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热点专题 4.1 三角函数概念与诱导公式【10类题型】（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）
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这是一份热点专题 4.1 三角函数概念与诱导公式【10类题型】（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用），文件包含热点专题41三角函数概念与诱导公式10类题型原卷版docx、热点专题41三角函数概念与诱导公式10类题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题4-1 三角函数概念与诱导公式
模块一
总览
热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc177312286" 【题型1】等分角的象限问题 PAGEREF _Tc177312286 \h 2
\l "_Tc177312287" 【题型2】 三角函数的定义 PAGEREF _Tc177312287 \h 4
\l "_Tc177312288" 【题型3】对sinα，csα，tanα的知一求二问题 PAGEREF _Tc177312288 \h 6
\l "_Tc177312289" 【题型4】弦切互化求值 PAGEREF _Tc177312289 \h 8
\l "_Tc177312290" 【题型5】sinα±csα与sinαcsα的关系 PAGEREF _Tc177312290 \h 10
\l "_Tc177312291" 【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 PAGEREF _Tc177312291 \h 12
\l "_Tc177312292" 【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题） PAGEREF _Tc177312292 \h 14
\l "_Tc177312293" 【题型8】扇形弧长与面积的计算 PAGEREF _Tc177312293 \h 16
\l "_Tc177312294" 【题型9】割圆术 PAGEREF _Tc177312294 \h 20
\l "_Tc177312295" 【题型10】象限与三角函数正负的辨析 PAGEREF _Tc177312295 \h 23
模块二
核心题型·举一反三
【题型1】等分角的象限问题
如何确定角终边所在象限
法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。
法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。
（多选）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
【解析】是第三象限的角，则，，
所以，；
当，，在第一象限；
当，，在第三象限；
当，，在第四象限；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD
已知是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．
C．D．是第三或第四象限角
【答案】C
【解析】∵是第二象限角，
∴，，即，，
∴是第一象限或第三象限角，故A错误；
由是第一象限或第三象限角，或，故B错误；
∵是第二象限角，
∴，，
∴，，
∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误.
故选：C．
【巩固练习1】（多选）如果是第四象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】BD
【解析】由已知得，，所以，，
当为偶数时，在第四象限，当为奇数时，在第二象限，即在第二或第四象限．故选：BD．
【巩固练习2】已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因为，，
所以为第二象限角，即，
所以，
则的终边所在象限为所在象限，
即的终边在第一、二、四象限.
【巩固练习3】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在( )
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当时，，终边位于第一象限
当时，，终边位于第二象限
当时，，终边位于轴的非正半轴上
当时，，终边位于第一象限
综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上
【题型2】 三角函数的定义
一、任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
2、已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。
3、已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值
【注意】不要忽略角的终边在坐标轴上的情况
已知为角α终边上一点，则= ．
【答案】/0.2
【解析】为角α终边上一点，
，
则，，
.
（2024·山东青岛·一模）已知角终边上有一点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为
即，所以，所以
【巩固练习1】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，
由三角函数的定义得.
【巩固练习2】如果角的终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为角的终边在直线上，所以.
所以.故选：B.
【巩固练习3】在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】BC
【解析】由题设，故，整理得，
所以或.故选：BC
【巩固练习4】已知角的终边经过点，则的值不可能是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【解析】由定义，，
当，合题意；
当，化简得，由于横坐标，角的终边在一、四象限，所以．
【题型3】对sinα，csα，tanα的知一求二问题
1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cs2α＝1求解
2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cs α，sin α·cs α建立联系，注意tan α＝eq \f(sin α,cs α)的灵活应用
3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cs α或cs α＝eq \f(sin α,tan α)，然后利用平方关系求解
若sin α＝－，则tan α＝ .
【答案】或
【解析】因为sin α＝－<0，所以α为第三象限角或第四象限角，
当α为第三象限角时，cs α＝－＝－，因此tan α＝＝.
当α为第四象限角时，cs α＝＝，因此tan α＝＝－.
故答案为：或－
已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，则，结合，
解得，则
【巩固练习1】已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵且，∴，故选：B.
【巩固练习2】若，,则 .
【答案】
【解析】因为，则，，
又因为，则，
且，解得或（舍去）,
所以.
【巩固练习3】（2023年全国甲卷真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
【题型4】弦切互化求值
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
（1）sin α，cs α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cs α的齐次分式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(如\f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)))的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
即，即，
显然，所以，则，
又，所以，所以.
若，则 .
【答案】
【解析】由已知，
故答案为：.
