浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
3．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为( )
A.B.C.D.
4．已知复数z满足，则( )
A.B.C.D.
5．如图，在斜棱柱中，与的交点为点M，，，，则( )
A.B.C.D.
6．设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是( )
A.B.C.D.
8．在正四面体中，M,N分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数，则( )
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在区间上单调递减
D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10．关于空间向量，下列说法正确的是( )
A.直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
B.直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则
C.平面，的法向量分别为，，则
D.若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面
11．如图所示，边长为2的等边从起始位置（与y轴重合）绕着O点顺时针旋转至与x轴重合得到，在旋转的过程中，下列说法正确的是( )
A.边所在直线的斜率的取值范围是
B.边所在直线在y轴上截距的取值范围是
C.边与边所在直线的交点为
D.当的中垂线为时，
三、填空题
12．某学校有高二学生700人，其中男生420人，女生280人.有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取了容量为100的总样本（观测数据单位：），若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是________.
13．已知直线,则与的距离________.
14．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点O是的中点，则线段上的动点E到直线的距离的最小值为________.
四、解答题
15．求满足下列条件的直线的一般式方程：
(1)直线l的一个方向向量是，且经过,的交点P；
(2)与直线垂直，且点到直线l的距离为.
16．如图，长方体中，，，E是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点E到平面的距离.
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
(1)求角B的大小；
(2)若，，求的面积.
18．图1是直角梯形，，，，，，，以为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）在棱上是否存在点P，使得二面角的平面角为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由.
19．已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点.
(1)已知，是一组“共轭线对”，且直线，求直线的方程；
(2)已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线，，上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，求点P的坐标；
(3)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：设直线倾斜角为，则直线斜率，
，
.
故选：A
2．答案：C
解析：集合，，则.
故选：C.
3．答案：C
解析：根据点关于平面对称时，
横坐标,纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数可知，
点关于平面的对称点为，
故选：C.
4．答案：B
解析：设,，则，
所以，故，
解得，，故.
故选：B
5．答案：B
解析：由题意，
.
故选：B
6．答案：D
解析：令，则
，在R上单调递增；
，对称轴为，
时，单调递减；时，单调递增；
由复合函数可知：时，单调递减；时，单调递增.
故，，.
故选：D
7．答案：B
解析：设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以反射光线所在直线方程为，即.
故选：B.
8．答案：A
解析：
如图示，连接,取的中点D，连接,.
因为D,N分别为和的中点，所以.
所以（或其补角）即为异面直线与所成的角.
在正四面体中，设其边长为2，
则，所以.
而,.
在中，由余弦定理得：.
即异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：A
9．答案：AC
解析：的最小正周期为，故A正确;
由得的所有对称轴为,
其中不包含直线，故B不正确.
由
得的所有单调递减区间为,
当时，，故C正确.
的图象可由的图象向左平移个单位长度得到,故D不正确.
故选：AC
10．答案：BD
解析：对于A，直线l的方向向量为，平面的法向量为，
所以，则，故错误；
对于B，直线l的方向向量为，直线m的方向向量，
由，则，故正确
对于C，平面，的法向量分别为，，
所以，，则，故错误；
对于D，，得，则P，A，B，C四点共面，故正确.
故选：BD.
11．答案：ACD
解析：由题意可知，、、、，
，，
对于A选项，边所在直线斜率的取值范围是，A对；
对于B选项，设边的中点为E，则，且，
设点，其中为锐角，设，则，
因为，则，
，则，
所以，直线的方程为，即，
所以，边所在直线在y轴上截距为，B错；
对于C选项，直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，
因此，边与边所在直线的交点为，C对；
对于D选项，当的中垂线为时，即，则，
则，所以，，D对.
故选：ACD.
12．答案：168
解析：根据题意男生人数所占频率为，女生人数所占频率为，
所以抽取的男生人数为，抽取的女生人数为，
又因为因为男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，
所以总样本的平均数是.
故答案为：168
13．答案：/1.5
解析：因为，则与的距离，
故答案为：
14．答案：
解析：
如上图，取的中点为.连接、、.
，点O是的中点，.
又平面平面，平面平面，平面，
平面.
又平面,.
又底面是矩形，O、是、中点，.
以点O为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系如图所示，由，，，
得，.
，，，则，，
设，则，，
，
，
向量的单位方向向量，
则，
因此点E到直线的距离
，
当时，d取最小值，
线段上的动点E到直线的距离的最小值为.
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2)或.
解析：（1）根据直线l方向向量，可求得直线斜率为，
联立，，可求得，
根据点斜式可得，化简可得.
（2）直线l与直线垂直，可求得，
解之可求得，设直线l的一般式方程为，
根据点到直线距离公式，解之可得或，
所以直线l的方程为或.
16．答案：(1)证明见解析；
(2)1
解析：（1）如图建系，则
，，，，，
，，，，
，，，
因为，，
所以，，又，平面，
所以平面；
（2）设平面的法向量，
，
又，
所以.
17．答案：(1)；
(2)或
解析：（1）方法一
即
得：
方法二：
得
即
得：
（2）由余弦定理得：.
得：
或
或.
方法二：由正弦定理：
或
或.
18．答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，.
解析：（1）证明：在图1中，连结，由已知条件得，
且，
四边形为菱形，连结交于点F，
，
又在中，，，
在图2中，，，，
由题意知，且
平面，又平面，
平面平面；
（2）如图，以D为坐标原点，，分别为x，y轴，方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.由已知得各点坐标为
，，，
，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，，
所以，即，
令，解得，，
所以，，记直线与平面所成角为，
则.
（3）假设存在，设，
所以，，
∵平面，易得平面的一个法向量，
设平面PBE的一个法向量，
由，可得，可取，
则，
解得，此时.
19．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）由已知得，且，，
直线的方程为.
（2）设直线，，的斜率分别为，，，
则解得或
又三条直线的倾斜角均为锐角，所以，，，
故直线的方程为，直线的方程为，联立可得.
（3）设，，其中，
原点O到直线，的距离分别为，，
则
.
由于（等号成立的条件是），故，.