热点专题 2.3 幂函数与二次函数，方程与不等式（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题2-3 幂函数与二次函数，方程与不等式
模块一
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热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171360388" 【题型1】幂函数的定义及图像
\l "_Tc171360389" 【题型2】 由幂函数的单调性比较大小
\l "_Tc171360390" 【题型3】幂函数的图象与性质的综合应用
\l "_Tc171360391" 【题型4】三个“二次”关系的应用
\l "_Tc171360392" 【题型5】由一元二次不等式的解集求参数
\l "_Tc171360393" 【题型6】解含参一元二次不等式
\l "_Tc171360394" 【题型7】二次函数的图象、单调性与最值
\l "_Tc171360395" 【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法
\l "_Tc171360396" 【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法
\l "_Tc171360397" 【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解
\l "_Tc171360398" 【题型11】一元二次不等式能成立问题（不等式有解）
\l "_Tc171360399" 【题型12】一元二次方程根的分布
模块二
核心题型·举一反三
【题型1】幂函数的定义及图像
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
（多选题）（2024·新疆喀什·一模）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】是幂函数，则，解得或.
【巩固练习1】（2024·山东日照·二模）已知幂函数图象过点，则函数的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设幂函数的解析式为，由于函数过点，故，解得，该幂函数的解析式为；
故选：B
【巩固练习2】已知函数为幂函数，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意有，可得，其定义域为R，
且，则函数为奇函数，
所以.
【题型2】 由幂函数的单调性比较大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，，而，
所以a，b，c的大小关系为.
【巩固练习1】设，则大小关系是 .
【答案】
【解析】因为在单调增，
所以，即，
因为在单调减，
所以，即综上，.
【巩固练习2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数f(x)=(m−1)xn的图象过点(m,8)．设a=f20.3，b=f0.32，c=flg20.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．bC．a【分析】根据幂函数的定义求出函数f(x)解析式，再利用幂函数的单调性比较大小而得解.
【解析】因幂函数f(x)=m−1xn的图象过点m,8，则m−1=1，且mn=8，
于是得m=2，n=3，函数f(x)=x3，函数f(x)是R上的增函数，
而lg20.3<0<0.32<1<20.3，则有f(lg20.3)所以c【巩固练习3】（2024·河北衡水·三模）已知，，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，得或，
由，得，
由，得，
∴当，，同时成立时，取交集得
【题型3】幂函数的图象与性质的综合应用
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
已知幂函数fx=xmnm,n∈Z，下列能成为“fx是R上的偶函数”的充分条件的是（ ）
A．m=−3,n=1B．m=1,n=2
C．m=2,n=3D．m=1,n=3
【分析】根据幂函数的性质，结合充分条件的定义进行判断即可.
【解析】当m=−3,n=1时，fx=x−3=1x3，
因为函数fx=1x3的定义域−∞,0∪0,+∞，关于原点对称，且f−x=1−x3=−1x3=−fx，
所以fx=1x3为奇函数，不合题意，故A错误；
当m=1,n=2时，fx=x12=x，因为fx=x函数的定义域0,+∞，不关于原点对称，
所以fx=x为非奇非偶函数，不合题意，故B错误；
当m=2,n=3时，fx=x32=3x2，定义域为R，关于原点对称，且f−x=3−x2=3x2=fx，
所以fx=x32为偶函数，符合题意，故C正确；
当m=1,n=3时，fx=x13，定义域为R，关于原点对称，且f−x=−x13=−x13=−fx，
所以fx=x13为奇函数，不合题意，故D错误.
【巩固练习1】已知.若幂函数为奇函数，且在上递减，则 .
【答案】
【解析】因为幂函数在上递减，所以，
又幂函数为奇函数，可知为奇数，即.
【巩固练习2】已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④B．②③C．②④D．①②③
【答案】B
【解析】对于①：由幂函数的定义可知，解得，
将点代入函数得，解得，
所以，故①错误；
对于②：因为定义域为R，且，
所以为奇函数，故②正确；
对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确；
对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误，
综上可知，②③正确，①④错误.