已知角θ的大小如图所示，则＝（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义可得进而又和差角公式得，又二倍角和齐次式即可求解.
【详解】由图可知
所以，
则
【巩固练习1】已知，则 .
【答案】
【解析】因为，
所以
.
【巩固练习2】已知，则 ．
【答案】
【解析】,
故答案为：.
【巩固练习3】已知，则的值是 ．
【答案】5
【解析】因为，
所以
【题型5】sinα±csα与sinαcsα的关系
对于，，这三个式子，知一可求二：
（多选题）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由，得，
所以，故选项A正确；
因为，，所以，，
又因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
由，，所以，故选项D错误
已知为第三象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，两边平方得，
即，又因为为第三象限角，且，
所以，，
所以，所以，
则．
故．故选：D．
【巩固练习1】已知，A为第四象限角，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
可得，
.
.
又 A为第四象限角，
又
所以，.所以.答案：C.
【巩固练习2】（多选题）已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】对于选项A，由两边平方得：，故得，即A项正确；
对于选项B，由，可得：故，
由可得：，故B项错误；
对于选项C，，故C项错误；
对于选项D，由可解得：故得：.故D项正确.
【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数
一、诱导公式
二、把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
eq \x(\a\al(任意负角,的三角函,数))eq \(――――――→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式)),\s\d8(三或一))eq \x(\a\al(任意正角,的三角函,数))eq \x(\a\al(0～2π的,角的三角,函数))eq \(――――――――→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式二)),\s\d8(或四或五))eq \x(\a\al(锐角三,角函数))
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
.
同理，，
所以点P位于第一象限．故选：A．
【巩固练习1】已知为第三象限角，= .
【答案】
【解析】,故答案为：.
【巩固练习2】已知，且，则 ＝ .
【答案】
【解析】∵，.
又，，，
，
原式.故答案为：.
【巩固练习3】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1），，
，，则．
（2）原式．
【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题）
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3） 等可利用诱导公式把 的三角函数化
已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
已知，则 。
【答案】
【解析】
【巩固练习1】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由可得
【巩固练习2】若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以.
【巩固练习3】已知，则= 。
【答案】
【解析】由题意，所以，
所以
．
【题型8】扇形弧长与面积的计算
一、扇形弧长与面积的基本公式
已知扇形的半径为R，圆心角为
弧长公式：
面积公式：
二、应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
（2024·四川南充·三模）如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形，在圆O内任取一点，该点落在扇形内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的半径与扇形半径的关系及扇形的面积公式，由几何概型求解即可.
【详解】设圆的半径为，过作于点，如图，
则扇形的半径,
所以扇形的面积，
圆的面积，
由几何概型可得：.
（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】D
【分析】设母线长为，根据题意得到，即可求解．
【详解】设母线长为，由题意，可得，解得，即圆锥的母线长为．
建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．
【答案】
【解析】设圆心角为，则，
所以，解得，所以，
所以此扇环形砖雕的面积为
.
若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，即，
所以扇形面积，
所以当时，取得最大值为，此时，
所以圆心角为（弧度）.
【巩固练习1】已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大．
【答案】
【解析】设扇形的半径为，弧长为，
由题意，，
扇形的面积为
，所以当时，
扇形面积取最大值，此时，
所以扇形的圆心角时，扇形面积最大.
【巩固练习2】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
【巩固练习3】下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知，．且该扇环的面积为，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为 .
【答案】
【解析】如图，设，，，
由题意可知，，解得，，
则，将该扇面作为侧面围成一圆台，
则圆台上、下底面的半径分别为1和2，
所以其高为，
故该圆台的体积为.
【题型9】割圆术
割圆术其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、正二十四边形等，直至边数无法再增，此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。
在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为，底边约为，
由题意得
我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于正n边形，其圆心角为，面积为，对于正边形，其圆心角为，
面积为，由此可得，.
【巩固练习1】我国南朝的数学家祖冲之发展了刘徽的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长越来越接近圆的周长），在公元5世纪又进一步求得圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，使中国对圆周率的计算在世界上领先一千多年．依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）
A．2.9B．3C．3.1D．3.14
【答案】B
【分析】设半径为的圆内接正边形的周长为,圆的直径为，则，然后即可解决问题.
【详解】由题意时，.
【巩固练习2】我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，B．时，
C．时，D．时，
【答案】A
【分析】求出正十二边形的周长，可得出，即可得解.
【详解】设圆的内接正十二边形被分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，
作于点，则为的中点，且，
因为，在中，，即，
所以，，则，
所以，正十二边形的周长为，所以，.
