热点专题 1.1 基本不等式及其应用【21类题型全归纳】（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

这是一份热点专题 1.1 基本不等式及其应用【21类题型全归纳】（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用），文件包含热点专题11基本不等式及其应用21类题型全归纳原卷版docx、热点专题11基本不等式及其应用21类题型全归纳解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点题型追踪：1-1 基本不等式及其应用
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热点题型解读（目录）
模块一：核心题型·举一反三
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc169179190" 【题型1】基本不等式的直接使用 PAGEREF _Tc169179190 \h 2
\l "_Tc169179191" 【题型2】 常规凑配法求最值 PAGEREF _Tc169179191 \h 3
\l "_Tc169179192" 【题型3】 “1”的妙用（1）：乘“1”法 PAGEREF _Tc169179192 \h 5
\l "_Tc169179193" 【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换 PAGEREF _Tc169179193 \h 7
\l "_Tc169179194" 【题型5】二次比一次型 PAGEREF _Tc169179194 \h 9
\l "_Tc169179195" 【题型6】分离常数型 PAGEREF _Tc169179195 \h 10
\l "_Tc169179196" 【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题 PAGEREF _Tc169179196 \h 12
\l "_Tc169179197" 【题型8】利用对勾函数 PAGEREF _Tc169179197 \h 14
\l "_Tc169179198" 【题型9】 判断不等式是否能成立 PAGEREF _Tc169179198 \h 16
\l "_Tc169179199" 【题型10】换元法（整体思想） PAGEREF _Tc169179199 \h 19
\l "_Tc169179200" 【题型11】基本不等式的实际应用问题 PAGEREF _Tc169179200 \h 22
\l "_Tc169179201" 【题型12】与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转化） PAGEREF _Tc169179201 \h 26
\l "_Tc169179202" 【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题 PAGEREF _Tc169179202 \h 29
模块二：学有余力·拓展提升
\l "_Tc169179203" 【题型14】消元法 PAGEREF _Tc169179203 \h 31
\l "_Tc169179204" 【题型15】因式分解型 PAGEREF _Tc169179204 \h 33
\l "_Tc169179205" 【题型16】同除型（构造齐次式） PAGEREF _Tc169179205 \h 35
\l "_Tc169179206" 【题型17】万能“k”法 PAGEREF _Tc169179206 \h 37
\l "_Tc169179207" 【题型18】三角换元法（利用三角函数） PAGEREF _Tc169179207 \h 38
\l "_Tc169179208" 【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题 PAGEREF _Tc169179208 \h 40
\l "_Tc169179209" 【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型） PAGEREF _Tc169179209 \h 43
\l "_Tc169179210" 【题型21】多次运用基本不等式 PAGEREF _Tc169179210 \h 43
模块一
核心题型·举一反三
【题型1】基本不等式的直接使用
如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；
基本不等式：若，则（或），当且仅当时取等号．
若，，且，则的最小值是________
【答案】
【详解】，则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以有最小值
若，，则的最小值为______．
【答案】2
【简析】
【巩固练习1】若，，则的最小值为______．
【答案】
【简析】
【巩固练习2】已知，，且，则的最小值是________
【答案】
【详解】由于，所以，当且仅当时等号成立
【题型2】 常规凑配法求最值
配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解．
1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．
2、注意验证取得条件．
常见的配凑法求最值模型
(1)模型一：，当且仅当时等号成立；
(2)模型二：，当且仅当时等号成立
若，则的最小值为 .
【答案】0
【解析】由，得，
所以，
当且仅当即时等号成立.
已知a>2，则2a+8a−2的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.
【解答过程】因为a>2，所以a−2>0
所以2a+8a−2=2a−2+8a−2+4≥216+4=12，
当且仅当2a−2=8a−2，即a=4时，等号成立．
所以2a+8a−2的最小值为12.
【巩固练习1】函数（）的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
故的最小值为.
