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2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)
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这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)(学生版+解析),共40页。
\l "_Tc4504" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4504 \h 2
\l "_Tc10478" 题型一:等差型 PAGEREF _Tc10478 \h 2
\l "_Tc18587" 题型二:无理型 PAGEREF _Tc18587 \h 4
\l "_Tc11447" 题型三:指数型 PAGEREF _Tc11447 \h 5
\l "_Tc6765" 题型四:通项裂项为“”型 PAGEREF _Tc6765 \h 7
\l "_Tc6365" 三、专题06 数列求和(裂项相消法)专项训练 PAGEREF _Tc6365 \h 8
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一:等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如:(尤其要注意不能丢前边的)
类型二:无理型
= 1 \* GB3 ①
如:
类型三:指数型
①
如:
类型四:通项裂项为“”型
如:①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
二、典型题型
题型一:等差型
1.(23-24高二下·云南昆明·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
2.(23-24高二下·四川成都·阶段练习)设公差不为零的等差数列的前项和为,且成等比数列;
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列的前项和为,求证:.
3.(23-24高二下·上海·期中)已知数列满足,,数列满足,.
(1)求证:为等差数列,并求通项公式;
(2)若,记前n项和为,对任意的正自然数n,不等式恒成立,求实数的范围.
4.(23-24高二下·广东佛山·阶段练习)设数列满足.
(1)证明:为等差数列;
(2)若数列的前项和为,证明:.
题型二:无理型
1.(23-24高三下·甘肃·阶段练习)设数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,且,求;
(3)证明:.
2.(2024·陕西渭南·模拟预测)已知等差数列的前n项和为,,.
(1)求的通项公式及;
(2)设______,求数列的前n项和.
在①;②;③这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并求解.
注:如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
3.(23-24高二下·云南·开学考试)在等差数列中,,是和的等比中项.
(1)求的公差;
(2)若数列的前项和为,且,求.
4.(23-24高三上·山西阳泉·期末)已知数列的前项和为,点在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
题型三:指数型
1.(23-24高三下·全国·阶段练习)已知首项为1的数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)记数列的前n项和为,证明:.
2.(23-24高三下·山西·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知,数列的前项和为,若对任意的正整数,不等式都成立,求实数的取值范围.
3.(23-24高二上·浙江丽水·期末)已知为正项数列的前n项和,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
4.(23-24高三下·重庆大足·阶段练习)设数列的前项和为,为等比数列,且,,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式:
(2)设,数列的前项和为,证明:.
5.(2024·河南南阳·一模)已知数列,若.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若数列的前项和为,不等式对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围.
题型四:通项裂项为“”型
1.(23-24高二下·河南南阳·阶段练习)已知正项数列的前项和为,且.
(1)证明:是单调递减数列.
(2)求数列的前项和.
2.(23-24高二下·安徽·开学考试)已知在数列中,.
(1)证明是等差数列,并求的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求.
3.(23-24高二上·福建龙岩·期末)在数列中,,且分别是等差数列的第1,3项.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,求的前n项和.
4.(23-24高二上·湖北武汉·期末)设数列的前项和为,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)已知数列,求数列的前项和.
5.(2024·云南昭通·模拟预测)已知数列满足.
(1)证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
三、专题06 数列求和(裂项相消法)专项训练
1.(2024·河北邯郸·二模)已知正项数列的前项和为,,且.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
2.(23-24高二下·云南·阶段练习)已知数列中,为的前项和,.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
3.(2024·山西临汾·二模)已知数列满足.
(1)计算,并求数列的通项公式;
(2)设数列满足,求数列的前项和.
4.(23-24高三下·河南·阶段练习)已知数列满足
(1)求证: 为等比数列;
(2)数列的前n项和为,求数列 的前n项和.
8.(23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知正项数列,满足.
(1)求;
(2)若,求数列的前项和.