【题型10】象限与三角函数正负的辨析
首先明确各象限坐标符号，再根据三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，判断在各象限中这些函数值的正负。关键是理解函数定义与坐标轴关系。
在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得、，，
对A：当时，，则，，
此时，故A错误；
对B：当时，，故B错误；
对C、D：，由，
故，则，即，
故C正确，D错误.
【巩固练习1】若是第二象限角，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】若α是第二象限角，则，故A错误；
为第一、三象限角，则，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
【巩固练习2】已知，且，则为（ ）
A．第一或二象限角B．第二或三象限角
C．第一或三象限角D．第二或四象限角
【答案】C
【解析】由，得，则且，又，
因此且，是第二象限角，即，
则，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，
所以是第一或三象限角.
【巩固练习3】已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则即，
而都是第二象限角，故，故，
故“”是“”的充分条件.
若，因为都是第二象限角，故，
所以即，
故“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的充要条件.
近5年考情
考题示例
考点分析
考点要求
2023年甲卷，第14题,5分
三角函数概念与诱导公式考点分析：掌握正弦、余弦、正切等基本定义，理解其在单位圆上的几何意义。诱导公式是重点，需熟练记忆并应用，解决复杂角度的三角函数值问题。
（1）三角函数基本概念
（2）任意角的三角函数
（3）同角三角函数的基本关系
（4）诱导公式
2022年浙江卷第13题,5分
2021年甲卷第8题,5分
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题4-1 三角函数概念与诱导公式
模块一
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热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc177312286" 【题型1】等分角的象限问题 PAGEREF _Tc177312286 \h 2
\l "_Tc177312287" 【题型2】 三角函数的定义 PAGEREF _Tc177312287 \h 4
\l "_Tc177312288" 【题型3】对sinα，csα，tanα的知一求二问题 PAGEREF _Tc177312288 \h 6
\l "_Tc177312289" 【题型4】弦切互化求值 PAGEREF _Tc177312289 \h 8
\l "_Tc177312290" 【题型5】sinα±csα与sinαcsα的关系 PAGEREF _Tc177312290 \h 10
\l "_Tc177312291" 【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 PAGEREF _Tc177312291 \h 12
\l "_Tc177312292" 【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题） PAGEREF _Tc177312292 \h 14
\l "_Tc177312293" 【题型8】扇形弧长与面积的计算 PAGEREF _Tc177312293 \h 16
\l "_Tc177312294" 【题型9】割圆术 PAGEREF _Tc177312294 \h 20
\l "_Tc177312295" 【题型10】象限与三角函数正负的辨析 PAGEREF _Tc177312295 \h 23
模块二
核心题型·举一反三
【题型1】等分角的象限问题
如何确定角终边所在象限
法1分类讨论法：利用已知条件写出的范围（用表示），由此确定的范围，在对进行分类讨论，从而确定所在象限。
法2几何法：先把各象限分为等份，再从轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四……则原来是第几象限的角，标号为几的区域即角终边所在的区域。
（多选）如果α是第三象限的角，那么可能是下列哪个象限的角（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ACD
【解析】是第三象限的角，则，，
所以，；
当，，在第一象限；
当，，在第三象限；
当，，在第四象限；
所以可以是第一、第三、或第四象限角．故选：ACD
已知是第二象限角，则（ ）
A．是第一象限角B．
C．D．是第三或第四象限角
【答案】C
【解析】∵是第二象限角，
∴，，即，，
∴是第一象限或第三象限角，故A错误；
由是第一象限或第三象限角，或，故B错误；
∵是第二象限角，
∴，，
∴，，
∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误.
故选：C．
【巩固练习1】（多选）如果是第四象限角，那么可能是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】BD
【解析】由已知得，，所以，，
当为偶数时，在第四象限，当为奇数时，在第二象限，即在第二或第四象限．故选：BD．
【巩固练习2】已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
【答案】D
【解析】因为，，
所以为第二象限角，即，
所以，
则的终边所在象限为所在象限，
即的终边在第一、二、四象限.
【巩固练习3】（2024·高三·湖北黄冈·期中）若角满足＝(k∈Z)，则的终边一定在( )
A．第一象限或第二象限或第三象限
B．第一象限或第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D．第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【答案】D
【解析】当时，，终边位于第一象限
当时，，终边位于第二象限
当时，，终边位于轴的非正半轴上
当时，，终边位于第一象限
综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上
【题型2】 三角函数的定义
一、任意角的三角函数
（1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，．
（2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，
二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法
1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。
2、已知角的一个三角函数值和终边上一点的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值
方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题。
3、已知角的终边所在的直线方程（），求角的三角函数值
方法：先设出终边上一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意的符号，对进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值
【注意】不要忽略角的终边在坐标轴上的情况
已知为角α终边上一点，则= ．
【答案】/0.2
【解析】为角α终边上一点，
，
则，，
.