【巩固练习3】（山东菏泽·三模）已知函数fx=x3+a−2x2+2x+b在−2c−1,c+3上为奇函数，则不等式f(2x+1)+fa+b+c>0的解集满足（ ）
A．−2,4B．−3,5C．−52,2D．−2,2
【分析】根据函数的奇偶性求出参数a、b、c的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【解析】因为函数fx=x3+a−2x2+2x+b在−2c−1,c+3上为奇函数,
所以−2c−1+c+3=0，解得c=2，又f−x=−fx，
即−x3+a−2x2−2x+b=−x3−a−2x2−2x−b，
所以2a−2x2+2b=0，解得2a−2=02b=0，解得a=2b=0，
所以fx=x3+2x，x∈−5,5，
由y=x3与y=2x在定义域−5,5上单调递增，所以fx在定义域−5,5上单调递增，
则不等式f(2x+1)+fa+b+c>0，即f2x+1+f4>0，等价于f2x+1>f−4，
所以2x+1>−4−5≤2x+1≤5，解得−52【题型4】三个“二次”关系的应用
二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式与的解集的关系，可归纳为：
若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。
知识点诠释：
（1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标；
（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；
（3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集．
（2020·山东·高考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（ ）
A．−2,1B．−∞,−2∪1,+∞C．−2,1D．−∞,−2∪1,+∞
【分析】本题可根据图像得出结果.
【解析】结合图像易知，不等式ax2+bx+c>0的解集−2,1
【巩固练习1】不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为的解集为，
所以方程的两根分别为和1，且，
则变形可得
故函数的图象开口向下，
且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合.故选：A
【巩固练习2】关于x的不等式的解集为，且，则a=（ ）
A． B． C．D．
【分析】看问题：求实数a的值．（属于求值问题）
想方法：寻找等量关系建立关于所求量的方程，利用方程思想求解，
看条件：的解集为，且，
定措施：由题意知是方程的两根，根据韦达定理及建关于a方程去求值。
【答案】A
【解析】因为关于x的不等式的解集为，所以，又，所以，
解得，因为，所以.
【题型5】由一元二次不等式的解集求参数
先判断开口方向，再结合图像，通过韦达定理列出参数相关的方程组
已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】D
【解析】因为关于x的一元二次不等式的解集为，
所以且方程的解为，
所以，所以，
则不等式，即为不等式，
则，解得，
所以不等式的解集为.故选：D.
（多选题）（2024·高一·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．
【答案】AC
【解析】关于的不等式的解集为，
所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
且方程的两根为、4，
由韦达定理得，解得.
对于B，，由于，所以，
所以不等式的解集为，故B不正确；
对于C，因为，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D，，故D不正确.
【巩固练习1】（多选题）（2024·高一·湖南株洲·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【答案】ABD
【解析】因为不等式的解集为或，则，是方程的两根，则，解得，故A正确，C错误；
因为，故B正确；
不等式可以化简为，解得，故D正确；
故选：ABD
【巩固练习2】（多选题）（2024·高一·山东聊城·期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】因为不等式的解集是，
可得，且，所以，所以，
所以A、C正确，D错误．
因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下，
所以当时，，所以B正确．
【题型6】解含参一元二次不等式
对于含参数的一元二次不等式，一般不会单独考察，往往和导数研究函数的单调性一起考察
解法：若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏
解关于的不等式：.
【解析】不等式，即，
当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为；
当时，解得或，即不等式的解集为或；
当时，解得或，即不等式的解集为或；
综上可得：当时不等式的解集为，
当时不等式的解集为或，
当时不等式的解集为或.
解关于x的不等式.
【答案】答案见解析
【解析】由题意可知，可化为
（1）当时，不等式化为，解得，
（2）当时，不等式化为，解得，
（3）当时，不等式化为，解得或，
（4）当时，不等式化为，解得，
（5）当时，不等式化为，解得或，
综上所述，时，不等式的解集为
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为;
【巩固练习1】解不等式
【解析】即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【巩固练习2】当时，解关于的不等式.
【解析】当时，代入不等式可得，解得；
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为，
当时，化简不等式可得即，
由得不等式的解为或，
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
【题型7】二次函数的图象、单调性与最值
解决二次函数的图象、单调性与最值常用的方法是数形结合.