9.(23-24高二下·陕西西安·阶段练习)已知数列为等差数列,数列满足,若,,成等比数列,且.
(1)求,;
(2)求数列的前n项和.
10.(23-24高三上·云南德宏·期末)在等差数列与等比数列中,已知,,且,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
11.(2024·全国·模拟预测)已知数列满足,记.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知,记数列的前项和为.求证:.
12.(2024·全国·模拟预测)已知数列的前项积为.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
专题06 数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29301" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc29301 \h 1
\l "_Tc4504" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4504 \h 2
\l "_Tc10478" 题型一:等差型 PAGEREF _Tc10478 \h 2
\l "_Tc18587" 题型二:无理型 PAGEREF _Tc18587 \h 5
\l "_Tc11447" 题型三:指数型 PAGEREF _Tc11447 \h 9
\l "_Tc6765" 题型四:通项裂项为“”型 PAGEREF _Tc6765 \h 13
\l "_Tc6365" 三、专题06 数列求和(裂项相消法)专项训练 PAGEREF _Tc6365 \h 18
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一:等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如:(尤其要注意不能丢前边的)
类型二:无理型
= 1 \* GB3 ①
如:
类型三:指数型
①
如:
类型四:通项裂项为“”型
如:①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
二、典型题型
题型一:等差型
1.(23-24高二下·云南昆明·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
(1)求的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由可得,两式相减由累乘法可求出的通项公式;
(2)求出,由裂项相消法可求出数列的前项和.
【详解】(1)因为,令得,
因为,
所以,
两式相减得,
即.
所以,
所以,
即,
所以当时,,
又,所以.
(2)由(1)可得,
所以.
2.(23-24高二下·四川成都·阶段练习)设公差不为零的等差数列的前项和为,且成等比数列;
(1)求数列的通项公式;
(2)若,数列的前项和为,求证:.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】(1)设出数列的公差,再由已知列出方程组,求出即可得解.
(2)由(1)的结论,利用裂项相消法计算推理即得.
【详解】(1)设等差数列的公差为,由成等比数列,
得,解得,
所以数列的通项公式为.
(2)由(1)知,,
,由恒成立,得数列单调递增,因此,
所以.
3.(23-24高二下·上海·期中)已知数列满足,,数列满足,.
(1)求证:为等差数列,并求通项公式;
(2)若,记前n项和为,对任意的正自然数n,不等式恒成立,求实数的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)证明为常数即可证明为等差数列,根据等差数列通项公式即可求的通项公式,进而求出的通项公式;
(2)根据累乘法求出,再求出,根据的通项公式特征,采用裂项法求其前项和,求单调性并求其范围即可求出的范围.
【详解】(1)因为,,两边同时除以可得:
,从而,,
所以是首项为1,公差为1的等差数列,所以,
则;
(2)由,,
所以,则,
所以,
所以
则,
因为中的每一项,所以为递增数列,
所以,因为,
所以,即实数的取值范围为.
4.(23-24高二下·广东佛山·阶段练习)设数列满足.
(1)证明:为等差数列;
(2)若数列的前项和为,证明:.
【答案】(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【分析】(1)对递推公式两边取倒数,结合等差数列的定义,即可证明;
(2)根据(1)中所证求得,再根据裂项求和法求得,进而适度放缩即可证明.
【详解】(1)证明:因为,所以,即.
因为,所以是首项为2,公差为3的等差数列.
(2)由(1)可知,所以.
因为,
所以.
因为,所以,故.
题型二:无理型
1.(23-24高三下·甘肃·阶段练习)设数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为,且,求;
(3)证明:.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)根据条件,利用与间的关系,即可求出结果;
(2)根据(1)得到,再利用裂项相消法,即可求出结果;
(3)利用,即可证明结果.
【详解】(1)因为①,当时,②,
所以①②得到,即,
又,满足,所以.
(2)因为,
所以.
(3)因为,
所以,
即.