【巩固练习2】已知正数a，b满足，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求最值即可．
【详解】因为正数a，b满足，所以，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为2．
【巩固练习3】已知，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
【题型3】 “1”的妙用（1）：乘“1”法
方法总结：乘“1”法就是指凑出1，利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值．
主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值
注意：验证取得条件．
（2023·广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________
【答案】9
【详解】，当且仅当时等号成立
（2024·江苏南通·二模）设，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，，所以
.
当且仅当，即时取等.
【巩固练习1】已知且，则的最小值是 ．
【答案】8
【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果．
【详解】因为，所以，
所以，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为8
【巩固练习2】若，且，则的最小值为 ．
【答案】5
【解析】因为，且，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为5．故答案为：5．
【巩固练习3】已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】16
【解析】
当且仅当时等号成立.即当时，取得最小值为16.
【题型4】“1”的妙用（2）：“1”的代换
方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式子，达到解题的目的．
已知，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求得的最小值．
【详解】依题意．
当且仅当时等号成立．
已知实数x，满足，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．8
【答案】C
【分析】根据“1”的变形技巧化简，再运用均值不等式求解即可．
【详解】由条件可得
．
当且仅当，即时等号成立
【巩固练习1】若，，且，则有最小是________
【答案】5
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，
所以有最小值5
【巩固练习2】正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【分析】中的“1”用“”代替，分离常数后利用基本不等式即可求解．
【详解】因为正实数，满足，
所以，
当且仅当，即时等号成立．故的最小值是．
【巩固练习3】（2024·安徽·三模）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】由，可得，再利用基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立.
【题型5】二次比一次型
基本模型：，当且仅当时等号成立
已知x>0，则x2−x+4x的最小值为（ ）
A．5B．3C．−5D．−5或3
【解题思路】由已知可得x2−x+4x=x+4x−1，利用基本不等式计算可得结果.
【解答过程】由x>0，得x2−x+4x=x+4x−1≥2x⋅4x−1=3，
当且仅当x=4x，即x=2时等号成立，所以x2−x+4x的最小值为3．
函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
【巩固练习1】已知，则函数的最小值是 ．
【答案】
【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果.
【详解】因为，
当且仅当，即时，等号成立.
所以函数的最小值是
【巩固练习2】已知正数x，y满足，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】∵正数x，y满足，
∴．
当且仅当，即时取等号，
则，其最大值为．
【巩固练习3】已知x，y为正实数，且x+y=1，则x+6y+3xy的最小值为（ ）
A．24B．25C．6+42D．62−3
【解题思路】把x+6y+3xy变为9x+4y，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.
【解答过程】因为x，y为正实数，且x+y=1，所以x+6y+3xy=x+6y+3x+yxy=4x+9yxy=9x+4y
=9x+4yx+y=13+9yx+4xy≥13+29yx×4xy=25，
当且仅当9yx=4xyx+y=1即x=35y=25时，等号成立，所以x+6y+3xy的最小值为25.
【题型6】分离常数型
方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数
例1：（x>0）
例2：
若，则函数的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为；故选：C
【巩固练习1】已知，，，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】将已知条件等式化为，整体代入结合基本不等式即可得解．
【详解】因为，，，所以，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为6，故选：B．
【巩固练习2】函数在上的值域是 ．
【答案】
【分析】将函数变形为，当时，；当时，，利用对勾函数的性质和不等式的性质可解．
【详解】函数，
当时，；
当时，，
根据对勾函数的性质可知：
当时，，则，所以，
当时，，则，所以，
综上所述，函数在上的值域是．
【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题
方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基本不等式求解
（多选）已知 则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】由题意可知，，根据对数函数的单调性可知D错误；，可知A正确；利用基本不等式可知，化简整理可知B正确；在根据，利用不等式的性质，即可判断C正确．
【详解】由题可知，，又，所以 ，D错误；
因为，有．所以A正确；
由基本不等式得，所以，当且仅当时，取等号；
又因为，，所以，故，B正确；
由于，，所以，C正确
（2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确
【巩固练习1】（2023广东广雅中学校考）若正实数a，b满足，则的最小值是________
【答案】
【详解】，当且仅当即时等号成立
【巩固练习2】已知实数满足，则的最小值是________．
【答案】7
【解析】，
当且仅当，即，时取等号．
所以的最小值为
【巩固练习3】（多选）已知，则实数，满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】对于A，根据对数函数的性质分析判断，对于C，由已知可得，从而可得，对于D，利用基本不等式判断，对于B，由，得分析判断．
【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，所以，所以A正确；
对于C，由，得，所以，所以C错误；
对于D，因为，所以，得，所以D正确；
对于B，因为，所以，所以B错误．
【题型8】利用对勾函数
当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值
当时，的最小值为 .
