重难点专题 2.1 函数与方程10类常考压轴小题（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

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二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
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六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题2-1 函数与方程10类常考压轴小题
模块一
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热点题型解读（目录）
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171891404" 【题型1】分段函数零点个数问题
\l "_Tc171891405" 【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系）
\l "_Tc171891406" 【题型3】嵌套（复合）函数求值问题
\l "_Tc171891407" 【题型4】反函数对称性的应用
\l "_Tc171891408" 【题型5】不等式恒成立与能成立问题
\l "_Tc171891409" 【题型6】存在，任意双变量问题
\l "_Tc171891410" 【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题
\l "_Tc171891411" 【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题
\l "_Tc171891412" 【题型9】2个函数存在对称点问题
\l "_Tc171891413" 【题型10】隐零点问题初步
模块二
核心题型·举一反三
【题型1】分段函数零点个数问题
先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，首先要准确绘制分段函数的图像，确保每个分段的图像都正确无误。在绘制过程中，特别注意分段连接点处的图像变化
已知函数，若实数，则函数的零点个数为（ ）
A．0或1B．1或2C．1或3D．2或3
【答案】D
【解析】函数的零点个数即函数与的函数图象交点个数问题，
画出的图象与，的图象，如下：
故函数的零点个数为2或3.
（2024·高三·北京通州·期末）已知函数
（1）若，则的零点是 .
（2）若无零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】（1）若，则 ，令可得 ，即的零点是
（2）若无零点,则如图所示
当此时，应有 ，
当 如图所示，
此时应有 ，综上可得 .
【巩固练习1】（2024·北京西城·一模）设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】画出函数的图象如下图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是.
【巩固练习2】已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，
当时，在上单调递减，；
当时，在上单调递增，；
当时，在上单调递增，；
由与的图象有三个交点，结合函数图象可得，
【巩固练习3】（23-24高三上·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作出的大致图象，根据题意转化为与的图象有4个不同交点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，作出的大致图象，如图所示，
要使得，
即函数与的图象有4个不同交点，则，
所以实数的取值范围是．
故选：A.
【巩固练习4】（2024·山西·模拟预测）已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数当时，方程．可得．解得，函数有一个零点，
则当时，函数有两个零点，即，在时有两个解．
设，其开口向上，对称轴为：在上单调递减，在上单调递增，所以，且，解得
【巩固练习5】已知函数， 令，则下列说法正确的（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．当时，可能有3个零点
C．当时，的所有零点之和为
D．当时，有1个零点
【答案】BD
【解析】的图像如下：
由图像可知，的增区间为，
故A错误
当时，如图
当时，与有3个交点，
当时，与有2个交点，
当时，与有1个交点，
所以当时与有3个交点或2个交点或1个交点，
即有3个零点或2个零点或1个零点，
故B正确；
当时，由可得，
由可得
所以的所有零点之和为，
故C错误；
当时，由B选项可知：
与有1个交点，
即有1个零点，
故D正确
【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系）
解决分段函数等高线（方程根之间的数量关系）问题，首先要明确分段函数的定义和各分段上的表达式。接着，对于每个分段，分别令函数值等于某个常数，以构造等高线方程。然后，解这些等高线方程，找出它们的根，并关注这些根之间的数量关系。特别地，要注意分段连接点处等高线的行为，以及可能存在的多重根情况。最后，综合所有分段的信息，得出等高线方程根之间的数量关系。在解题过程中，数形结合的方法往往能提供直观的帮助。
已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示，
易知，所以，
则，
而由二次函数对称性可知，，
所以，
根据对勾函数的性质可知，，
所以.
（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
方程的根是直线与函数图象交点的横坐标，
方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，，，AD正确；
显然，而，则，即，，
，B正确；
显然，，C错误.
（23-24高三上·广东·阶段练习）设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为 ；若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为 .
【答案】 6
【分析】由函数解析式知函数图象关于直线对称，作出图象，可知，，，即可求得，同时把用表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．
【详解】，因此的图象关于直线对称，作出函数的图象，如图，
作直线，
若是三个根，则，，，
若是四个根，由图可知，，，所以，
，因此，
，
令，则，
对函数，设，，
因为，所以，，所以，即，
即是增函数，所以，
因素，在时递增，
所以．
故答案为：6；．
【巩固练习1】（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】数形结合，把四个不同的根用表示，借助导数讨论函数的最值解决问题.