2.(2024·陕西渭南·模拟预测)已知等差数列的前n项和为,,.
(1)求的通项公式及;
(2)设______,求数列的前n项和.
在①;②;③这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并求解.
注:如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(1),;
(2)答案见解析
【分析】(1)设出等差数列的公差,由题意列方程求出首项和公差,即可求得答案;
(2)不论选①、选②还是选③,都要利用(1)的结果,可得的表达式,利用裂项相消法求和,即得答案.
【详解】(1)由题意知等差数列的前n项和为,,,
设公差为d,则,解得,
故,;
(2)若选①,则,
故;
若选②,则,
故;
若选③,则,
故.
3.(23-24高二下·云南·开学考试)在等差数列中,,是和的等比中项.
(1)求的公差;
(2)若数列的前项和为,且,求.
【答案】(1)0或2
(2)12或3
【分析】(1)根据是和的等比中项列出关系式,可得或;
(2)当时,为常数列,可得,进而可得;
当时,,利用裂项相消法可求得.
【详解】(1)由题意得,因,得,解得或.
(2)当时,,则,所以.
当时,,
则,
所以.
故或.
4.(23-24高三上·山西阳泉·期末)已知数列的前项和为,点在函数的图象上.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题意可得,分和两种情况,结合与之间的关系运算求解;
(2)由(1)可得:,利用裂项相消法运算求解.
【详解】(1)因为点均在二次函数的图象上,
可得,则有:
当时,;
当时,;
且也符合,所以.
(2)由(1)可得:,
所以
,
所以.
题型三:指数型
1.(23-24高三下·全国·阶段练习)已知首项为1的数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)记数列的前n项和为,证明:.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】(1)由,变形为,结合求解;
(2)由,利用裂项相消法求解.
【详解】(1)解:由题意可得,
即,
则有,又,
因此是常数列,
即,则;
(2)设,
,
所以,
,
故.
2.(23-24高三下·山西·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)已知,数列的前项和为,若对任意的正整数,不等式都成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)降次作差即可得到,再根据等比数列的通项公式即可得到答案;
(2)裂项求和得到,再计算出的范围即可得到的范围.
【详解】(1)时,,即,所以.
时,,
所以,即,
因为,所以,
所以是首项为1公比为2的等比数列,
所以.
(2)由(1)得,
所以.
显然是递增数列,且,
所以,即,
所以,解得.
实数的取值范围是.
3.(23-24高二上·浙江丽水·期末)已知为正项数列的前n项和,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】
(1)利用变形整理可得数列为等差数列,利用等差数列的通项公式求解即可;
(2)利用裂项相消法求和.
【详解】(1)由题意知:且,
两式相减,可得,
,可得,
又,当时,,即,
解得或(舍去),所以,
从而,所以数列表示首项为1,公差为1的等差数列,
所以数列的通项公式为.
(2)由,
可得
,
所以.
4.(23-24高三下·重庆大足·阶段练习)设数列的前项和为,为等比数列,且,,,成等差数列.
(1)求数列的通项公式:
(2)设,数列的前项和为,证明:.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)根据题意,由等差数列以及等比数列的定义,列出方程,代入计算,即可得到结果;
(2)根据题意,由(1)可得,结合裂项相消法代入计算,即可证明.
【详解】(1)因为,,成等差数列,即,
又为等比数列,则也成等比数列,
则,联立解得,
则数列的公比为,即,所以,
当时,,
且也满足上式,
所以数列的通项公式为.
(2)由(1)知,,且,
则,记,
则,
则,
因为,所以.
5.(2024·河南南阳·一模)已知数列,若.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若数列的前项和为,不等式对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用构造法,结合等比数列的定义即可得证;
(2)结合(1)中结论,利用裂项相消法求得,从而将恒成立不等式转化为,再利用对数函数的性质即可得解.