【答案】3
【分析】根据对勾函数的单调性求最值.
【详解】设，则，
又由得，
而函数在上是增函数，
因此时，取得最小值
已知函数．若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图象得，则，令，利用对勾函数的图象与性质即可求出其范围．
【详解】由得．根据函数的图象及，
则，即，可得，，
令，
根据对勾函数可得在上单调递增，则．
所以的取值范围是
【巩固练习1】函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ．
【答案】2
【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解.
【详解】依题意，
y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)，
设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，
所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值．
【巩固练习2】已知函数，若实数满足，且，则
的取值范围是_______．
【答案】
【分析】 易知
，注意这里取不到等号，所以，
【巩固练习3】若对任意，恒成立，求实数的取值范围
法一：对勾函数参变分离后结合对勾函数性质
当时，，成立；
当时，由题可得对任意恒成立，
令，则有，，
，
令，，根据对勾函数的性质可得，
所以，
所以当时，，
故实数的取值范围为；
法二：分类讨论
令，
①当时，，
对任意，恒成立；
②当时，函数图象开口向上，
若对任意，恒成立，只需，
解得，
故当时，对任意，恒成立；
③当时，对任意，，，
恒成立；
综上可知，实数的取值范围为．
【题型9】 判断不等式是否能成立
（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．
（2）连续使用不等式要注意取得一致．
（多选）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据基本不等式求解最值判断ABC，根据复合函数最值求法求解判断D．
【详解】对于A，，当时，，不符合要求，错误；
对于B，，当且仅当时取等号，
由得显然不成立，所以等号取不到，
即的最小值不是2，错误；
对于C，因为，所以，，
当且仅当时取等号，最小值是2，正确；
对于D，，易知，，
则，
当即或时，有最小值4，即有最小值2，故D正确．
【巩固练习1】下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若，则
B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【答案】D
【解析】∵可能为负数，如时，，∴A错误；
∵可能为负数，如时，，∴B错误；
∵，如时，，∴C错误；
∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确．
【巩固练习2】（多选）下列命题中，真命题的是（ ）
A．，都有
B．，使得
C．任意非零实数，都有
D．若，则的最小值为4
【答案】AB
【分析】利用不等式的性质和均值不等式，以及对勾函数的单调性求最值，并根据全称命题与特称命题的真假判断，即可选出真命题．
【详解】解：对于A，恒成立，
则，都有，A选项正确；
对于B，当时，，
（当且仅当时取等号），
，，使得，B选项正确；
对于，当时，，C选项错误；
对于 D，当时，，令，
在上单调递增，
，
则的最小值不是4，D选项错误
【巩固练习3】（多选）下面结论正确的是（ ）
A．若，则的最大值是
B．函数的最小值是2
C．函数（）的值域是
D．，且，则的最小值是3
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式求最值判断ABD，结合二次函数的性质判断C．
【详解】时，．，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是2，即的最小值是1，
从而的最大值是，A正确；
，当且仅当时等号成立，但无实数解，因此等号不能取得，2不是最小值，B错；
时，，，
因为，所以时，，时，，
时，．
所以值域是，C正确；
，且，，
，
则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4－1＝3，D正确．
【题型10】换元法（整体思想）
对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑
整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.
