函数在上单调递增，
且，故当时，取最大值，故.
因此，实数的取值范围是.
4．（2024高三·全国·专题练习）设函数，设，．
(1)计算的值．
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接计算可得答案；
（2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1）；
（2）由题知，当时，，
又，两式相加得
，
所以，
又不符合，
所以.
5．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数满足，若数列满足：.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为,
由①,
则②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，则时，，
所以

.
又由对一切恒成立,可得恒成立,
即有对一切恒成立.
当时,取得最大值，所以；
故实数的取值范围是.
6．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)令，求数列的前2020项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得：，由即可求解；
（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；
（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.
【详解】（1）因为点均在函数的图象上，
所以，
当时，，
当时，，适合上式，所以.
（2）因为，所以，
所以.
（3）由（1）知，可得，
所以，①
又因为，②
因为，
所以①②，得，
所以.
7．（2024·贵州毕节·一模）已知数列满足.
(1)设，证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）给式子两边同时加，化简证明即可；
（2）分为两组，一组等差数列，一组等比数列，利用等差等比数列的前项公式求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以，所以，
又，则，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，，
由于，所以，
所以
.
8．（2024·广西贺州·一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
设是递增的等比数列，其前n项和为，且，__________．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）选择条件①②③，利用等比数列的通项公式及前n项和列出方程，求出首项、公比即可得解.
（2）利用分组求和法，结合等差、等比数列n项和公式计算即得.
【详解】（1）由是递增的等比数列，，得数列的公比，且，
选择条件①，，则，即，于是，
所以的通项公式是.
选择条件②，，即，由，解得，
所以的通项公式是.
选择条件③，，则，
而，解得，即有，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时，，
所以
.
9．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果.
（2）求出，代入求出，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
由，，，，
得，解得，，
所以，.
（2）由（1）知，，
因此当为奇数时，，当为偶数时，，
所以
.
10．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由递推关系求解数列的通项即可；
(2)利用分组求和即可.
【详解】（1）因为，
当时，，
当时，，
则，
当时，不成立，所以.
（2）由（1）可得，
所以
11．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知数列，______.在①数列的前n项和为，；②数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①或②均可证明数列是以2为首项，2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求出数列的通项公式；
（2）由分组求和法结合等差、等比的前项和公式求解即可.
【详解】（1）选①，当时，，即，
当时，（I），
（II），
（I）（II）得：，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
选②，当时，，即,
当时，，即,
当时，符合上式.
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以
（2）因为，所以，
所以
.
12．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求，进而可得结果；
（2）根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，即，
且，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）可得，
可得
，
所以.
13．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等比数列，依据题意求出基本量即可.
（2）讨论奇偶项，转化为等比数列求和即可.
【详解】（1）由题意，设等比数列的公比为，
则，
成等差数列，
，即，
化简整理，得，
解得（舍去），或，
首项，
.
（2）由（1）可得
则数列的前项和为
(2)
【分析】（1）利用可得，从而可得为等比数列，故可得其通项公式，利用累加法可求的通项公式；
（2）利用分组求和法可求，注意就的奇偶性分类讨论.
【详解】（1）在数列中，当时，解得；
当时，由，则，即，
因为，故，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列即.
在数列中，，即，
则当时，，，，，
由累加法得，
所以，
当时，也符合上式，所以.
（2）由（1）可得，
当为偶数时，
=
；
当为奇数时，
=
，
综上可得.