【详解】(1)因为,所以 ,
又因为,所以是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)由(1)易知,
所以,
所以,则恒成立,
所以要使不等式对任意正整数恒成立,只须 ,
由题意可得且,则,所以,解得,
所以,即实数的取值范围是.
题型四:通项裂项为“”型
1.(23-24高二下·河南南阳·阶段练习)已知正项数列的前项和为,且.
(1)证明:是单调递减数列.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)根据与的关系依次求出,,再利用作商法可确定数列的单调性.
(2)先对通项分母有理化,再分奇偶进行讨论求解.
【详解】(1)证明:当时,,得.因为,所以.
当时,,则,
所以,即.
因为,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,
所以,
因为为正项数列,所以.
当时,,也适合该式,所以.
因为,且,所以是递减数列.
(2)解:由已知得:,
当为偶数时,,
当为奇数时,
,
所以,
2.(23-24高二下·安徽·开学考试)已知在数列中,.
(1)证明是等差数列,并求的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,求.
【答案】(1)证明见解析,
(2)
【分析】(1)由题中递推数列化简为,从而可求解.
(2)由(1)结论可得,再利用裂项相消求和从而可求解.
【详解】(1)因为,由题意知,
所以,即,
故数列是以为公差的等差数列.
又,所以,
所以,即.
(2),
则,
.
3.(23-24高二上·福建龙岩·期末)在数列中,,且分别是等差数列的第1,3项.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,求的前n项和.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)由等比数列的定义、等差数列基本量的计算即可得解;
(2)由裂项法求和结合对分类讨论即可求解.
【详解】(1)由题意得,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,
所以,
又因为,解得,
所以数列是以为首项,为公差的等差数列,
所以.
(2)由题意,
若,
则,
若,
则,
所以的前n项和.
4.(23-24高二上·湖北武汉·期末)设数列的前项和为,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)已知数列,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据和的关系、等比数列的定义即可解答.
(2)利用裂项相消求和法即可求解.
【详解】(1)由,,
当时,,即;
当时,,整理得,即.
,
当时上式也成立.
数列是以首项,为公比的等比数列,
则,即.
(2),
.
5.(2024·云南昭通·模拟预测)已知数列满足.
(1)证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析,
(2)
【分析】(1)由题意构造出形式即可得;
(2)借助裂项相消法求和即可得.
【详解】(1)因为,且,
所以,即,
又,所以数列是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以,所以;
(2)由(1)知,所以,
所以
,
故.
三、专题06 数列求和(裂项相消法)专项训练
1.(2024·河北邯郸·二模)已知正项数列的前项和为,,且.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先求出,可证明数列为首项为,公差为的等差数列,得到,利用得到的通项公式;
(2)由(1)知,,化简可得,利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.
【详解】(1)当时,由,即,解得:,
所以,则数列为首项为,公差为的等差数列;
所以,则,
当时,,
当时,满足条件,
所以的通项公式为
(2)由(1)知,,
所以,
故,
即
2.(23-24高二下·云南·阶段练习)已知数列中,为的前项和,.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1)根据题意,推得,且,得到是等比数列,即可求得数列的通项公式;
(2)方法一:由(1)求得,结合裂项相消法求和,即可求解;
方法二:由(1)求得,分为奇数和为偶数,结合相消法求和,即可求解.
【详解】(1)解:由数列中,为的前项和,,
当时,,两式相减得,
可得,当时,,则,
所以是等比数列,首项为3,公比为3,所以,
所以数列的通项公式为.
(2)解:方法一:由(1)知,
可得
,
所以
.
方法二:由,
当为奇数时,
当为偶数时,
所以数列的前项和.
3.(2024·山西临汾·二模)已知数列满足.
(1)计算,并求数列的通项公式;
(2)设数列满足,求数列的前项和.
【答案】(1),,
(2)
【分析】(1)由,可得,可得,法一:可得为常数列,可求数列的通项公式;法二:可得,利用累乘法可求数列的通项公式;
(2)由(1)可得,进而可求的前项和.