（2024·山东青岛·一模）已知角终边上有一点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为
即，所以，所以
【巩固练习1】（2024·江西·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，
由三角函数的定义得.
【巩固练习2】如果角的终边在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为角的终边在直线上，所以.
所以.故选：B.
【巩固练习3】在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则的值可以是（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】BC
【解析】由题设，故，整理得，
所以或.故选：BC
【巩固练习4】已知角的终边经过点，则的值不可能是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【解析】由定义，，
当，合题意；
当，化简得，由于横坐标，角的终边在一、四象限，所以．
【题型3】对sinα，csα，tanα的知一求二问题
1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cs2α＝1求解
2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sin α±cs α，sin α·cs α建立联系，注意tan α＝eq \f(sin α,cs α)的灵活应用
3、知切求弦：先利用商数关系得出sin α＝tan α·cs α或cs α＝eq \f(sin α,tan α)，然后利用平方关系求解
若sin α＝－，则tan α＝ .
【答案】或
【解析】因为sin α＝－<0，所以α为第三象限角或第四象限角，
当α为第三象限角时，cs α＝－＝－，因此tan α＝＝.
当α为第四象限角时，cs α＝＝，因此tan α＝＝－.
故答案为：或－
已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，则，结合，
解得，则
【巩固练习1】已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵且，∴，故选：B.
【巩固练习2】若，,则 .
【答案】
【解析】因为，则，，
又因为，则，
且，解得或（舍去）,
所以.
【巩固练习3】（2023年全国甲卷真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
【题型4】弦切互化求值
1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
（1）sin α，cs α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcs α＋ccs2α)的问题常采用“切”代换法求解；
（2）sin α，cs α的齐次分式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(如\f(asin α＋bcs α,csin α＋dcs α)))的问题常采用分式的基本性质进行变形．
2、切化弦：利用公式tan α＝eq \f(sin α,cs α)，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
即，即，
显然，所以，则，
又，所以，所以.
若，则 .
【答案】
【解析】由已知，
故答案为：.
已知角θ的大小如图所示，则＝（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义可得进而又和差角公式得，又二倍角和齐次式即可求解.
【详解】由图可知
所以，
则
【巩固练习1】已知，则 .
【答案】
【解析】因为，
所以
.
【巩固练习2】已知，则 ．
【答案】
【解析】,
故答案为：.
【巩固练习3】已知，则的值是 ．
【答案】5
【解析】因为，
所以
【题型5】sinα±csα与sinαcsα的关系
对于，，这三个式子，知一可求二：
（多选题）已知，，则下列选项中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由，得，
所以，故选项A正确；
因为，，所以，，
又因为，所以，故选项B正确；
因为，故选项C错误；
由，，所以，故选项D错误
已知为第三象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，两边平方得，
即，又因为为第三象限角，且，
所以，，
所以，所以，
则．
故．故选：D．
【巩固练习1】已知，A为第四象限角，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
可得，
.
.
又 A为第四象限角，
又
所以，.所以.答案：C.
【巩固练习2】（多选题）已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】对于选项A，由两边平方得：，故得，即A项正确；
对于选项B，由，可得：故，
由可得：，故B项错误；
对于选项C，，故C项错误；
对于选项D，由可解得：故得：.故D项正确.
【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数
一、诱导公式
二、把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
eq \x(\a\al(任意负角,的三角函,数))eq \(――――――→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式)),\s\d8(三或一))eq \x(\a\al(任意正角,的三角函,数))eq \x(\a\al(0～2π的,角的三角,函数))eq \(――――――――→,\s\up9(\a\vs4\al(利用诱导公式二)),\s\d8(或四或五))eq \x(\a\al(锐角三,角函数))
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】
.
同理，，
所以点P位于第一象限．故选：A．
【巩固练习1】已知为第三象限角，= .
【答案】
【解析】,故答案为：.
【巩固练习2】已知，且，则 ＝ .
【答案】
【解析】∵，.
又，，，
，
原式.故答案为：.
【巩固练习3】已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解析】（1），，
，，则．
（2）原式．
【题型7】诱导求值与变形（给值求值问题）
（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与 整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．
（2）通过 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．
（3） 等可利用诱导公式把 的三角函数化
已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】.
