湖南省岳阳市五校2025届九年级上学期第一次联考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省岳阳市五校2025届九年级上学期第一次联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列函数中,y是x的反比例函数的是( )
A.B.C.D.
2．下列方程中,属于一元二次方程的是( )
A.B.C.D.
3．若点在反比例函数的图象上,则该图象也过点( )
A.B.C.D.
4．反比例函数的图象经过点,则下列说法错误的是( )
A.
B.函数图象分布在第二、四象限
C.当时,y随x的增大而增大
D.当时,y随x的增大而减小
5．方程二次项系数,一次项系数和常数项分别是( )
A.1,,1B.,,1C.1,3,D.1,3,1
6．方程经过配方法化为的形式，正确的是( )
A.B.C.D.
7．一次函数与反比例函数)在同一坐标系中的图象可能是( )
A.B.
C.D.
8．如图,点A在双曲线上,点B在双曲线上,轴,点C是x轴上一点,连接、,若的面积是6,则k的值( )
A.B.10C.D.
9．《九章算术》.是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部4尺远,则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺,根据题意,可列方程为( )
A.B.
C.D.
10．等腰三角形边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程.的两个根,则n的值为( )
A.6B.6或7C.7或8D.7
二、填空题
11．方程的根为______.
12．已知点,都在反比例函数的图象上,则______(填“>”、“<”或“=”).
13．若,是一元二次方程的两个实数根,则的值为____________.
14．若反比例函数的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是______.
15．学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场,一共进行了36场比赛,有______人参加了选拔赛.
16．已知关于x的一元二次方程有两个实数根,则k的取值范围是______.
17．如图所示,中,,,点P从A点开始沿向终点B以的速度移动,点Q从B点开始沿边向终点C以的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,且当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,那么______秒后,线段将分成面积的两部分.
18．如图,双曲线(,)与正方形的两边、分别相交于M,N两点,若,的面积为10.动点P在x轴上,则的最小值是______.
三、解答题
19．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2).
20．已知平行四边形的两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根.
(1)若的长为5,求m的值；
(2)m为何值时,平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长.
21．如图,老李想用长为的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈,并在边上留一个宽的门(建在处,另用其他材料).当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为的羊圈？
22．如图,在平面直角坐标系中,直线与反比例函数的图象交于A、B两点,与x轴相交于点C,已知点B的坐标为.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式的解集.
(3)点P为反比例函数图象上任意一点,若,求点P的坐标.
23．2024年巴黎奥运会顺利闭幕,吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱,一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品,以30元每个的价格售出,每周可以卖出500个,经过市场调查发现,价格每涨10元,就少卖100个.
(1)若商场计划一周的利润达到8000元,并且更大优惠让利消费者,售价应定为多少钱？
(2)商场改变销售策略,在不改变(1)的销售价格基础上,销售量稳步提升,两周后销售量达到了个,求这两周的平均增长率.
24．为预防某种流感病毒,某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒.在消毒过程中,先进行的药物喷洒,接着封闭教室,然后打开门窗进行通风.教室内空气中的含药量与药物在空气中的持续时间之间的函数关系如图所示,在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系,在通风后满足反比例函数关系.
(1)求药物喷洒后空气中含药量与药物在空气中的持续时间的函数表达式；
(2)如果室内空气中的含药量达到及以上且持续时间不低于,才能有效消毒,通过计算说明此次消毒是否有效？
25．配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.常被用到代数式的变形中,并结合非负数的意义来解决一些问题.
我们定义：一个整数能表示成(a、b是整数)的形式,则称这个数为“完美数”.例如,5是“完美数”.理由：因为,所以5是“完美数”.
【解决问题】：
(1)已知是“完美数”,请将它写成(a、b是整数)的形式.
(2)若可配方成(m、n为常数),则______.
【探究问题】：
(3)已知,求的值；
(4)已知(x、y是整数,k是常数),要使S为“完美数”,试求出符合条件的一个k值,并说明理由.
26．如图1,四边形为正方形,点A在y轴上,点B在x轴上,且,反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C.
(1)求点C的坐标；
(2)如图2,将正方形沿x轴向右平移得到正方形,点恰好落在反比例函数的图象上,求此时点的坐标；
(3)在(2)的条件下,点P为y轴上一动点,平面内是否存在点Q,使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可得,
A、是一次函数,不符合题意,
B、是y是的反比例函数,不符合题意,
C、是反比例函数,符合题意,
D、是二次函数,不符合题意,
故选：C.
2．答案：D
解析：A、,含有2个未知数,不是一元二次方程,故该选项不符合题意；
B、,不是整式方程,不是一元二次方程,故该选项不符合题意；
C、,含有2个未知数,不是一元二次方程,故该选项不符合题意；
D、,是一元二次方程,故该选项符合题意；
故选：D.
3．答案：D
解析：∵点在反比例函数的图象上,
∴,
∴,
∴反比例函数解析式为,
∴在反比例函数图象上的点横纵坐标的乘积为,
∵四个选项中只有D选项满足横纵坐标的乘积为,
故选D.
4．答案：D
解析：∵反比例函数的图象经过点,
∴,故A选项正确,不符题意；
∵,
∴反比例数的图象分布在第二、四象限,故B选项正确,不符题意；
在每一个象限内,函数值y随x的增大而增大,故C选项正确,D选项不正确,
故选：D.
5．答案：A
解析：把原方程化为一般式为,
∴原方程的二次项系数为1,一次项系数为,常数项为1,
故选：A.
6．答案：A
解析：移项：；
配方：，
即：，
故选：A.
