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    2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

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    2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)第1页
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    2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)(学生版+解析)

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    这是一份2024-2025学年高考数学复习解答题提优思路(全国通用)专题06数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)(学生版+解析),共40页。
    \l "_Tc4504" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4504 \h 2
    \l "_Tc10478" 题型一:等差型 PAGEREF _Tc10478 \h 2
    \l "_Tc18587" 题型二:无理型 PAGEREF _Tc18587 \h 4
    \l "_Tc11447" 题型三:指数型 PAGEREF _Tc11447 \h 5
    \l "_Tc6765" 题型四:通项裂项为“”型 PAGEREF _Tc6765 \h 7
    \l "_Tc6365" 三、专题06 数列求和(裂项相消法)专项训练 PAGEREF _Tc6365 \h 8
    一、必备秘籍
    常见的裂项技巧
    类型一:等差型
    = 1 \* GB3 ①
    特别注意

    如:(尤其要注意不能丢前边的)
    类型二:无理型
    = 1 \* GB3 ①
    如:
    类型三:指数型

    如:
    类型四:通项裂项为“”型
    如:①

    本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
    二、典型题型
    题型一:等差型
    1.(23-24高二下·云南昆明·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
    (1)求的通项公式;
    (2)记,求数列的前项和.
    2.(23-24高二下·四川成都·阶段练习)设公差不为零的等差数列的前项和为,且成等比数列;
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,数列的前项和为,求证:.
    3.(23-24高二下·上海·期中)已知数列满足,,数列满足,.
    (1)求证:为等差数列,并求通项公式;
    (2)若,记前n项和为,对任意的正自然数n,不等式恒成立,求实数的范围.
    4.(23-24高二下·广东佛山·阶段练习)设数列满足.
    (1)证明:为等差数列;
    (2)若数列的前项和为,证明:.
    题型二:无理型
    1.(23-24高三下·甘肃·阶段练习)设数列的前n项和为.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设数列的前n项和为,且,求;
    (3)证明:.
    2.(2024·陕西渭南·模拟预测)已知等差数列的前n项和为,,.
    (1)求的通项公式及;
    (2)设______,求数列的前n项和.
    在①;②;③这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并求解.
    注:如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
    3.(23-24高二下·云南·开学考试)在等差数列中,,是和的等比中项.
    (1)求的公差;
    (2)若数列的前项和为,且,求.
    4.(23-24高三上·山西阳泉·期末)已知数列的前项和为,点在函数的图象上.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)令,求数列的前项和.
    题型三:指数型
    1.(23-24高三下·全国·阶段练习)已知首项为1的数列满足.
    (1)求的通项公式;
    (2)记数列的前n项和为,证明:.
    2.(23-24高三下·山西·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)已知,数列的前项和为,若对任意的正整数,不等式都成立,求实数的取值范围.
    3.(23-24高二上·浙江丽水·期末)已知为正项数列的前n项和,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,求数列的前n项和.
    4.(23-24高三下·重庆大足·阶段练习)设数列的前项和为,为等比数列,且,,,成等差数列.
    (1)求数列的通项公式:
    (2)设,数列的前项和为,证明:.
    5.(2024·河南南阳·一模)已知数列,若.
    (1)求证:数列是等比数列;
    (2)若数列的前项和为,不等式对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围.
    题型四:通项裂项为“”型
    1.(23-24高二下·河南南阳·阶段练习)已知正项数列的前项和为,且.
    (1)证明:是单调递减数列.
    (2)求数列的前项和.
    2.(23-24高二下·安徽·开学考试)已知在数列中,.
    (1)证明是等差数列,并求的通项公式;
    (2)设,数列的前项和为,求.
    3.(23-24高二上·福建龙岩·期末)在数列中,,且分别是等差数列的第1,3项.
    (1)求数列和的通项公式;
    (2)记,求的前n项和.
    4.(23-24高二上·湖北武汉·期末)设数列的前项和为,已知,.
    (1)求的通项公式;
    (2)已知数列,求数列的前项和.
    5.(2024·云南昭通·模拟预测)已知数列满足.
    (1)证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
    (2)记,求数列的前项和.
    三、专题06 数列求和(裂项相消法)专项训练
    1.(2024·河北邯郸·二模)已知正项数列的前项和为,,且.
    (1)求的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    2.(23-24高二下·云南·阶段练习)已知数列中,为的前项和,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)令,求数列的前项和.
    3.(2024·山西临汾·二模)已知数列满足.
    (1)计算,并求数列的通项公式;
    (2)设数列满足,求数列的前项和.
    4.(23-24高三下·河南·阶段练习)已知数列满足
    (1)求证: 为等比数列;
    (2)数列的前n项和为,求数列 的前n项和.
    8.(23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知正项数列,满足.
    (1)求;
    (2)若,求数列的前项和.
    9.(23-24高二下·陕西西安·阶段练习)已知数列为等差数列,数列满足,若,,成等比数列,且.
    (1)求,;
    (2)求数列的前n项和.
    10.(23-24高三上·云南德宏·期末)在等差数列与等比数列中,已知,,且,.
    (1)求数列,的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    11.(2024·全国·模拟预测)已知数列满足,记.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)已知,记数列的前项和为.求证:.
    12.(2024·全国·模拟预测)已知数列的前项积为.
    (1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
    (2)令,求数列的前项和.
    专题06 数列求和(裂项相消法)(典型题型归类训练)
    目录
    TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc29301" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc29301 \h 1
    \l "_Tc4504" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4504 \h 2
    \l "_Tc10478" 题型一:等差型 PAGEREF _Tc10478 \h 2
    \l "_Tc18587" 题型二:无理型 PAGEREF _Tc18587 \h 5
    \l "_Tc11447" 题型三:指数型 PAGEREF _Tc11447 \h 9
    \l "_Tc6765" 题型四:通项裂项为“”型 PAGEREF _Tc6765 \h 13
    \l "_Tc6365" 三、专题06 数列求和(裂项相消法)专项训练 PAGEREF _Tc6365 \h 18
    一、必备秘籍
    常见的裂项技巧
    类型一:等差型
    = 1 \* GB3 ①
    特别注意