已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
已知，则 。
【答案】
【解析】
【巩固练习1】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由可得
【巩固练习2】若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以.
【巩固练习3】已知，则= 。
【答案】
【解析】由题意，所以，
所以
．
【题型8】扇形弧长与面积的计算
一、扇形弧长与面积的基本公式
已知扇形的半径为R，圆心角为
弧长公式：
面积公式：
二、应用弧度制解决问题的方法
（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
（2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
（3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
（2024·四川南充·三模）如图，圆O内接一个圆心角为60°的扇形，在圆O内任取一点，该点落在扇形内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的半径与扇形半径的关系及扇形的面积公式，由几何概型求解即可.
【详解】设圆的半径为，过作于点，如图，
则扇形的半径,
所以扇形的面积，
圆的面积，
由几何概型可得：.
（2024·辽宁抚顺·三模）已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的母线长为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】D
【分析】设母线长为，根据题意得到，即可求解．
【详解】设母线长为，由题意，可得，解得，即圆锥的母线长为．
建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．
【答案】
【解析】设圆心角为，则，
所以，解得，所以，
所以此扇环形砖雕的面积为
.
若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是 .
【答案】2
【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，即，
所以扇形面积，
所以当时，取得最大值为，此时，
所以圆心角为（弧度）.
【巩固练习1】已知扇形的周长为，则当扇形的圆心角 扇形面积最大．
【答案】
【解析】设扇形的半径为，弧长为，
由题意，，
扇形的面积为
，所以当时，
扇形面积取最大值，此时，
所以扇形的圆心角时，扇形面积最大.
【巩固练习2】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
【巩固练习3】下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环ABCD．已知，．且该扇环的面积为，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆台的体积为 .
【答案】
【解析】如图，设，，，
由题意可知，，解得，，
则，将该扇面作为侧面围成一圆台，
则圆台上、下底面的半径分别为1和2，
所以其高为，
故该圆台的体积为.
【题型9】割圆术
割圆术其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、正二十四边形等，直至边数无法再增，此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。
在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为，底边约为，
由题意得
我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n边形与圆内接正边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于正n边形，其圆心角为，面积为，对于正边形，其圆心角为，
面积为，由此可得，.
【巩固练习1】我国南朝的数学家祖冲之发展了刘徽的“割圆术”（即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长越来越接近圆的周长），在公元5世纪又进一步求得圆周率的值在3.1415926和3.1415927之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，使中国对圆周率的计算在世界上领先一千多年．依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是（ ）
A．2.9B．3C．3.1D．3.14
【答案】B
【分析】设半径为的圆内接正边形的周长为,圆的直径为，则，然后即可解决问题.
【详解】由题意时，.
【巩固练习2】我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正边形随着边数的无限增大，圆的内接正边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率的近似值．如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即．运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，B．时，
C．时，D．时，
【答案】A
【分析】求出正十二边形的周长，可得出，即可得解.
【详解】设圆的内接正十二边形被分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，
作于点，则为的中点，且，
因为，在中，，即，
所以，，则，
所以，正十二边形的周长为，所以，.
【题型10】象限与三角函数正负的辨析
首先明确各象限坐标符号，再根据三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，判断在各象限中这些函数值的正负。关键是理解函数定义与坐标轴关系。
在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得、，，
对A：当时，，则，，
此时，故A错误；
对B：当时，，故B错误；
对C、D：，由，
故，则，即，
故C正确，D错误.
【巩固练习1】若是第二象限角，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】若α是第二象限角，则，故A错误；
为第一、三象限角，则，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
【巩固练习2】已知，且，则为（ ）
A．第一或二象限角B．第二或三象限角
C．第一或三象限角D．第二或四象限角
【答案】C
【解析】由，得，则且，又，
因此且，是第二象限角，即，
则，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，
所以是第一或三象限角.
【巩固练习3】已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则即，
而都是第二象限角，故，故，
故“”是“”的充分条件.
若，因为都是第二象限角，故，
所以即，
故“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的充要条件.
近5年考情
考题示例
考点分析
考点要求
2023年甲卷，第14题,5分
三角函数概念与诱导公式考点分析：掌握正弦、余弦、正切等基本定义，理解其在单位圆上的几何意义。诱导公式是重点，需熟练记忆并应用，解决复杂角度的三角函数值问题。
（1）三角函数基本概念
（2）任意角的三角函数
（3）同角三角函数的基本关系
（4）诱导公式
2022年浙江卷第13题,5分
2021年甲卷第8题,5分
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
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