专题06 利用导函数研究能成立（有解）问题(典型题型归类训练) -2025年高考数学二轮复习大题解题技巧（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题06 利用导函数研究能成立（有解）问题
(典型题型归类训练)
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc1575" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc1575 \h 1
\l "_Tc4158" 二、典型题型 PAGEREF _Tc4158 \h 1
\l "_Tc5237" 题型一：单变量有解问题 PAGEREF _Tc5237 \h 1
\l "_Tc20879" 题型二：双变量不等式有解问题 PAGEREF _Tc20879 \h 6
\l "_Tc26991" 题型三：双变量等式有解问题 PAGEREF _Tc26991 \h 11
\l "_Tc28402" 三、专项训练 PAGEREF _Tc28402 \h 15
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：，使得能成立；
，使得能成立．
③求最值.
二、典型题型
题型一：单变量有解问题
1．（2024·四川成都·一模）已知函数，.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)当时，设函数，求证：有解.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）当时，求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）化简得出函数的解析式，利用可证得结论成立.
【详解】（1）解：当时，，则，
，则，
故当时，在处的切线方程为，即.
（2）证明：当时，，，
，
因为，故不等式有解.
2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．
(1)讨论的单调性和极值；
(2)若时，有解，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，，讨论和两种情况讨论函数的单调性和极值；
（2）首先不等式参变分离为，在时有解，再构造函数，，转化为利用导数求函数的最大值.
【详解】（1），
当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值；
当时，令 ，得，
，得，函数在区间上单调递减，
，得，函数在区间上单调递增，
当，函数取得极小值，
综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值；
时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值.
（2）由题意可知，，时有解，
则，在时有解，即，
设，，
，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，即，
所以实数的取值范围是.
3．（20234·河南洛阳·模拟预测）已知函数在处取得极值4．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用题给条件列出关于a，b的方程组，解之并进行检验后即可求得a，b的值；
（2）利用题给条件列出关于实数的不等式，解之即得实数的取值范围．
【详解】（1），则．
因为函数在处取得极值4，
所以，解得
此时．
易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极大值点，符合题意．故，．
（2）若存在，使成立，则．
由（1）得，，
且在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是．
4．（2024·安徽淮南·一模）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)已知，若存在时，不等式成立，求的取值范围．
【答案】(1)函数在区间，上均单调递减
(2)
【分析】（1）利用导数在函数单调性中的应用，即可得到结果；
（2）根据题意，将原不等式转化为，即；再根据（1），可知在单调递减，将原问题转换为在，两边同取自然对数，采用分离参数法可得在上能成立，再利用导数求出函数的最值，即可得到结果.
【详解】（1）解：的定义域为
因为，所以．
令，则，
所以函数在区间单增；在区间单减．
又因为，所以当时，
所以函数在区间，上均单调递减；
（2）解：
当，时，所求不等式可化为，
即，
易知，
由（1）知，在单调递减，
故只需在上能成立．
两边同取自然对数，得，即在上能成立．
令，则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，
所以，又，故的取值范围是．
5．（2024·广东珠海·一模）已知函数．
（1）讨论的单调性﹔
（2）若存在，求的取值范围．
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．
【分析】(1)对函数求导，再按和分别讨论导函数值正负而得解；
(2)构造函数，讨论时在的值的正负，时再分段讨论最小值情况即可得解.
【详解】(1)函数的定义域为(0，+∞)，，
当时，，则在上递增，
当时﹐由得，
由，得，由，得，
于是有在上递增，在上递减；
由，得，
，当时，，满足题意，
当时，令，，在上递增，则不合题意，
当时，由，得，由，得，
于是有在上递减，在上递增，，
则时，，
综上，的取值范围为．
【点睛】结论点睛：对于能成立问题，(1)函数f(x)定义区间为D，，a≥f(x)成立，则有a≥f(x)min；(2)函数f(x)定义区间为D，，a≤f(x)成立，则有a≤f(x)max.
题型二：双变量不等式有解问题
1．（23-24高三下·江苏南京·阶段练习）已知函数（）．
(1)当，求f（x）的极值．
(2)当时，设，若存在，，求实数的取值范围．（为自然对数的底数，）
【答案】(1)极小值为3；极大值为4ln7－3
(2)
【分析】（1）利用导数判断单调性，求出极值即可；
（2）存在，使，转化为在区间上,即可求解.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，
∴，
令 ，可得1＜x＜7，令f＇（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞7，
∴函数的单调减区间为（0，1），（7，＋∞），单调增区间为（1，7）
∴x＝1时，函数取得极小值为3；x＝7时，函数确定极大值为4ln7－3；
（2），令，
若，则，
∴f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，
∴当时，f（x）在上单调递减，
∴f（x）在上的最大值为，
，令，得，
当时，，∴单调递减，
当时，，∴g（x）单调递增，
∴在上的最小值为，
由题意可知，解得，
又∵，
∴实数a的取值范围为[1，4）．
2．（2024·广西柳州·二模）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围.