单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元
双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元
（单分母换元）已知，则的最小值是________
【解题思路】可以设，则有，求的最小值，用乘“1”法即可
【答案】9
【解答过程】解：设，则有，
当且仅当1−2a2a=8a1−2a，即a=16时取等号，所以12a+41−2a的最小值是9．
（双分母换元）已知正数满足，则的最大值是（ ）
【解题思路】设，则有，求最小值，结合乘1法即可
【解答过程】解：aa+1+4bb+1=1−1a+1+4−4b+1=5﹣（1a+1+4b+1），
∵a+b＝2，∴a+1+b+1＝4，
1a+1+4b+1=14（1a+1+4b+1）（a+1+b+1）=14（1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1），
b+1a+1+4(a+1)b+1≥24=4（当且仅当b+1a+1=4(a+1)b+1，即a=13，b=53时，等号成立），
故14（1+4+b+1a+1+4(a+1)b+1）≥14×9，即1a+1+4b+1≥94，
故aa+1+4bb+1=5﹣（1a+1+4b+1）≤114
已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】x，y为正实数，利用基本不等式求的最小值．
【详解】x，y为正实数，则，当且仅当，即时等号成立．最小值为6
【巩固练习1】已知，其中，，，则的最小值为 ．
【答案】16
【解析】因为，，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16
【巩固练习2】已知实数，且，则的最小值是 ．
【答案】24
【解析】因为，且，
所以，
所以
，
当且仅当，即，时等号成立
【巩固练习3】若，，，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。
【详解】由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为
【巩固练习4】若正实数满足，则最小值为________
【答案】
【详解】由
，当且仅当时，等号成立，所以有最小值
【巩固练习5】已知a，b，c均为正实数，，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意，将看作一个整体，变形后结合基本不等式的计算，即可得到结果．
【详解】因为，即，
设，则，且，
原式
，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
【题型11】基本不等式的实际应用问题
不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数学建模、数学运算素养．
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数：
若，则（当且仅当时取“=”）
数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图知：，
在中，，
所以，即
小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
，，，
∴，
【巩固练习1】原油作为“工业血液”､“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是（ ）
A．第一种方案更划算
B．第二种方案更划算
C．两种方案一样
D．无法确定
【答案】B
【解析】分别求出两种方案的平均油价，结合基本不等式作出比较即可得出结论．
【详解】设小李这两次加油的油价分别为元升､元升，则：
方案一：两次加油平均价格为，
方案二：两次加油平均价格为，
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．
【巩固练习2】《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为( )
A．ab≤a＋b2(a＞0，b＞0)
B．a＋b2＜2aba＋b(a＞0，b＞0，a≠b)
C．2aba＋b≤ab(a＞0，b＞0)
D．2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞0，a≠b)
【答案】D 由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝a＋b2，
易得DC＝AC·BC＝ab， DE＝DC2DO＝2aba＋b．
∵DE＜DC＜DO，∴2aba＋b＜ab＜a＋b2(a＞0，b＞0，a≠b)．
【巩固练习3】（多选）给出下面四个结论，其中不正确的是（ ）
A．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定．则若n次(n≥2)购买同一物品，用第一种策略比较经济
B．若二次函数f(x)＝24ax2＋4x－1(a≠0)在区间(－1，1)内恰有一个零点，则由零点存在定理知，实数a的取值范围是
C．已知函数f(x)＝|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则3b＋2a的取值范围是
D．设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝x，则△ADP的面积是关于x的函数且最大值为
【答案】B C D
【解析】A选项：设n＝2，两次购买的价格分别为，，数量关系为：单价＝总价÷数量
设第一种策略每次花x元购买物品，则单价为（调和平均数），
设第二种策略每次买y件物品，则单价为，
易证 ，所以第一种策略比较经济，A正确；
B选项：①当时，由零点存在定理
②当，代入计算可得时，f(x)＝0的根为1和，满足条件；时，f(x)＝0的根为－1和，也满足条件，
当时，即时，可得f(x)的对称轴为，也满足条件
综上，，B错误；
C选项：显然0＜a＜1＜b，且ab=1，，然而，所以取不到，则C错误；补充：，取值范围是
D选项：设，则，
，则D错误
【题型12】与 a+b、平方和、 ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转化）
利用基本不等式变形求解
常用不等式链：（主要用于和积转换）
（2024·辽宁葫芦岛·二模）若，则的最小值是 （ ）
A．B．1
C．2D．
【答案】C
【解析】，当且仅当时取等号，
因此，即，解得，
所以当时，取得最小值2.