    如:(尤其要注意不能丢前边的)
    类型二:无理型
    = 1 \* GB3 ①
    如:
    类型三:指数型

    如:
    类型四:通项裂项为“”型
    如:①

    本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
    二、典型题型
    题型一:等差型
    1.(23-24高二下·云南昆明·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
    (1)求的通项公式;
    (2)记,求数列的前项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)由可得,两式相减由累乘法可求出的通项公式;
    (2)求出,由裂项相消法可求出数列的前项和.
    【详解】(1)因为,令得,
    因为,
    所以,
    两式相减得,
    即.
    所以,
    所以,
    即,
    所以当时,,
    又,所以.
    (2)由(1)可得,
    所以.
    2.(23-24高二下·四川成都·阶段练习)设公差不为零的等差数列的前项和为,且成等比数列;
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,数列的前项和为,求证:.
    【答案】(1);
    (2)证明见解析.
    【分析】(1)设出数列的公差,再由已知列出方程组,求出即可得解.
    (2)由(1)的结论,利用裂项相消法计算推理即得.
    【详解】(1)设等差数列的公差为,由成等比数列,
    得,解得,
    所以数列的通项公式为.
    (2)由(1)知,,
    ,由恒成立,得数列单调递增,因此,
    所以.
    3.(23-24高二下·上海·期中)已知数列满足,,数列满足,.
    (1)求证:为等差数列,并求通项公式;
    (2)若,记前n项和为,对任意的正自然数n,不等式恒成立,求实数的范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)证明为常数即可证明为等差数列,根据等差数列通项公式即可求的通项公式,进而求出的通项公式;
    (2)根据累乘法求出,再求出,根据的通项公式特征,采用裂项法求其前项和,求单调性并求其范围即可求出的范围.
    【详解】(1)因为,,两边同时除以可得:
    ,从而,,
    所以是首项为1,公差为1的等差数列,所以,
    则;
    (2)由,,
    所以,则,
    所以,
    所以
    则,
    因为中的每一项,所以为递增数列,
    所以,因为,
    所以,即实数的取值范围为.
    4.(23-24高二下·广东佛山·阶段练习)设数列满足.
    (1)证明:为等差数列;
    (2)若数列的前项和为,证明:.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2)证明见解析.
    【分析】(1)对递推公式两边取倒数,结合等差数列的定义,即可证明;
    (2)根据(1)中所证求得,再根据裂项求和法求得,进而适度放缩即可证明.
    【详解】(1)证明:因为,所以,即.
    因为,所以是首项为2,公差为3的等差数列.
    (2)由(1)可知,所以.
    因为,
    所以.
    因为,所以,故.
    题型二:无理型
    1.(23-24高三下·甘肃·阶段练习)设数列的前n项和为.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设数列的前n项和为,且,求;
    (3)证明:.
    【答案】(1)
    (2)
    (3)证明见解析
    【分析】(1)根据条件,利用与间的关系,即可求出结果;
    (2)根据(1)得到,再利用裂项相消法,即可求出结果;
    (3)利用,即可证明结果.
    【详解】(1)因为①,当时,②,
    所以①②得到,即,
    又,满足,所以.
    (2)因为,
    所以.
    (3)因为,
    所以,
    即.
    2.(2024·陕西渭南·模拟预测)已知等差数列的前n项和为,,.
    (1)求的通项公式及;
    (2)设______,求数列的前n项和.
    在①;②;③这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并求解.
    注:如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
    【答案】(1),;
    (2)答案见解析
    【分析】(1)设出等差数列的公差,由题意列方程求出首项和公差,即可求得答案;
    (2)不论选①、选②还是选③,都要利用(1)的结果,可得的表达式,利用裂项相消法求和,即得答案.
    【详解】(1)由题意知等差数列的前n项和为,,,
    设公差为d,则,解得,
    故,;
    (2)若选①,则,
    故;
    若选②,则,
    故;
    若选③,则,
    故.
    3.(23-24高二下·云南·开学考试)在等差数列中,,是和的等比中项.
    (1)求的公差;
    (2)若数列的前项和为,且,求.
    【答案】(1)0或2
    (2)12或3
    【分析】(1)根据是和的等比中项列出关系式,可得或;
    (2)当时,为常数列,可得,进而可得;
    当时,,利用裂项相消法可求得.
    【详解】(1)由题意得,因,得,解得或.
    (2)当时,,则,所以.
    当时,,
    则,
    所以.
    故或.
    4.(23-24高三上·山西阳泉·期末)已知数列的前项和为,点在函数的图象上.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)令,求数列的前项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)由题意可得,分和两种情况,结合与之间的关系运算求解;
    (2)由(1)可得:,利用裂项相消法运算求解.
    【详解】(1)因为点均在二次函数的图象上,
    可得,则有:
    当时,;
    当时,;
    且也符合,所以.
    (2)由(1)可得:,
    所以