已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
因为函数在区间上是增函数，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
【巩固练习1】函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，令，即或，
根据二次函数性质知：在上递减，在上递增
又在定义域上递增，故的单调递增区间为.
【巩固练习2】函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，
则或或或
解得或，即实数m得取值范围为.
【巩固练习3】若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，作出函数的大致图象，
由于函数在区间上有最大值，
结合图象，由题意可得，解得，所以实数a的取值范围是
【题型8】含参一元二次不等式恒成立问题（1）：判别式法
一元二次不等式在R上的恒成立问题
与恒成立问题有关的词有：“任意”、“全体实数”、“都”、“一切实数”等.
方法是通过二次函数的图像来理解.
1.若ax2+bx+c>0恒成立，则a>0，Δ<0；
2.若ax2+bx+c<0恒成立，则a<0，Δ<0；
3.若ax2+bx+c≠0恒成立，则Δ<0.
（多选），关于的不等式恒成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由，关于的不等式恒成立得，求得的取值范围，然后根据充分条件与必要条件的概念判断即可得出答案．
【详解】，关于的不等式恒成立，则，解得．
对于A，因为，符合题意，故A正确；
对于B，是充要条件，故B错误；
对于C，因为，符合题意，故C正确；
对于D，因为当时，不一定成立，不符合题意，故D错误
【巩固练习1】若关于x的不等式对恒成立，则a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据含参一元不等式恒成立对分类讨论即可得a的取值集合．
【详解】当时，不等式化为对恒成立；
当，要使得不等式对恒成立，则，解得
综上，a的取值集合为
【巩固练习2】已知函数，若对任意实数x，函数值恒小于0，则a的取值范围是________
【答案】
【分析】根据给定条件，分段讨论，再结合二次函数的图象性质列式求解作答.
【详解】当时，恒成立，则；
当时，依题意，二次函数的图象总在x轴下方，
于是，解得，则
【题型9】含参一元二次不等式恒成立问题（2）：参变分离法
含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题
参变分离法：如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量x的关系,
，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于
当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】参变分离得，再利用基本不等式求的最小值即可得答案．
【详解】关于x的不等式恒成立
即，时恒成立，
，
又，
当且仅当，即时等号成立，．
【巩固练习1】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解.
【详解】因为不等式在上有解，
所以不等式在上有解，
令，则，
所以，
所以实数的取值范围是
【巩固练习2】若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为________；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】,
【解析】首先分离参数可得，然后结合对勾函数的性质求得，从而可确定的取值范围．
【详解】（1）因为不等式，所以在区间上恒成立，，当x=1时取等号，故
（2）不等式对一切恒成立，
由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增，
且当时，，所以
故实数的取值范围是．
【题型10】含参一元二次不等式恒成立问题（3）：变更主元法解
变更主元：在有几个变量的问题中,常常有一个变量处于主要地位,我们称之为主元。在解含有参数的不等式时,有时若能换一个角度,变参数为主元,则可以得到意想不到的效果。
已知时，不等式恒成立，则x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意构造函数关于a的函数，则可得，从而可求出x的取值范围．
【详解】由题意，因为当，不等式恒成立，
可转化为关于a的函数，
则对任意恒成立，
则满足，
解得，
即x的取值范围为
【巩固练习1】若不等式对任意恒成立，实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】把题意转化为，设，由一次函数的单调性列不等式组，即可求解．
【详解】可转化为．
设，则是关于m的一次型函数．
要使恒成立，只需，解得．
【巩固练习2】函数，若恒成立，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】采用变换主元的策略，看作关于的一次函数，利用端点函数值不小于0建立不等式组求解即可．
【详解】令，当时，恒成立，
只需 即 解得或．
所以实数x的取值范围是．
故答案为：
【题型11】一元二次不等式能成立问题（不等式有解）
一元二次不等式有解问题一般可以结合函数图像通过分析开口方向以及判别式正负来确定参数范围
已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.
【详解】若“，”是真命题，
即判别式，解得：，
所以命题“，”是假命题，
则实数的取值范围为：.