（2024·重庆渝中·模拟预测）（多选）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D.
【详解】A：由，得，
即，得，
解得，当且仅当时等号成立，故A错误；
B：由选项A的分析知，故B正确；
C：由，得，即，
所以，
得，当且仅当时等号成立，故C正确；
D：由，得，即，
所以，得，
当且仅当时等号成立，故D错误.
【巩固练习1】已知实数，满足，则的最大值为________
【答案】
对于选项AB，，
则，当且仅当时等号成立，
故的最大值为
【巩固练习2】（多选题）（2024·高三·海南·期末）已知，且，则（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】BD
【解析】对于A，，
因为，，
令，得，解得或，即或，
当且仅当或时，等号成立，故A错误；
对于B，，解得或，
当且仅当或时，等号成立，故B正确；
对于C，，
所以，
当且仅当或时，等号成立，故C错误；
对于D，，
由选项B知，或，所以或，
则或，故D正确.
【巩固练习3】（多选题）已知正数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误；
对于B：因为且，所以，
所以，当且仅当时取等号，故正确；
对于C：因为，所以，
所以，所以，当且仅当时取等号，故正确；
对于D：由C可知错误
【题型13】基本不等式恒成立与能成立问题
，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于
，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于
已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
若正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围 ．
【答案】或
【分析】要使有解，则大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范围．
【详解】因为，所以，所以，当时，等号成立，因为，所以此时，所以的最小值为，由题可得，解得或．
【巩固练习1】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，且，
所以
，当且仅当时取等号，
又因为恒成立，
所以，解得.
所以实数的取值范围是.
【巩固练习2】已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，故，，
，，故，
当且仅当，即时取等号，故，
最小值是16，由不等式恒成立可得.
a的取值范围是
【巩固练习3】若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得满足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后解不等式即可．
【详解】由得，
，
当且仅当时，等号成立，
则使不等式有解，只需满足即可，
解得．
【巩固练习4】若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 .
【答案】
【详解】由，
因为，所以，令，
由，则有，
且
模块二
学有余力·拓展提升
【题型14】消元法
消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
已知x>0,y>0，xy+2x−y=10，则x+y的最小值为 42−1 ．
【解题思路】依题意可得x=y+10y+2，再由基本不等式计算可得.
【解答过程】因为x>0，y>0且xy+2x−y=10，
所以x=y+10y+2，
所以x+y=y+10y+2+y=8y+2+y+2−1≥28y+2⋅(y+2)−1=42−1，
当且仅当8y+2=y+2，即y=22−2，x=1+22时，等号成立，
故x+y的最小值为42−1．
【巩固练习1】若a>0,b>0,ab=2，则a+4b+2b3b2+1的最小值为 4 ．
【解题思路】根据基本不等式即可求解.
【解答过程】由a>0,b>0,ab=2⇒a=2b，
故a+4b+2b3b2+1=2b+4b+2b3b2+1=2+4b2+2b4bb2+1=2b2+12bb2+1=2b2+1b
=2b+1b≥2×2b×1b=4，当且仅当b=1时等号成立，
故最小值为4
【巩固练习2】（2024·浙江嘉兴·二模）若正数x,y满足x2−2xy+2=0，则x+y的最小值是（ ）
A．6B．62C．22D．2
【解题思路】根据题意可得y=x2+1x，利用基本不等式求解.