    所以.
    题型三:指数型
    1.(23-24高三下·全国·阶段练习)已知首项为1的数列满足.
    (1)求的通项公式;
    (2)记数列的前n项和为,证明:.
    【答案】(1);
    (2)证明见解析.
    【分析】(1)由,变形为,结合求解;
    (2)由,利用裂项相消法求解.
    【详解】(1)解:由题意可得,
    即,
    则有,又,
    因此是常数列,
    即,则;
    (2)设,

    所以,

    故.
    2.(23-24高三下·山西·阶段练习)已知数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)已知,数列的前项和为,若对任意的正整数,不等式都成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)降次作差即可得到,再根据等比数列的通项公式即可得到答案;
    (2)裂项求和得到,再计算出的范围即可得到的范围.
    【详解】(1)时,,即,所以.
    时,,
    所以,即,
    因为,所以,
    所以是首项为1公比为2的等比数列,
    所以.
    (2)由(1)得,
    所以.
    显然是递增数列,且,
    所以,即,
    所以,解得.
    实数的取值范围是.
    3.(23-24高二上·浙江丽水·期末)已知为正项数列的前n项和,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)若,求数列的前n项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】
    (1)利用变形整理可得数列为等差数列,利用等差数列的通项公式求解即可;
    (2)利用裂项相消法求和.
    【详解】(1)由题意知:且,
    两式相减,可得,
    ,可得,
    又,当时,,即,
    解得或(舍去),所以,
    从而,所以数列表示首项为1,公差为1的等差数列,
    所以数列的通项公式为.
    (2)由,
    可得

    所以.
    4.(23-24高三下·重庆大足·阶段练习)设数列的前项和为,为等比数列,且,,,成等差数列.
    (1)求数列的通项公式:
    (2)设,数列的前项和为,证明:.
    【答案】(1)
    (2)证明见解析
    【分析】(1)根据题意,由等差数列以及等比数列的定义,列出方程,代入计算,即可得到结果;
    (2)根据题意,由(1)可得,结合裂项相消法代入计算,即可证明.
    【详解】(1)因为,,成等差数列,即,
    又为等比数列,则也成等比数列,
    则,联立解得,
    则数列的公比为,即,所以,
    当时,,
    且也满足上式,
    所以数列的通项公式为.
    (2)由(1)知,,且,
    则,记,
    则,
    则,
    因为,所以.
    5.(2024·河南南阳·一模)已知数列,若.
    (1)求证:数列是等比数列;
    (2)若数列的前项和为,不等式对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【分析】(1)利用构造法,结合等比数列的定义即可得证;
    (2)结合(1)中结论,利用裂项相消法求得,从而将恒成立不等式转化为,再利用对数函数的性质即可得解.
    【详解】(1)因为,所以 ,
    又因为,所以是首项为2,公比为2的等比数列.
    (2)由(1)易知,
    所以,
    所以,则恒成立,
    所以要使不等式对任意正整数恒成立,只须 ,
    由题意可得且,则,所以,解得,
    所以,即实数的取值范围是.
    题型四:通项裂项为“”型
    1.(23-24高二下·河南南阳·阶段练习)已知正项数列的前项和为,且.
    (1)证明:是单调递减数列.
    (2)求数列的前项和.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【分析】(1)根据与的关系依次求出,,再利用作商法可确定数列的单调性.
    (2)先对通项分母有理化,再分奇偶进行讨论求解.
    【详解】(1)证明:当时,,得.因为,所以.
    当时,,则,
    所以,即.
    因为,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,
    所以,
    因为为正项数列,所以.
    当时,,也适合该式,所以.
    因为,且,所以是递减数列.
    (2)解:由已知得:,
    当为偶数时,,
    当为奇数时,