7．答案：A
解析：当时,直线经过第一、三、四象限,双曲线经过第一、三象限,故A符合题意；
当时,直线经过第一、二、四象限,双曲线经过第二、四象限,没有符合题意的.
故选：A.
8．答案：C
解析：如图,连接、,设与y轴交点为M,
∵轴,
∴轴,,
∵点A在双曲线上,点B在双曲线上,
∴,,
∴,
解得,
∵双曲线分布在二、四象限,
∴,
∴,
故选：C.
9．答案：A
解析：∵竹子原长一丈,折断后的竹子高度为x尺,
∴折断部分的竹子长尺.
根据题意得：.
故选：A.
10．答案：D
解析：∵三角形是等腰三角形,
∴①或,②两种情况,
①当或时,
∵a,b是关于x的一元二次方程的两根,
∴,把代入得,,
解得：,当,则方程为,
∴解得：,,
∴方程的两根是2和4,而2,4,2不能组成三角形,故不合题意,
②当时,方程有两个相等的实数根,
∴解得：,
∴方程为：
解得：,此时满足三角形三边关系,
综上所述,.
故选：D.
11．答案：,
解析：,
解得：,.
故答案为：,.
12．答案：<
解析：∵反比例函数的解析式为,,
∴反比例函数的图象经过第一、三象限,
∵点,都在反比例函数的图象上,,
∴,
故答案为：<.
13．答案：7
解析：根据题意,得,,
.
故答案为：7.
14．答案：
解析：反比例函数的图象位于第二、四象限,
,
.
故答案为：.
15．答案：9
解析：设有x人参加了选拔赛,由题意,得：
,
解得：,(舍去)；
答：有9人参加了选拔赛.
故答案为：9.
16．答案：且
解析：由题意,得：,
解得：,
∴实数k的取值范围是且.
故答案为：且.
17．答案：2或4
解析：设运动时间为ts,则,,
∵,,,
∴,
∵线段将分成面积的两部分,
∴或,
∴,或,
整理得：或(无实数解),
解得,,
即线段将分成面积的两部分,运动时间为2或4秒.
故答案为：2或4.
18．答案：
解析：∵,
即,
∴正方形的边长是6,
∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6,
∴,,
∵的面积为10,
∴,
∴(负值舍去),
∴,,
作M关于x轴的对称点,连接交x轴于P,则的长等于的最小值,
∵,,,
即：,,
∴,,
∴,
根据勾股定理求得.
故答案为:.
19．答案：(1),
(2),
解析：(1),
或,
,；
(2),
或,
,.
20．答案：(1)
(2),平行四边形是菱形,菱形的边长是4
解析：(1)∵、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根,的长为5,
∴把代入,得
解得：；
(2)平行四边形是菱形,
,
方程有两个相等的实数根,
,
,
此时方程为,
,
,即菱形的边长为4；
答：,平行四边形是菱形,菱形的边长是4.
21．答案：当羊圈的长为,宽为或长为,宽为时,能围成一个面积为的羊圈
解析：设矩形的边,则边；
根据题意,得,
化简,得,
解得：,,
当时,；
当时,.
故当羊圈的长为,宽为或长为,宽为时,能围成一个面积为的羊圈.
22．答案：(1)
(2)或
(3)或
解析：(1)把代入得：,
解得：,
∴,
把代入得：,
解得：,
∴反比例函数解析式为；
(2)联立反比例函数解析式和一次函数解析式得：
,
解得：,,
∴,
由图可知,当或时,；
(3)把代入,
解得：,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,则或,
当时,,
当时,,
综上：或.
23．答案：(1)售价应定为每个元
(2)这两周的平均增长率为
解析：(1)设售价应定为每个x元,则
,
整理得：,
解得：,；
∵更大优惠让利消费者,
∴不符合题意,
∴商场计划一周的利润达到8000元,并且更大优惠让利消费者,售价应定为每个元.
(2)由(1)得：当售价为每个元时,销量为(个),
设这两周的平均增长率为y,则
,
解得：,(不符合题意舍去),
∴这两周的平均增长率为.
24．答案：(1)
(2)此次消毒有效,理由见解析
解析：(1)当时,
设,将代入,
则,
∴；
(2)此次消毒有效.理由如下：
当时,
设,将代入,
则,解得：,
∴；
当时,,解得,
当时,,解得,
∵,
∴此次消毒有效.
25．答案：(1)
(2)
(3)
(4)当时,S是完美数,理由见解析
解析：(1)∵是“完美数,
∴；
(2)由题意知,,
又∵,
∴,,
∴；
(3)∵,
∴,即,
∴,,
解得,,
∴,
∴；
(4)当时,S是完美数,理由如下：
当时,,
∵x,y是整数,
∴,也是整数,
∴S是一个“完美数”.
26．答案：(1)
(2)
(3)点Q的坐标为或或或
解析：(1)过点C作轴,交于点H,
∵,∴设,则,
∵四边形是正方形,
∴,,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,,
∴,
∴,
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C,
∴,
∴；
∴；
(2)如图所示,过点D作轴,,,
同(1)方法可得：,
∵,
∴四边形为矩形,
∴,,,
∴,
∵点恰好落在反比例函数的图象上,
∴当时,,即点A向右平移个单位得到点,
∴即；
(3)分三种情况讨论,
由(2)得点A向右平移个单位得到点,
∴,
∴,
当时,则且,
∴,,即,；
当时,此时点与点Q关于y轴对称,；
当为对角线时,此时,
设,
∴,
解得,即,且,
∴,即,
综上可得：点Q的坐标为或或或.