【解答过程】由x2−2xy+2=0可得y=x2+1x，
∴x+y=x+x2+1x=3x2+1x≥23x2⋅1x=6，
当且仅当3x2=1x，即x=63时，等号成立，此时y=263>0符合题意.
所以x+y的最小值为6.
【巩固练习3】（2024·重庆·模拟预测）（多选）已知，且，则（ ）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的最小值是3
D．的最小值是
E．
【答案】BDE
【分析】对于A项，运用基本不等式将其转化成关于的不等式求解即得；对于B项，直接运用基本不等式将其转化成关于的不等式，再结合不等式性质求解即得；对于CDE项，通过题设求出，代入所求式消元，凑项运用基本不等式即得.
【详解】对于A项，，由可得，
因，故得，则，当且仅当时等号成立，错误；
对于B项，由可得，
因，故得：，当且仅当时等号成立，又，
所以的取值范围是，正确；
对于C和E项，由得，
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以，故C项错误，E正确；
对于D项，由得，
所以，
当且仅当即时，等号成立，正确.
【题型15】因式分解型
含有这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成的结构，再结合整体思想来求最值
（重庆巴蜀中学校考）已知，，且，则的最小值是________
【答案】7
【分析】将式子变形为，即可利用不等式求解，或者将式子变形为，结合不等式即可求解．
【详解】方法一：因为，故，解得，
故，当且仅当 ，即，时等号成立．
方法二：因为，则，且，故，
故，当且仅当 ，
即，时等号成立．故选：C．
【巩固练习1】设，为正实数，若，则的最小值是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【分析】由，令，，即可得到，
则，利用基本不等式计算可得．
【详解】解：因为，为正实数，且，
令，，则，则，
当且仅当，即，时取等号
【巩固练习2】若，且，则的最小值为________
【答案】
【解析】，且，，且
，，，
当且仅当，即，时取等号，
故的最小值为，故选：D．
【巩固练习3】（2024·江苏南京·三模）若实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】由，得，
设，其中.
则，从而，
记，则，
不妨设，则,
当且仅当，即时取等号，即最大值为.
模块二
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【题型16】同除型（构造齐次式）
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．
设正实数、、满足，则的最大值为________
A． B． C． D．
【答案】1
【解析】因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号．
故的最大值为．
【巩固练习1】已知正实数x，y满足5x2＋4xy－y²＝1，12x2＋8xy－y2的最小值为________．
【答案】
【解析】
则原式等价于
【巩固练习2】已知，，，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，即有且，
将代入得，
令，，，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值，即的最小值是.
【题型17】万能“k”法
求啥设啥，利用一元二次方程有实数根时.
（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
方程可化为，
整理得，则满足，
解得，所以，即，
所以的最大值为.
【巩固练习1】若正数，，满足，则的最大值是 .
【答案】
【解析】把式子看作是关于的方程，则问题等价于关于的方程有解，则，即，则问题转化为关于的不等式有解，则，化简得，所以，此时，，符合条件.
【巩固练习2】（重庆巴蜀中学校考）已知实数，满足，则的最小值为________
【答案】
【详解】令，代入，得，
当且仅当时，成立，
即的最小值为
【巩固练习3】已知正实数x、y满足则xy的取值范围是________
【答案】
【解析】设，
，
整理得
是正实数，∴△≥0，
即，
整理得，
解得或m≤0(舍去)
【题型18】三角换元法（利用三角函数）
出现平方和结构（）形式，引入三角函数表示和
若x，y满足，则的最大值为________
【答案】3
【解析】设，因此，其中
，所以当时，取到最大值3
（多选题）若x，y满足，则（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因为（R），由可变形为，
，解得，当且仅当时，，
当且仅当时，，故A正确，B错误；
由可变形为，解得，
当且仅当时取等号，故D正确；
因为变形可得，
设，所以，
因此
，所以当时，即时，
此时，取到最大值2，故C错误.