    所以,
    2.(23-24高二下·安徽·开学考试)已知在数列中,.
    (1)证明是等差数列,并求的通项公式;
    (2)设,数列的前项和为,求.
    【答案】(1)证明见解析,
    (2)
    【分析】(1)由题中递推数列化简为,从而可求解.
    (2)由(1)结论可得,再利用裂项相消求和从而可求解.
    【详解】(1)因为,由题意知,
    所以,即,
    故数列是以为公差的等差数列.
    又,所以,
    所以,即.
    (2),
    则,

    3.(23-24高二上·福建龙岩·期末)在数列中,,且分别是等差数列的第1,3项.
    (1)求数列和的通项公式;
    (2)记,求的前n项和.
    【答案】(1),
    (2)
    【分析】(1)由等比数列的定义、等差数列基本量的计算即可得解;
    (2)由裂项法求和结合对分类讨论即可求解.
    【详解】(1)由题意得,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,
    所以,
    又因为,解得,
    所以数列是以为首项,为公差的等差数列,
    所以.
    (2)由题意,
    若,
    则,
    若,
    则,
    所以的前n项和.
    4.(23-24高二上·湖北武汉·期末)设数列的前项和为,已知,.
    (1)求的通项公式;
    (2)已知数列,求数列的前项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)根据和的关系、等比数列的定义即可解答.
    (2)利用裂项相消求和法即可求解.
    【详解】(1)由,,
    当时,,即;
    当时,,整理得,即.

    当时上式也成立.
    数列是以首项,为公比的等比数列,
    则,即.
    (2),
    .
    5.(2024·云南昭通·模拟预测)已知数列满足.
    (1)证明:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
    (2)记,求数列的前项和.
    【答案】(1)证明见解析,
    (2)
    【分析】(1)由题意构造出形式即可得;
    (2)借助裂项相消法求和即可得.
    【详解】(1)因为,且,
    所以,即,
    又,所以数列是以2为首项,1为公差的等差数列,
    所以,所以;
    (2)由(1)知,所以,
    所以

    故.
    三、专题06 数列求和(裂项相消法)专项训练
    1.(2024·河北邯郸·二模)已知正项数列的前项和为,,且.
    (1)求的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)首先求出,可证明数列为首项为,公差为的等差数列,得到,利用得到的通项公式;
    (2)由(1)知,,化简可得,利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.
    【详解】(1)当时,由,即,解得:,
    所以,则数列为首项为,公差为的等差数列;
    所以,则,
    当时,,
    当时,满足条件,
    所以的通项公式为
    (2)由(1)知,,
    所以,
    故,

    2.(23-24高二下·云南·阶段练习)已知数列中,为的前项和,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)令,求数列的前项和.
    【答案】(1)
    (2)或
    【分析】(1)根据题意,推得,且,得到是等比数列,即可求得数列的通项公式;
    (2)方法一:由(1)求得,结合裂项相消法求和,即可求解;
    方法二:由(1)求得,分为奇数和为偶数,结合相消法求和,即可求解.
    【详解】(1)解:由数列中,为的前项和,,
    当时,,两式相减得,
    可得,当时,,则,
    所以是等比数列,首项为3,公比为3,所以,
    所以数列的通项公式为.
    (2)解:方法一:由(1)知,
    可得

    所以
    .
    方法二:由,
    当为奇数时,
    当为偶数时,
    所以数列的前项和.
    3.(2024·山西临汾·二模)已知数列满足.
    (1)计算,并求数列的通项公式;
    (2)设数列满足,求数列的前项和.
    【答案】(1),,
    (2)
    【分析】(1)由,可得,可得,法一:可得为常数列,可求数列的通项公式;法二:可得,利用累乘法可求数列的通项公式;
    (2)由(1)可得,进而可求的前项和.
    【详解】(1)由题可知,,得,
    由,得.
    由已知,
    可得,
    两式相减得.
    解法一:
    整理得:.
    又满足上式.
    从而对均成立.
    因此为常数列,
    即有,故.
    解法二:
    整理得:.
    又满足上式.
    故.
    即.
    当时符合上式,故.
    (2)由(1)可知.

