山东省广饶县第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份山东省广饶县第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．给出下列命题：
①零向量的方向是任意的；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③若空间向量，满足，则；
④空间中任意两个单位向量必相等.
其中正确命题的个数为( )
A.4B.3C.2D.1
2．如图，在直三棱柱中，E为棱的中点.设，,，则( )
A.B.C.D.
3．已知m,n是不重合的直线，,,是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A.若,，则
B.,,,，则
C.若,，则
D.,,，则
4．设，向量,,，且,，则( )
A.B.C.5D.6
5．对于任意空间向量,,，下列说法正确的是( ).
A.若,，则
B.
C.若，则,的夹角是钝角
D.
6．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线l的一个法向量为，则直线l的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为( ).
A.B.
C.D.
7．如图，二面角等于,A,B是棱l上两点，,分别在半平面，内，，，且，，，则的长等于( )
A.B.C.4D.
8．在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点Q，使得，此时二面角的余弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为( )
A.B.C.D.
10．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A.两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B.两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C.直线l的方向向量，平面的法向量是，则
D.直线l的方向向量，平面的法向量是，则
11．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是( )
A.两条异面直线和所成的角为
B.直线与平面所成的角等于
C.点C到面的距离为
D.四面体的体积是
三、填空题
12．如图，四棱柱为正方体.
①直线的一个方向向量为；
②直线的一个方向向量为；
③平面的一个法向量为；
④平面的一个法向量为.
则上述结论正确的是__________.（填序号）
13．已知点,,在同一直线上，则__________.
14．如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，Q为的中点.二面角的正切值为__________.
四、解答题
15．已知空间中三点,,.
（1）若向量与平行，且，求的坐标；
（2）求以,为邻边的平行四边形的面积.
16．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，
（1）求线段的长；
（2）求证：.
17．如图，三棱柱中，,，垂直于平面.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求点O到平面的距离.
18．如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，且，点E在上.
（1）求证：平面；
（2）若E为的中点，求直线与平面所成的角的正弦值.
19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过B作，交于O，连.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)在线段上存在一点M，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
参考答案
1．答案：D
解析：零向量是大小为0的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确；
方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误；
若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故，不一定相等，
③错误；空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误；
所以正确的命题只有1个；
2．答案：A
解析：由题意可得
.
3．答案：D
解析：对于选项A，垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交；
对于选项B，根据面面平行判定定理，直线m,n应为相交直线；
对于选项C，直线m可能在平面内；对于选项D，恰好为线面平行的性质定理.
4．答案：D
解析：因为,,，所以，所以，
因为,,，所以，所以，所以，
所以.
5．答案：B
解析：对于A，若,，则或，故A错误；
对于B，由数量积的运算律可知，故B正确；
对于C，若，则,的夹角是钝角或反向共线，故C错误；
对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，
故D错误；
6．答案：C
解析：由题意可得，化简可得，
7．答案：D
解析：由题意得，两边平方得，
，
所以.
8．答案：C
解析：平面,平面,，
又,,平面,平面，
又平面,；
设,,，
,,，
，即，
关于m的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为，
，解得：,，
以A为坐标原点，,,正方向为x,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则,,,,，
y轴平面,平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，解得：,,，
，
由图形可知：二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为.
9．答案：AD
解析：设平面的法向量为，
因为平面与平面平行，是平面的一个法向量，所以，且，
所以平面的法向量可能为,，
10．答案：AB
解析：两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线l的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线l的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误.
故选：AB
11．答案：BCD
解析：建立如图所示空间直角坐标系，
对A：、、、，
则、，故，
故，即异面直线和所成的角为，故A错误；
对B：，由z轴平面，故平面法向量可为，
则，故直线与平面所成的角为，故B正确；
对C：,,，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故，故C正确；
对D：易得四面体为正四面体，
则，故D正确.
故选：BCD.
12．答案：①②③
解析：不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知，,,，于是，,，故①，②正确；
因平面，而，故可作为平面的法向量，即③正确；
在正方体中，因平面,平面，
则，易得，又，故平面，
而，即可作为平面的法向量，故④错误.
故答案为：①②③.
13．答案：
解析：,,,,，
A,B,C在同一直线上，,则，
即,，解得,.
14．答案：
解析：依题意平面平面，且平面平面,平面，易知，因此可得平面
过点Q作于点E，连接，如下图所示：
由平面，又平面，所以,，
又，且.平面，
所以平面,平面，可得；
即可得即为二面角的平面角；
显然，且，三角形为正三角形，所以,；
在中，.即二面角的正切值为.
15．答案：（1）或；
（2）
解析：（1）因为,，所以，
因为向量与平行，所以可设，所以，
因为，所以，所以，所以或，所以的坐标为或；
（2）因为，，，所以，，所以，即，又，
所以，
所以的面积，
所以以，为邻边的平行四边形的面积为.
16．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）设，，，则，，
，
则，.
，
.
故线段的长为.
（2）证明：，
.
故.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为，垂直于平面，如建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，则，
又，所以，即异面直线与所成角为；
（2）因为，，，
设平面的法向量为，则，取，
则点O到平面的距离.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为底面，底面，所以，，
所以，，
所以矩形是正方形，所以，
因为，所以平面
（2）由（1）知、、两两垂直，建系如图，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，，即，
所以可取，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
19．答案：(1)证明见解析；
(2)；
(3).
解析：（1）因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
（2）以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，
由，取，
.
二面角是钝角，
二面角的正弦值为.
（3）设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，.