【巩固练习1】若x，y满足，则的最大值为________
【答案】
【解析】设，因此，其中
，所以当时，取到最大值3
【巩固练习2】已知实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【解析】由条件知令，
则，
令，
则，
当时，，当时，时，，
故当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，取得最大值
【巩固练习3】
【题型19】基本不等式与其他知识交汇的最值问题
利用基本不等式求最值往往交汇考查，多涉及数列、三角、向量、解析几何、立体几何等问题中有关最值的求法．
（2024·宁夏银川·二模）已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 .
【答案】
【解析】由已知可得为椭圆的焦点，
根据椭圆定义知，
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
（2024·江西·模拟预测）已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】D
【分析】利用特殊值“1”将化成积为定值的形式，再用基本不等式即可求解.
【详解】解：由题意可知，圆心在直线上，
则，又因为，，
所以，
当且仅当且即，时取等号，
此时取得最小值．
【巩固练习1】（2024苏锡常镇二模）已知随机变量，且，则的最小值为
A．9B．C．4D．6
【答案】B
【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，所以.
当时，，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为.
【巩固练习2】若直线被圆，所截得的弦长为6，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】先求出圆的圆心和半径，根据圆直线被圆，所截得的弦长为6，得到圆心在直线上，即，然后利用基本不等式中的“1”的代换求解.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，，
因为直线被圆，所截得的弦长为6，
所以圆心在直线上，
所以，即 ，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以则的最小值为
【巩固练习3】已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．9D．12
【答案】C
【解析】当直线的斜率不存在时，可得，从而可得，利用焦点弦公式求出；当直线的斜率存在时，设出直线方程：，将直线方程与抛物线方程联立，可得，根据焦点弦公式借助基本不等式即可求解.
【详解】由题意可知，
当直线的斜率不存在时，可得，所以，即；
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线方程：，
则，整理可得，所以，
所以，
当且仅当时，取等号，
故的最小值为9.
【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）
对于，求最大值
可以设，配好系数后的与可以凑出定值
已知为正实数，且，求的最大值
【解析】
【巩固练习1】若x>0，y>0，且2x2＋eq \f(y2,3)＝8，则xeq \r(6＋2y2)的最大值为________．
解析 (xeq \r(6＋2y2))2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(y2,3)))≤3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x2＋1＋\f(y2,3),2)))2＝3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))2．
当且仅当2x2＝1＋eq \f(y2,3)，即x＝eq \f(3,2)，y＝eq \f(\r(42),2)时，等号成立．故xeq \r(6＋2y2)的最大值为eq \f(9,2)eq \r(3)．
【巩固练习2】已知a，b是正实数，且2a2＋3b2＝10，求的最大值．
【简析】记，则，求最大值
【题型21】多次运用基本不等式
多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致.
已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2b，则a+b的最小值为（ ）
A．5B．52C．52D．522
【解题思路】先根据基本不等式求出92a+2ba+b≥252.然后即可根据不等式的性质得出a+b2≥92a+2ba+b≥252，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.
【解答过程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.
因为92a+2ba+b=92+2+9b2a+2ab ≥29b2a×2ab+132=6+132=252，
当且仅当9b2a=2ab，即2a=3b时等号成立.
所以，a+b2≥92a+2ba+b≥252，
当且仅当2a=3ba+b=92a+2b，即a=322b=2时，两个等号同时成立.
所以，a+b≥322+2=522.
【巩固练习1】对任意的正实数，满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】任意的正实数，满足，
由于为正实数，故由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
综上，的最小值为.
【巩固练习2】已知正实数、、满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值.，，，
由于、、均为正数，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值是.
近4年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2020年天津卷：第14题，5分
基本不等式及其应用是是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，题型以选择题、填空题为主，也可作为工具出现在解答题中，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题；同时要注意基本不等式在立体几何、平面解析几何等内容中的运用.
(1)了解基本不等式的推导过程
(2)会用基本不等式解决最值问题
(3)理解基本不等式在实际问题中的应用
2021年乙卷：第8题，5分
2022年I卷：第12题，5分
2023年I卷：第22题，12分
A．6
B．8
C．4
D．9
A．
B．
C．
D．