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出函数的单调区间作答.
（2）利用（1）的结论求出在上的最大值，再利用给定条件，构建不等式并分离参数，构造函数，求出函数最大值作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
而，当时，由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，由得，由得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）知，函数在上单调递减，而，则，
任意，存在，使等价于，恒成立，
则有，成立，令，
则，当时，，当时，，
即有在上单调递增，在上单调递减，，
因此当时，最大值为，则，
所以实数的取值范围是.
3．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线经过原点，求a的值；
(2)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a），由切线过原点求出a的值；
（2）利用导数研究的单调性并求出上的最大值，由二次函数性质求在上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a的范围.
【详解】（1）由，可得．
因为，，
所以切点坐标为，切线方程为：，
因为切线经过，所以，解得．
（2）由题知的定义域为，，
令，解得或，
因为所以，所以，
令，即，解得：，
令，即，解得：或，
所以增区间为，减区间为．
因为，所以函数在区间的最大值为，
函数在上单调递增，故在区间上，
所以，即，故，
所以的取值范围是.
4．（23-24高二下·黑龙江大庆·）已知函数，为的导数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）将代入求出切点坐标，由题可得，将代入求出切线斜率，进而求出切线方程．
（Ⅱ）设，则，由导函数研究的单调性进，而得出答案．
（Ⅲ）题目等价于，易求得，利用单调性求出的最小值，列不等式求解．
【详解】（Ⅰ），所以，即切线的斜率，且，从而曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，故在存在唯一零点.
所以在存在唯一零点.
（Ⅲ）由已知，转化为， 且的对称轴所以 .
由(Ⅱ)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.
又，所以当时，.
所以，即，因此，的取值范围是.
【点睛】导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题．
5．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号；
（2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围.
【详解】（1）因为函数，所以．
设，则，故在上递减．
，即，
在上单调递减，最小值为．
（2）令，则在上恒成立，
即函数在上单调递减，所以，
所以，即在上恒成立；
又，当时，
在区间上单调递增；
在区间上单调递减．
函数在区间上的最大值为．
综上，只需，解得，即实数的取值范围是．
题型三：双变量等式有解问题
1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（2）先求和在区间上的值域，然后列不等式组来求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，
由，
解得或，
所以不等式的解集为.
（2）当时，，
对称轴为，且，，
所以对任意的，.
时，是增函数，，
由得，
若对任意的，总存在，使成立，
所以，解得，
所以正实数的取值范围是.
2．（23-24高二上·浙江·期中）函数，.
(1)当时，总有成立，求实数的取值范围；
(2)若，对，，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意恒成立，采用变量分离法得，求解出的最大值，从而得解；
（2）根据题意可得出，在上的值域为在上的值域的子集，根据子集运算规则解得参数的取值范围.
【详解】（1）解：由得，
当时，此时；
当时，，
因为，故，
所以，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，
故；
综合得：；
（2）记，，
因为对，，使得，
所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
当时，在上单调递增，
所以，
故，
因为，
所以，即，
又，
故.
3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数，.
(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数在上单调递减，由函数在区间上存在零点，得即可解决；
（2）记函数，的值域为集合，，的值域为集合，则对任意的，总存在，使得成立，又，的值域分，，求解，即可解决.
【详解】（1）由题知，，
因为的图象开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减
因为函数在区间上存在零点，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）记函数，的值域为集合，
，的值域为集合，
则对任意的，总存在，使得成立，
因为的图象开口向上，对称轴为，
所以当，
，，
得，
当时，的值域为，显然不满足题意；
当时，的值域为，
因为，
所以，解得；
当时，的值域为，
因为，所以，解得，
综上，实数的取值范围为.
4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.
(1)已知，，利用上述性质，求函数的值域；
(2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，则有，，再根据给定的性质即可求解；
（2）求出的值域，根据题意易得的值域是的值域的子集，由此列出不等式组，求解即可得出的范围.
【详解】（1）依题意，
，
设，，则.
令，.
由已知性质得，当时，单调递减；
当时，单调递增.
又∵，，，
∴.
∴的值域为.