【详解】图，

由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，
且，由题：，，
设则
，令，
故在递增，在递减，.
【巩固练习2】（23-24高三上·甘肃平凉·阶段练习）（多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】BCD
【分析】根据分段函数的表达式作出函数图象，由二次函数的对称性即可判断A，根据对数的运算性质可判断B，结合函数图象即可求解CD.
【详解】解：由函数，作出其函数图象如图所示，
由图可知，；
当时，令，或，
所以；
由，得，
即，
所以，由图可知
【巩固练习3】已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
所以如下图示，要使恰有四个不同的实数解，则，
不妨设，由图知：，且，即，
令，可得或，令，可得或，
所以，而在上递减，故，
综上，.
【巩固练习3】（23-24高三上·湖北·开学考试）（多选）设函数，若，且，则的值可以是（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】BC
【分析】作出函数的图象，结合图象可得，由得，从而得，再根据可求出结果.
【详解】作出函数的图象，如图所示，

设，
由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，
交点的横坐标分别为，且，
当时，令，解得或.
由图可知，,，
由，可得，所以，
则有，所以.
令，
易知在上为减函数，且，
故，且.
【巩固练习4】已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据函数的图象特征可得，再由对数的运算性质得，然后代入可求得结果.
【详解】的图象如图所示，
因为的图象关于直线对称，且函数有四个不同的零点，， ，
所以，，
所以，
因为，
所以，得，
即实数的取值范围为，
故答案为：
【巩固练习5】（22-23高三上·四川内江·阶段练习）设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由时，，得到的图象关于对称，不妨设，画出图象，易得，，，代入求解.
【详解】解：当时，，则的图象关于对称，
不妨设，
如图所示：

由图象知：，，
所以，，，，
所以，
，
，
令，
则.
【题型3】嵌套（复合）函数求值问题
嵌套（复合）函数求值问题的解题思路主要在于分层求解和逐步代入。首先，需要明确嵌套函数的构成，即确定内层函数和外层函数。其次，根据题目给定的自变量值，先求解内层函数的值，这个值将作为外层函数的输入。接着，将内层函数的输出值代入外层函数，进行求解，得到最终的函数值。在求解过程中，需要注意函数的定义域，确保每一步的求解都在函数的定义域内进行。最后，根据求解结果，给出问题的答案。
已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有， 则的值为________.
【答案】
【解析】令，则
再令，则，则
【巩固练习1】任意时，恒成立，且函数y＝f(t)单调，则_________.
【答案】
【解析】令，则，
再令,则有，则
所以.
【巩固练习2】已知函数f(x)是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式_______，若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是_______.
【答案】 ；
【解析】（1）令，则，则
（2），由单调性可知
【题型4】反函数对称性的应用
反函数对称性在高三题型中主要体现在其图像关于直线y=x对称的性质。分析这类题型时，首先要明确反函数与原函数图像的这种对称性。其次，通过观察或计算原函数的图像，可以推断出其反函数的图像特征，如增减性、极值点等。再者，利用对称性，可以解决一些涉及反函数图像的问题，如求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题等。最后，结合具体题目，灵活运用反函数的对称性，可以有效简化解题过程，提高解题效率。
（2024·云南昆明·模拟预测）已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1012B．2024C．4048D．8096
【答案】B
【分析】由已知函数表达式变形后分别设出，两点坐标，再利用反函数的性质结合两直线垂直，斜率之积的关系得到结果.
【详解】由得，由得，
设点的坐标为，点的坐标为，
又与的图象关于直线对称，且的图象也关于直线对称，
则点，关于直线对称，即，得
已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ．
【答案】3
【分析】先把转化为函数，，与的交点的横坐标，再利用与互为反函数，可得，又，所以.
【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是.
因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以.
又，所以.
所以.
若满足，满足,则______.
【答案】
【解析】，
令
因为EQ 2\S\UP6(x)与EQ lg\S\DO(2)x 关于 y＝x 对称，
所以关于 y＝x－1 对称，
从而它们与的交点也关于 y＝x－1对称，
易求出与y＝x－1的交点为，
所以
（2024·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用反函数性质求出，再计算判断即得.
【详解】由，得，由，得，
依题意，直线与函数图象交点的横坐标分别为，
而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，
因此直线与函数图象的交点关于直线对称，即点在直线上，
则，，于是，
，而，
所以，即.
【巩固练习1】已知分别是方程与的根，则的值为 .
