【重庆卷】重庆市高2025届拔尖强基联盟高三上10月联合考试（10.4-10.5）数学试卷

这是一份【重庆卷】重庆市高2025届拔尖强基联盟高三上10月联合考试（10.4-10.5）数学试卷，文件包含重庆卷重庆市高2025届拔尖强基联盟高三上10月联合考试104-105数学试卷pdf、重庆卷重庆市高2025届拔尖强基联盟高三上10月联合考试104-105数学试卷答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
8.【详解】 当 x > 0, xe3x — ln x — x — ia x ≥ 1 恒成立 ， x ≤ xe3x — lnx — x —1, :恒成立. 不妨令 = e3x — 则 a ≤ g(x)min . 易知 ex ≥ x + 1 ， 当且仅当 x = 0 时取等.
≥ —1 = 2, 当 且 仅 当 ln x + 3x = 0 （ 该 方 程 显 然 有 解 ） 时 上 式 取 得 等
号. : a ≤ 2, 即a ∈[— 2,2]. 故 B.
二、 选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分． 在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求． 全 部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分 .
11. 【详解】对于 A 选项 ， 令 x = 4, 则 f(4) + g(—2) = 2, 令 x = —4, 则 f(—4) + g(6) = 2. : g(—2) + g(6) = 4, A 选项正确；
对于 B 选项 ， f(x) 为奇函数 ， 则 f/(x) 是偶函数.但无法确定 f/(0) 的值,B 选项不正确； 对于 C 选项 ， : f(x) + g(2 — x) = 2, : f/(x) — g /(2 — x) = 0 ， 又 f/(x) + g /(x + 1) = 2 ，
: g /(x + 1) + g /(2 — x) = 2, : g /(x) 关于点 中心对称，
: f/(x) = 2 — g /(x + 1) : f/(x) 关于点 中心对称,C 选项正确；
对于 D 选项 ， 又因为 f/(x) 为偶函数 ， : f/(x) 的周期为 2, 而 g /(x + 1) = 2 — f/(x) ， : g /(x) = 2 — f/(x —1) ，
= 4 × 506 + f/ = 2024 + f/ = 2024 + f/ = 2025. = 2025, D 选项正确.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
C
A
D
C
B
题号
9
10
11
答案
BC
ABD
ACD
三 、填空题：本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分 .
设 t = f ，考虑 ft 的根 ， 由图像知有 16 个根 ， 分别设为
t0 , t1 , t2 , t3 , t4 , t5 , t6 , t7 , t8 , t9 , t10 , t11 , t12 , t13 , t14 , t15 ，根据图像知：
t0 = 0, 0 < t1 < 1, 1 < t2 , t3 < 2, 2 < t4 , t5 , t6 , t7 < 4, 4 < t8 , t9 , t10 , t11 , t12 , t13 , t14 , t15 < 8，
再考虑 f(x) = ti , 0 ≤ i ≤ 15 ， 分别作出直线 y = ti ， 可知原函数共有 8 +16 + 2× 12 + 4× 8 + 8× 4 = 112 个
零点.
四 、解答题： 本题共 5 题， 共 77 分． 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 .
15．（本小题满分 13 分）
解：（1）设数列 {an } 公差为 d ，又 a1 , a2 , a3 + 4 成等比数列，所以 a = a1 . (a3 + 4) → (a1 + d )2 = a1 (a1 + 2d + 4)，
（2 分）
又 a1 = 1 ， 即 (1 + d )2 = 5 + 2d ，解得 d = 2 或 d = —2 （舍）， 所以 an = 1+ (n —1)×2 = 2n —1 . （5 分）
n n n 3
（2）可知 bn = 2an = 2.4n—1 ， 则 S = (a1 + a2 + … + a ) + (b1 + b2 +… + b ) = n2 + 2 (4n —1) （13 分）
16．（本小题满分 15 分）
（1）因为调查的女生人数为× 100 = 40 ，所以，调查的男生人数为100 — 40 = 60 ，于是可完成 2× 2列
联表如下：
（3 分）
零假设为H0 ： 在创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关.
根据列联表中的数据 ， 可得： x2 = < 3< 3.841= x0.05 ， （5 分）
根据小概率值α = 0.05 的 x2 独立性检验 ， 没有充分证据推断H0 不成立，
因此可以认为H0 成立 ， 即创新性学习活动中体验到心流与否与性别无关； （7 分）
题号
12
13
14
答案
—2024
25
8
112
心流
无心流
总计
女生
35
5
40
男生
45
15
60
合计
80
20
100
（2） 当 k=8 时 p(k)的值最大，
p(k +1) - p(k) = - =
由 4 ≤ k ≤ 8 可知 ， p(k +1) > p(k) ， 即 p(k)为增函数， 所以当 k=8 时 p(k)的值最大.
（k=4,5,6,7,8），
（8 分）
（12 分）
（14 分）
（ 15 分）
p(k)= 1 - = 1
-
78! (78 -k)!
k!(78 -k)! k!(78 - 2k)!
80! (80 -k)!
.
k!(80 -k)! k!(80 - 2k)!