（2）为减函数，
故，.
由题意得，当时，的值域是的值域的子集，
∴解得.
【点睛】本题考查了函数的单调区间和值域的求法，函数的任意和存在性问题的解法以及化简运算能力，属于中档题.
三、专项训练
1．（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知________，且函数.①函数在上的值域为；②函数在定义域上为偶函数.请你在①②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整.
(1)求a，b的值；
(2)求函数在R上的值域；
(3)设，若，使得成立，求c的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所选条件，利用函数的单调性和奇偶性求a，b的值；
（2）根据函数解析式，利用函数奇偶性结合基本不等式，求函数在R上的值域；
（3）由已知条件，分类讨论即可求解.
【详解】（1）选①函数在上的值域为，
，函数在上单调递增，可得，解得．
选②函数在定义域上为偶函数，
可得，解得.
所以.
（2），函数定义域为R，因 ， 则为奇函数．
当时，，由，当且仅当，即时等号成立，所以；
当时，因为为奇函数，所以；
当时，；
所以的值域为 .
（3）若，使得成立，则有，即，
当时，，不合题意；
当时，在上单调递增，，解得；
当时，在上单调递减，，解得；
所以c的取值范围为.
2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数，，
(1)若对于任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
(2)若不等式对及都成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意在上的值域是在上的值域的子集，通过分类讨论函数单调性，求解函数最值，解不等式组求出实数的取值范围.
（2） 在为单调增函数，所以，由 对任意都恒成立，求解t的取值范围.
【详解】（1）由题意在上的值域是在上的值域的子集，即，
函数 在上是增函数， ， ，
函数图像开口向上，对称轴为直线，
①当时，函数在上为增函数，， ，∴ ， 此时无解；
②当时，函数在上为减函数，在上为增函数，， ， ， 此时无解；
③当时，函数在上为减函数，在上为增函数，，， ，解得 ；
④当时，函数在上为减函数，，，∴ ， 解得；
综上所述，实数a的取值范围是 .
（2）由题意知，对任意都恒成立，
由 在为单调增函数，所以，
即对都恒成立，
，解得，即t的取值范围为 .
3．（23-24高一上·福建泉州·期中）已知________,且整数.
①函数在定义域为上为偶函数;
②函数在区间上的值域为.
在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,求出的值,并解答本题.
(1)判断的奇偶性,并证明你的结论;
(2)设,对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)奇函数,证明见解析;
(2)
【分析】(1) 选①时,根据偶函数性质,定义域关于原点对称,图像关于轴对称,求出,
选②时,根据单调性,代入函数值可求出,
根据两种情况下所求出的的值,代入中,利用奇偶函数的定义证明奇偶性即可;
(2)由(1)结论求出在R上的值域,再求出在的值域,因为,,使得成立,只需值域是值域的子集即可,进而求出的取值范围.
【详解】（1）解:当选①时:因为在定义域为上为偶函数,
所以,所以,
且为偶函数,所以
故
所以,;
当选②时:因为单调递增,
在区间上的值域为,
所以
即 ,
解得,
综上:.
因为,
所以,
所以,
故,
所以是奇函数;
（2）解:由(1)知,,
当时,,当且仅当时成立,
所以,
即时,,
当,,
因为是奇函数,
所以即时,,
综上:,
记值域为集合,
,
,
记值域为集合,,
,,使得成立,
,
,
.
4．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)若关于的方程的两根满足一根大于1，另外一根小于1，求实数的取值范围；
(2)已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇偶性求得参数值，设，则函数的图象开口向上，
，从而得到实数的取值范围；
（2）对任意，总存在，使得成立等价于的值域是值域的子集.
【详解】（1）是上的奇函数，，即，又，．
即关于的方程的两根满足一根大于1，另外一根小于1，
设，则函数的图象开口向上，
∴，即，∴实数的取值范围是；
（2）由（1）知，，
当时，，
当时，，此时，∴，
当时，，此时，∴，
综上，的值域；
∵，，∴的值域.
∵对任意，总存在，使得成立，
∴，即，所以，
实数的取值范围为．
5．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知函数（为常数）
(1)讨论函数的单调性；
(2)不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减
(2)
【分析】（1）根据导函数的解析式，对参数分类讨论结合导函数的符号即可求解；
（2）根据不等式的有解性问题，分离参数、构造新函数求出新函数的最值即可秋求解.
【详解】（1）的定义域为，
，
当时，，，所以在上单调递增，
当时，令，解得，
若，则，所以在上单调递增，
若，则，所以在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）在上有解，
在上有解，
在上有解，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
且，
所以，所以，
故实数的取值范围是.