【答案】
【分析】利用反函数的性质，数形结合即可得解.
【详解】易知分别是函数与及函数与交点的横坐标，
易知函数与函数互为反函数，即其图象关于对称，
且也关于对称，
即函数与及函数与交点关于对称，
又易得与交点为，所以的中点为，
故.
故答案为：.
【巩固练习2】（2024·湖南怀化·二模）（多选）已知函数的零点为的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解.
【详解】依题意，，，
则分别是直线与函数，图象交点的横坐标，
而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称，
则，于是，，，BC正确，A错误；
，即，D错误.
故选：BC

【巩固练习3】(多选)已知函数的零点为,函数的零点为b,
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】在同一坐标系中做出，，的图像，则
由反函数对称性可知A,B关于直线y=x对称，而A,B两点又在上，所以A,B关于点对称，
则，，AB正确
因为a>0,b>0,且a≠b，所以，D正确；
，C错误.
【法二】——同构式（指数式化为对数式）
由题可知，，
而，
构造方程，则，b是方程的根
而函数是单调增函数，所以，
代入可得；，则AB正确
因为a>0,b>0,且a≠b，所以，则B错误,D正确
【巩固练习4】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】B
【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果.
【详解】由题意得：为R上的增函数，且
当时，，，
当时，，，
方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知与图象关于对称，
则两点关于对称，中点在图象上，
由，解得：.
所以.
【巩固练习5】（23-24高三下·重庆·阶段练习）（多选）已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.
【详解】∵函数的零点为，的零点为，
∴函数与函数图象的交点的横坐标为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为，
∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，
∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称，
对于A：∴，故选项A错误；
对于B：易知，故选项B正确；
对于C：∵，，，∴，即选项C正确；
对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确
【巩固练习5】（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知函数的零点分别为，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值．
【详解】由题意，，
令，
因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称，
且的图象也关于直线对称，
设，
则关于直线对称，
所以且
由可得，
所以．
由可得，
所以，
又代入上式可得，
则．
【题型5】不等式恒成立与能成立问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】因为，由，即，
即，设，
根据题意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，
即实数的取值范围是.
（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】将原不等式做适当变形构造函数，利用函数单调性把参数分离出来，最后转化为求函数最值问题。
【详解】∵
∴
两边加上得
设，则在上单调递增，
∴，即
令，则
∵的定义域是
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴当时，取得极大值即为最大值，且，
∴，∴即为所求.
【巩固练习1】已知函数，若在上有解，实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】因为在上有解，所以在上有解，
当时，在上有解，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，故，
则当时，，即．
所以，当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数的取值范围是．
【巩固练习2】已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】因为，使得，
所以，
令，
即，
因为，
设，
所以在单调递减，又，
则当，当，
故函数在单调递增，单调递减，
的最大值为
所以，，
即实数的取值范围是．
【巩固练习3】（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 .
【答案】
【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解.
【详解】由得，显然，
所以有解，
令，则，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，则，即的最小值是.
【巩固练习4】已知函数满足，若关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为________．
【答案】
【详解】由题意在区间上恒成立，
即恒成立，即在区间上恒成立，
令，，只需，
因为，
令，，有，
所以函数在上单调递减，
所以，即，
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数的取值范围为．
【巩固练习5】（2024高三下·全国·专题练习）若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为 ．
【答案】
【分析】变形为同构不等式，结合的单调性得在上恒成立，利用导数求出的最小值即可得解.
【详解】由，得，得．
令，因为，所以函数在上单调递增，
则不等式转化为，所以，即在上恒成立．
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，即，则的最大值为．
【题型6】存在，任意双变量问题
存在任意双变量问题
（1），成立
（2），成立
（3），恒成立
（4），恒成立
（5）成立
（6）成立
（7）若，的值域分别为A，B，则有：
= 1 \* GB3 ①，，使得成立，则；
= 2 \* GB3 ②，，使得成立，则.
已知函数，．若，，使成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】的定义域为，
则，
当时，∵，∴，
∴当时，；当时，．
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，因为
所以，∵，∴，
∴在上为增函数．∴，
依题意有，∴，∴
（2024·重庆·模拟预测）已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数求得在区间上的值域，求得在区间上的值域，由此求得的取值范围.
【详解】对于，，
所以在区间上单调递增，，
所以当时，的值域为.
对于，，
若，则，不符合题意.