    因此
    =.
    4.(23-24高三下·河南·阶段练习)已知数列满足
    (1)求证: 为等比数列;
    (2)数列的前n项和为,求数列 的前n项和.
    【答案】(1)证明见解析;
    (2)
    【分析】(1)变形给定等式,再利用等比数列定义判断得解.
    (2)由(1)求出数列的通项公式及前n项和,再利用裂项相消法求和即得.
    【详解】(1)数列中,,则,
    而,即,
    所以数列 是以2为首项,3为公比的等比数列..
    (2)由(1)知,,,,

    所以数列 的前n项和.
    5.(23-24高二下·河南·阶段练习)已知数列满足.
    (1)求的通项公式;
    (2)若,记数列的前项和为,求证:.
    【答案】(1);
    (2)证明见解析.
    【分析】(1)构造等比数列,结合等比数列的通项公式,即可求得结果;
    (2)根据(1)中所求,利用裂项求和法,求得,再证明即可.
    【详解】(1)因为,所以又,
    所以,
    所以是以9为首项,3为公比的等比数列,
    所以,所以.
    (2)由(1)知,
    所以
    ,又,
    所以.
    6.(2024·浙江·二模)已知等差数列的前n项和为,且.
    (1)求;
    (2)求数列的前n项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)根据的关系求通项公式即可;
    (2)裂项相消法求和即可得解.
    【详解】(1)由①
    所以当时,②
    ①②得:,整理得:,
    所以.
    (2)由(1)知,
    所以,
    所以.
    7.(23-24高二下·河北石家庄·阶段练习)已知等差数列的前n项的和为成等差数列,且成等比数列.
    (1)求的通项公式;
    (2)若,数列的前n项的和为,试比较与的大小,并证明你的结论.
    【答案】(1)
    (2),证明见解析
    【分析】(1)根据题意,利用等差中项和等比中项列出方程组,即可解出首项和公差,进而求出的通项公式;
    (2)将化简,利用裂项相消法求和,即可得,从而判断.
    【详解】(1)设的公差为,由题意得,
    即,解得,
    所以.
    (2),
    所以,
    因为,所以,即.
    8.(23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知正项数列,满足.
    (1)求;
    (2)若,求数列的前项和.
    【答案】(1)
    (2)
    【分析】(1)利用的关系,结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果;
    (2)根据(1)求出,利用裂项求和法求得结果.
    【详解】(1)由,可得,,
    两式相减得,又,
    ,即,,又,解得,
    所以数列是以3为首项,以2为公差的等差数列,
    .
    (2)由(1),,
    所以
    .
    9.(23-24高二下·陕西西安·阶段练习)已知数列为等差数列,数列满足,若,,成等比数列,且.
    (1)求,;
    (2)求数列的前n项和.
    【答案】(1),
    (2)
    【分析】(1)设等差数列的公差为,利用等差数列的通项公式及等比中项的性质列方程组求解即可;
    (2)利用裂项相消法求和即可得解.
    【详解】(1)设等差数列的公差为,又,
    由,得,解得,
    又,
    因为,,成等比数列,
    所以,解得,
    所以,;
    (2)由(1)得,
    所以.
    10.(23-24高三上·云南德宏·期末)在等差数列与等比数列中,已知,,且,.
    (1)求数列,的通项公式;
    (2)若,求数列的前项和.
    【答案】(1),
    【详解】(1)由,则.又,
    所以数列是以1为首项,3为公比的等比数列,所以.
    所以.
    (2)因为,
    所以,
    所以.
    当为奇数时,.
    当为偶数时,是递增数列,所以.
    综上,
    12.(2024·全国·模拟预测)已知数列的前项积为.
    (1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
    (2)令,求数列的前项和.
    【答案】(1)证明见解析;;
    (2)(或)
    【分析】(1)由前项积定义可得,再由等差数列定义即可得出证明,并求得数列的通项公式为;
    (2)利用裂项相消法求和,对的奇偶进行分类讨论即可得.
    【详解】(1)由题意得当时,.
    因为,所以,解得以.
    当时,,即,因此.
    所以数列是以3为首项,2为公差的等差数列,
    可得.
    所以.
    (2)由题意知

    当为偶数时,

    当为奇数时,

    所以(或)

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