6．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断函数在区间上的单调性；
(3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)递增；
(3)存在，.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由导数值恒正判断函数单调递增.
（3）假定存在，分离参数构造函数，利用导数探讨最大值即可得解.
【详解】（1）函数，求导得，
则，而，所以曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，，因此，
所以函数在区间上的单调递增.
（3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立，
令，求导得，
令，求导得，即函数在上递增，
则，即，于是，而，
因此，函数在上单调递增，，，则，
所以的取值范围是.
7．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号；
（2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围.
【详解】（1）因为函数，所以．
设，则，故在上递减．
，即，
在上单调递减，最小值为．
（2）令，则在上恒成立，
即函数在上单调递减，所以，
所以，即在上恒成立；
又，当时，
在区间上单调递增；
在区间上单调递减．
函数在区间上的最大值为．
综上，只需，解得，即实数的取值范围是．
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导根据极值点的大小关系可得导函数正负区间，进而可得函数单调性；
（2）由（1）在上的最小值为，再将题意转化为在上的最小值不大于在上的最小值，进而结合二次函数的最值讨论即可.
【详解】（1）∵，∴，
令，可得两根分别为1，，
∵，∴
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
（2），，由（1）知，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
∴在上的最小值为．
对，，使，即
在上的最小值不大于在上的最小值，（*）
又，
∴①当时，，此时与（*）矛盾；
②当时，，同样与（*）矛盾；
③当时，，且当时，，
解不等式，可得，
∴实数b的取值范围为．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，，，若，，使成立，求实数m的取值范围．
【答案】
【分析】将，，使成立，等价为，再求出和，代入化简求解即可．
【详解】将，，使成立，等价为，
由，，则，
又，且，则，
则当时，；当时，，
所以在区间上单调递减；在区间上单调递增，
所以．
又，，则，
又，，
所以在区间上单调递增，
所以，
又，则，解得，
故m的取值范围为．
10．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数（），（）．
(1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值；
(2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求导，由导函数几何意义得到方程，求出，从而得到，代入切线中，求出答案；
（2）转化为时，，求导得到的单调性，求出，再分三种情况求出，得到不等式，求出的取值范围.
【详解】（1），由得，
∴，，
即切点为，代入方程得，
所以，；
（2）由题意可得时，．
∵时，在恒成立，
故在为增函数，
∴，
．
①当时， 在区间上递增，所以，
由解得，舍去；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，解得或，
∴；
③当时，在区间上递减，所以，
由解得，∴.
综上，.
11．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知．
(1)讨论的单调性和极值；
(2)若时，有解，求的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，，讨论和两种情况讨论函数的单调性和极值；
（2）首先不等式参变分离为，在时有解，再构造函数，，转化为利用导数求函数的最大值.
【详解】（1），
当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值；
当时，令 ，得，
，得，函数在区间上单调递减，
，得，函数在区间上单调递增，
当，函数取得极小值，
综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值；
时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值.
（2）由题意可知，，时有解，
则，在时有解，即，
设，，
，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为，即，
所以实数的取值范围是.
12．（2023·青海西宁·二模）设函数．
(1)若函数在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
(2)当时，设函数，若在[上存在，使成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意在上恒成立，进一步化为在上恒成立，利用基本不等式求右侧最值，即可得范围；
（2）由题意时，求最小值，利用导数并讨论参数a研究区间单调性确定最大值，即可求范围.
【详解】（1）因为函数在其定义域上为增函数，即在上恒成立，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
又（仅当x＝1时取等号），故a的取值范围为；
（2）在上存在，，使成立，即当时，
又，所以当时，，
即函数在区间上单调递增，故，
由（1）知，
因为，又的判别式，
①当时，则恒成立，即在区间上单调递增，
故，故，即，得，
又，所以；
②当时，的两根为，，
此时，，故函数在区间上是单调递增．由①知，所以
综上，a的取值范围为．
13．（23-24高二上·河南·期末）已知函数在处取得极值．
(1)求a，b的值；
(2)若存在，使得成立，求实数t的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
（1）根据已知条件可知得求解即可.
（2）运用分离参数求最值解决存在性问题，再运用导数研究函数的最值即可.
【详解】（1）
，
因为函数在处取到极值，
所以，即，解得．
经检验，当，时，在处取到极值，所以，．
（2）
因为存在，使得成立，所以，
由（1）知，，
令，得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，，单调递增．
所以．
又，所以，所以．
所以实数t的取值范围是．