若，则，所以在上单调递增，
所以当时，的值域为，符合题意，D选项正确.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
，而当时
所以当时，的值域为，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ．
【答案】
【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案.
【详解】函数，在上单调递增，所以，
当时，在区间上单调递增，，
所以，解得，
又因为，所以，解得；
当时，在区间上单调递增，其最小值为，
所以有，解得，
当时，在区间上单调减，在上单调增，
其最小值为，
所以有，解得，
当时，在区间上单调减，，
此时，无解；
所以的取值范围是，
【巩固练习1】已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知：，利用导数求，根据二次函数性质求，即可得结果.
【详解】由题意可知：，
因为，则，
注意到，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
又因为，由二次函数性质可知，
可得，即实数的取值范围是.
【巩固练习2】已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】条件可转化为，，，，再分别求列不等式可求的取值范围.
【详解】因为对于存在，存在，使，
所以，，，
又，，
显然在上单调递减，则，
当时，，即在上单调递增，
则，
由解得：，
所以实数的取值范围为.
【巩固练习3】（23-24高三上·山东德州·阶段练习）若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答.
【详解】由，得，
令，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，取最大值，最大值为0；
又，，如下图，
令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，
由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，
因此，解得.
所以实数的取值范围是.
【巩固练习4】（2024·山东泰安·二模）已知函数.
(1)若的极大值为，求的值；
(2)当时，若使得，求的取值范围.
【解析】（1）因为函数，可得，
因为，令，解得或，
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
所以的极大值为，不符合题意；
当时，即时，，在上单调递增，无极大值；
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，解得.
（2）当时，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，
当时，即时，当时，单调递增，，
又因为当时，，
因为，所以，当时，使得，
当时，即时，
当时，单调递增，，
当时，
若满足题意，只需，即，
当时，即时，
当时，在上单调递减，上单调递增
所以函数的最小值为，
所以，
又因为时，，
若满足题意，只需，即，
因为，所以，
所以，当时，不存在使得，
综上，实数的取值范围为.
【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题
复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】作出函数的图象，由题意可得或，的图象与直线共有三个不同的交点，从而可求出实数t的取值范围.
【详解】由得或，作出函数的图象，
易知当时，不符合题意；
当时，，结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解，需满足方程有两个解，方程有且只有一个解，
由图象知，所以．
故选：C．
（2024·高三·河南·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数，
当时，，且，
画出函数的图象，如图所示，
令，要使得有三个不同的实数解，
则有两个不同的实数根和，
且或，
若且时，此时无解；
若且时，令，
只需要，解得.
故选：C.
【巩固练习1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，令，得，
当时，，递增；当时，，递减；
所以当时，取得极大值，图象如图所示：
方程，即为，
解得 或 ，
由函数的图象知： 只有一个解，
所以有两个解，
所以 ，解得
【巩固练习2】（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，作出函数的图象，结合图象得出关于的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.
【详解】如图，作出函数的图象，
令，
由图可知，当时，关于的方程有个不同的实数根，
当或时，关于的方程只有个实数根，
因为关于x的方程有三个不同实数根，
所以关于的方程的一个根在上，另一个根在上，
或方程的两个根一个为，另一个在上，
若为方程的根时，则，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
若为方程的根时，则或，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程只有一个根为，不符题意，
若关于的方程的一个根在上，另一个在上时，
令，
则，即，解得，
综上所述，实数t的取值范围是.
【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题
在高考数学命题中，嵌套函数问题常以考察数学思维能力的题型出现，常出现在选择或填空的压轴题中。对于嵌套问题，具有抽象程度高，综合性强的特点，是函数理解的一个难点，但却可以很好地考查学生对于数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养，是高考数学的高频热门考点。这类题典型的特点就是很绕，烧脑，需要慢慢悟，仔细体会。主打就是一个数学逻辑推理。
这类题要做对，必须对函数有深刻的理解。函数实际上就是自变量与函数值在一定的法则下的对应关系。只要遵循对应法则，那么自变量和函数值可以通过换元化归变化成不同的形式（当然转化的形式要对解题目标有效，即不做无效变换）
定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意，对化简得，即，画出图象，结合图象即可得到答案.
【详解】关于的方程可化简为，
即有7个不同的根，画出的图象，

观察可以看出当有4个不同的根，
故只需有3个不同的根即可，所以.