【详解】(1)由题可知,,得,
由,得.
由已知,
可得,
两式相减得.
解法一:
整理得:.
又满足上式.
从而对均成立.
因此为常数列,
即有,故.
解法二:
整理得:.
又满足上式.
故.
即.
当时符合上式,故.
(2)由(1)可知.
.
因此
=.
4.(23-24高三下·河南·阶段练习)已知数列满足
(1)求证: 为等比数列;
(2)数列的前n项和为,求数列 的前n项和.
【答案】(1)证明见解析;
(2)
【分析】(1)变形给定等式,再利用等比数列定义判断得解.
(2)由(1)求出数列的通项公式及前n项和,再利用裂项相消法求和即得.
【详解】(1)数列中,,则,
而,即,
所以数列 是以2为首项,3为公比的等比数列..
(2)由(1)知,,,,
,
所以数列 的前n项和.
5.(23-24高二下·河南·阶段练习)已知数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)若,记数列的前项和为,求证:.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】(1)构造等比数列,结合等比数列的通项公式,即可求得结果;
(2)根据(1)中所求,利用裂项求和法,求得,再证明即可.
【详解】(1)因为,所以又,
所以,
所以是以9为首项,3为公比的等比数列,
所以,所以.
(2)由(1)知,
所以
,又,
所以.
6.(2024·浙江·二模)已知等差数列的前n项和为,且.
(1)求;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据的关系求通项公式即可;
(2)裂项相消法求和即可得解.
【详解】(1)由①
所以当时,②
①②得:,整理得:,
所以.
(2)由(1)知,
所以,
所以.
7.(23-24高二下·河北石家庄·阶段练习)已知等差数列的前n项的和为成等差数列,且成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)若,数列的前n项的和为,试比较与的大小,并证明你的结论.
【答案】(1)
(2),证明见解析
【分析】(1)根据题意,利用等差中项和等比中项列出方程组,即可解出首项和公差,进而求出的通项公式;
(2)将化简,利用裂项相消法求和,即可得,从而判断.
【详解】(1)设的公差为,由题意得,
即,解得,
所以.
(2),
所以,
因为,所以,即.
8.(23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知正项数列,满足.
(1)求;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用的关系,结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果;
(2)根据(1)求出,利用裂项求和法求得结果.
【详解】(1)由,可得,,
两式相减得,又,
,即,,又,解得,
所以数列是以3为首项,以2为公差的等差数列,
.
(2)由(1),,
所以
.
9.(23-24高二下·陕西西安·阶段练习)已知数列为等差数列,数列满足,若,,成等比数列,且.
(1)求,;
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1),
(2)
【分析】(1)设等差数列的公差为,利用等差数列的通项公式及等比中项的性质列方程组求解即可;
(2)利用裂项相消法求和即可得解.
【详解】(1)设等差数列的公差为,又,
由,得,解得,
又,
因为,,成等比数列,
所以,解得,
所以,;
(2)由(1)得,
所以.
10.(23-24高三上·云南德宏·期末)在等差数列与等比数列中,已知,,且,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1),
【详解】(1)由,则.又,
所以数列是以1为首项,3为公比的等比数列,所以.
所以.
(2)因为,
所以,
所以.
当为奇数时,.
当为偶数时,是递增数列,所以.
综上,
12.(2024·全国·模拟预测)已知数列的前项积为.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析;;
(2)(或)
【分析】(1)由前项积定义可得,再由等差数列定义即可得出证明,并求得数列的通项公式为;
(2)利用裂项相消法求和,对的奇偶进行分类讨论即可得.
【详解】(1)由题意得当时,.
因为,所以,解得以.
当时,,即,因此.
所以数列是以3为首项,2为公差的等差数列,
可得.
所以.
(2)由题意知
.
当为偶数时,
;
当为奇数时,
.
所以(或)
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