【巩固练习1】若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】将不等式在上有解，转化为不等式在上有解求解.
【详解】因为不等式在上有解，
所以不等式在上有解，
令，则，
所以，所以实数的取值范围是
【巩固练习2】已知命题：“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分离参数法得，只需求出不等式右边的最大值即可．
【详解】，，
设，对称轴为，在上单调递增，
故，即，
，，使得成立，
，，，故
【题型12】一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布问题，原理简单，难点在于要有清晰的分类讨论和数形结合的思想.一般考虑以下几方面：
开口（若不能判定，则需分类讨论，特别要注意二次项系数有可能等于零的情况 ）.
判定给定点处函数值的正负.（开口向上的二次函数若存在函数值小于零，则△＞0 恒成立）
判定△符号.
判定对称轴的位置.
总之，耐心去分类讨论（分类讨论不容易失误，一步到位往往会漏解或多解），借助图象去分析就可以得到结论，无需记忆.
（1）二元二次方程在上根的分布情况
①方程有两个不等的实数根;
②方程有两个相等的实数根;
③方程没有实数根
（2）一元二次方程的根的“0”分布
①方程有两个不等正根；
②方程有两个不等负根
③方程有一正根和一负根,设两根为
（3）一元二次方程的根的“”分布
①两根都小于；
②两根都大于
③一根小于，一根大于
（4）一元二次方程根在区间的分布
①两根都在内
②两根都在外
③两根仅有一根在内
④一根在内,另一根在内
类型一 ：根的“0”分布
关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围．
【解析】①当时，解得，满足条件；
②当时，显然方程没有零根，
由，得
设方程的两个实数根为
若方程有两异号实根，则 ，解得；
若方程有两个负的实根，则，解得 ．
综上，若方程至少有一个负的实根，则．
【巩固练习】已知二次方程2m+1x2−2mx+m−1=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
解析
方法一：
当2m+1>0时，若要满足题意，必须f0<0；
当2m+1<0时，若要满足题意，必须f0>0；
即2m+1f0<0⇔2m+1(m−1)<0，解得−12方法二：(韦达定理)
设x1,x2是2m+1x2−2mx+m−1=0的两个根，若要满足题意等价于
∆=4m2−42m+1m−1>0x1x2=m−12m+1<0，解得−12类型二 ：两根与k的大小比较
已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 .
【答案】
【解析】设，
因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【巩固练习】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足，
而函数图象开口向上，因此，则，解得，
所以实数a的取值范围为.
类型三 ：根在区间上的分布
已知关于的方程的两个实根一个小于，另一个大于，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知条件及方程的根与函数零点的等价关系，再结合二次函数的性质即可求解．
【详解】显然，关于的方程对应的二次函数
当时，二次函数的图象开口向上，
因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于，
所以，即，解得；
②当时，二次函数的图象开口向下，
因为的两个实根一个小于，另一个大于等价于二次函的图象与轴的两个零点一个小于0，另一个大于，
所以，即，解得；
综上所述，实数的范围是．
【巩固练习1】方程x2−2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内，则实数a的取值范围为( )
A．153C．−1答案 A
解析 令f(x)=x2−2ax+1
∵方程x2−2ax+1=0的两根分别在(0,1)与(1,3)内，
∴f(0)>0f(1)<0f(3)>0，∴1>02−2a<010−6a>0，
∴1【巩固练习2】关于的方程满足下列条件，求的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在内，另一个根在内；
(4)一个根小于，一个根大于；
(5)两个根都在内．
【解析】（1）令，设的两个根为.
由题得，解得.
（2）若方程的一个根大于，一个根小于，则，解得
（3）若方程一个根在内，另一个根在内，则，解得
（4）若方程的一个根小于，一个根大于，
则，解得
（5）若方程的两个根都在内，则，解得
近4年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2020年天津卷第3题，5分
从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低, 常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现.
（1）幂函数的定义、图像与性质
（2）三个二次之间的关系
2020年江苏卷第7题，5分
2024年天津卷：第2题，5分
2024年上海卷：第3题，5分