设函数，若关于x的函数恰好有五个零点.则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出图象，换元后数形结合分析可得方程两根的范围，再利用二次函数根的分布列出不等式组即可得解.
【详解】作出函数的图象如图，
令，函数恰好有五个零点．
则方程化为，
则必有两个不同实根，则，
结合图形可知，则必不为，
故方程的一根在区间内，另一根在区间内，
令，
则，解得：，
综上：实数的取值范围为.
（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．-3B．-2C．0D．2
【答案】BC
【分析】令，则，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求的值，再求x的值，结合函数图象分析运算.
【详解】由题意可知，
当时，在上单调递减，则；
当时，在上单调递增，则；
若函数恰好有4个不同的零点，
令，则有两个零点，可得，
当时，则，解得；
当时，则，可得；
可得和均有两个不同的实根，
即与、均有两个交点，
则，且，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
且，故A、D错误，B、C正确.
故选：BC.
【巩固练习1】（23-24高三上·山东滨州·期末）设函数 若关于的方程有5个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，代入方程解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，观察图象即可求出的取值范围.
【详解】令，则，即，即，解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，如图：
由图可知，，解得.
【巩固练习2】设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需，
依题意，方程有6个不同的实数解，
令，则有两个不相等的实数根，
且，令，
则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：B
【巩固练习3】已知函数若方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的大致图象如图所示，
令，则可化为，因为方程有5个不同的实数解，所以在上各有一个实数解或的一个解为，另一个解在内或的一个解为，另一个解在内.
当在上各有一个实数解时，
设，则解得；
当的一个解为时，，此时方程的另一个解为，不在内，不满足题意；
当的一个解为时，，此时方程有两个相等的根，不满足题意.
综上可知，实数的取值范围为.
【题型9】2个函数存在对称点问题
已知函数，若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函数解析式可得，函数图象如下图示，
如图，要使的图象上存在两个点关于原点对称，
只需，即即可.
（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
【巩固练习1】（2024·四川内江·一模）已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由于关于点的坐标之间的关系得函数关于对称的函数为，进而将问题转化为函数与函数图象在区间有交点，即方程在区间上有解，故，进而得.设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为，
所以，所以函数关于对称的函数为.
由于与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，
故函数与函数图象在区间有交点，
所以方程在区间上有解，
所以，即，所以.
【巩固练习2】（2024·河北邯郸·二模）若直角坐标平面内两点满足条件：
①点都在的图像上；
②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”（点对与可看作一个“兄弟点对” ．
已知函数，则的“兄弟点对”的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】设，则点关于原点的对称点为，
于是，，只需判断方程根的个数，
即与图像的交点个数，
因为，；，；
，；
作出两函数的图象，由图知，与的图象有5个交点，所以的“兄弟点对”的个数为5个．
故选：D．
【巩固练习3】）已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题知，，设，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，的图象如下，由图可知，当时，与无交点，即无零点．
故选：D．
【题型10】隐零点问题初步
1、解题感悟
隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题
隐零点问题本质上还是函数的零点问题，只不过这个零点的值我们没有办法用一个确定的值来表示而已，也就是说我们明知道这个函数有一个零点，但就是没办法给出这个零点的具体数值，不可描述，这时候我们就称为这个零点为隐零点，虽然我们没办法给出具体值，但我们可以给出这个零点的大致范围，它在中学数学最大的用处就是把这个存在但没办法具体描述的数，当成一个确定的常数来用，然后瞒天过海完成运算.
2、解决办法
往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区间。往往这样的零点都与某个参数相关联，相互依赖。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题，或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。
确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到等等，至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围．进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键，最后值得说明的是，隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗渡陈仓的策略，也是数学中“设而不求”思想的体现.
已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先分析题意，由于，设出进一步分析，则，分析单调性解出实数的取值范围.
【详解】根据题意，，所以，令，
则函数在上存在零点等价于与的图象有交点.
，
令，则，故在上单调递增，
因为，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以当时单调递减，当
时，单调递增，所以，
又时，，故，所以
【巩固练习1】（2024·广东·二模）已知函数的最小值为0，则a的值为 .
【答案】
【分析】对求导，进而研究的单调性，根据有最小值为0，则使，且求出，即可求参数值.
【详解】由，且，
令，则，即在上递增，
所以在上递增，又，，，，
所以，使，且时，，
时，，所以在上递减，在上递增，
所以
由，得，
令函数，，
所以在上是增函数，注意到，所以，
所以.