= 1 - (80 - 2k).(79 - 2k) 80 × 79
17．（本小题满分 15 分）
解：（1）选择条件① , (a -b )sin (A + C )= (a - c )(sinA + sinC ) ，则 (a -b )sinB = (a - c )(sinA + sinC ) ，（ 1 分）
由正弦定理可得(a -b)b = (a - c)( a + c) ，即 a2 + b2 - c2 = ab ， （3 分）
所以csC = = ， 由C ∈(0, π ) ，所以 C = ． （6 分）
( π ) ( π) 1 「 π ( π )7 ( π ) 1 2 ( π ) 1
选择条件② , sin |( 6 - C,I cs |(C + 3 ,I = 4 ， 即 sin L|2 - |( 3 + C,I」| cs|(C + 3 ,I = 4 ，所以 cs |(C + 3,I = 4 ，
（3 分）
由C ∈(0, π ), < C + < ，则 cs (|( C + ,)I = - ，所以 C + = ，则 C = ． （6 分）
（2）在 △ABC 中 ， 因为 tanA = ，所以 = ，所以5 cs A = 11sinA ， 故得 sinA = csA ，
而在△ABC 中 ， sinA > 0 恒成立 ， 故得 cs A > 0 ， 因为 sin2 A + cs2 A = 1 ，所以 ( csA)2 + cs2 A = 1，
解得cs A = ， sin A = . （8 分）
因为△ABC 面积为10 ，所以× ×bc = 10 ，解得bc = 56 ， （9 分）
由上问得C = ， 故 × × ab = 10s3 ， 解得 ab = 40 ， （10 分）
而 sin B = sin(A + C) = × + × = ，所以× × ac = 10 ，解得 ac = 35 ， （11 分）
综上可得 a = 5, b = 8, c = 7 (负根舍去) ， （12 分）
设 = ， = ， = ， 由平面向量基本定理定理得 = + ， （13 分）
所以2 = (42 + 4× ii × × + 2 ) = ，故 CD 的长度为 ； （ 15 分）
18.（本小题满分 17 分）
（1） 由 x2 + y2 = 4 ， 令 y = 0 得 x = ±2 ， 不妨令 A(-2, 0), B (2, 0) ， （ 1 分）
则可设椭圆C 的标准方程为 （2 分）
椭圆C 过点（ !3, ）,所以椭圆C 的标准方程为+ y2 = 1； （4 分）
(2)①解： 显然直线 l 与 l2 垂直 ， 设直线 l : x = ty + d ， 则 k2 = -t （5 分）
直线 l 与椭圆交于M(x1, y1 ), N (x2, y2 )，
由于直线 l2 : y = k2x平分直线l 与圆O 的交线段 ， 则有 k2 = -t, { ，
于是 (x1 - x2 = -4(y1 - y2 ， （7 分）
由于 ,k1 = ， 则 k1 = - （10 分）
OH 3 3 3 5
②由题可知 = ,则 S = S = S 易知 S = S
OD 2 ΔEHG 2 ΔEDG 4 。DEFG , EFGH 4 。DEFG （ 11 分）
·i + 1i
（ 13 分）
,
令 {l〔2=+2 = 4 ， 得 x = ± 则直线 l1 与椭圆交线长为 | EG |= 2 k12 同理可得直线 l2 与椭圆的一个交点
则 D 到直线 l1 的距离 d = (k1 -k2 ) · = k2 ，
·k12 +1 · k12 +1
4 2 + 1 4 2 + 1
1 2
所以四边形面积 S。DEFG =| EG | d = ! ， （ 15 分）
当 k2 = 0 时 ， 四边形不存在，
当 k2 ≠ 0时 ， S。DEFG = 6 ≤ 12，
·k + + 5
所以四边形面积的最大值 SEFGH = S。DEFG = 3 ，在 k2 = ±1时取到. （17 分）
19.（本小题满分 17 分）
解：（1）由题：不妨设 g(x) 函数图象上任意一点坐标为 (x0, y0 ), 则其关于直线 x =1 的对称的点 (2 - x0, y0 ) 在
f(x) 的图象上 ， 则 y0 = g(x0 ) = f(2 - x0 ) = ln(x0 +1) + cs x0 , : g(x) = ln(x + 1) + cs x. （4 分）
（2） 不妨令h(x) = g(x) - ax -1 = ln(x + 1) + cs x - ax -1, (x > -1)，则h(x) ≤ 0 在(-1,+∞) 上恒成立，
注意到： h(0) = 0，且 h(x) 在 x ∈(-1,+∞) 上是连续函数 ， 则 x = 0 是函数 h(x) 的一个极大值点， : h/(0) = 0，又 h/(x) = 1 - sin x - a, h/(0) = 1 - a = 0 :a = 1.
x +1 （7 分）
下证： 当 a = 1时 ， h(x) ≤ 0 在 x ∈(-1,+∞) 上恒成立
令φ(x)
: 当 x ∈(-1,0) 时 ， φ’(x) > 0,φ(x) 单调递增； 当 x ∈(0,+∞) 时 ， φ’(x) < 0,φ(x) 单调递减. :φ(x) ≤ φ(0) = 0, 即： ln(x + 1) ≤ x 在 x ∈(-1,+∞) 上恒成立； 又 cs x -1 ≤ 0
: h(x) ≤ 0:a 的取值为1. （9 分）
由 -1 ≤ x, 则 g （10 分）
（11 分）
又由（2） 知： ln(x + 1) ≤ x 在 (-1,+∞) 恒成立 ， 则 ln x ≤ x -1 在 (0,+∞) 上恒成立且当且仅当 x =1 时取 等.
则令 , n ∈ N* 则 ln - ln n. （15 分） : + + … + < ln(n +1) - ln n + ln(n + 2) - ln(n +1) +…+ ln(2n) - ln(2n -1) = ln 2.
< ln 2 + n. 证毕. （17 分）