枣庄市2025届数学九上开学质量检测试题【含答案】
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这是一份枣庄市2025届数学九上开学质量检测试题【含答案】,共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、(4分)若的平均数是5,则的平均数是( )
A.5B.6C.7D.8
2、(4分)如图,在中,,点在上,,若,,则的长是( )
A.B.C.D.
3、(4分)下列函数中,是正比例函数的是( )
A.B.C.D.
4、(4分)为了更好地迎接庐阳区排球比赛,某校积极准备,从全校学生中遴选出21名同学进行相应的排球训练,该训练队成员的身高如下表:
则该校排球队21名同学身高的众数和中位数分别是(单位:cm)( )
A.185,178B.178,175C.175,178D.175,175
5、(4分)一个三角形三边的比为1:2:,则这个三角形是( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形
6、(4分)如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为( )
A.2B.2.2C.2.4D.2.5
7、(4分)如图,菱形的对角线、相交于点,,,过点作于点,连接,则的长为( )
A.B.2C.3D.6
8、(4分)一组数据3,4,4,5,5,5,6,6,7众数是( )
A.4B.5C.6D.7
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、(4分)一组数据2,x,4,6,7,已知这组数据的众数是6,那么这组数据的方差是________.
10、(4分)已知(m,n)是函数y=-与y=3x+9的一个交点,则-的值为______.
11、(4分)已知直角三角形的周长为14,斜边上的中线长为3. 则直角三角形的面积为________.
12、(4分)直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的2倍,斜边长是10,则较短的直角边的长为___________.
13、(4分)已知,则________.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(12分)已知一次函数y=(m﹣2)x﹣3m2+12,问:
(1)m为何值时,函数图象过原点?
(2)m为何值时,函数图象平行于直线y=2x?
15、(8分)某校为奖励学习之星,准备在某商店购买A、B两种文具作为奖品,已知一件A种文具的价格比一件B种文具的价格便宜5元,且用600元买A种文具的件数是用400元买B种文具的件数的2倍.
(1)求一件A种文具的价格;
(2)根据需要,该校准备在该商店购买A、B两种文具共150件.
①求购买A、B两种文具所需经费W与购买A种文具的件数a之间的函数关系式;
②若购买A种文具的件数不多于B种文具件数的2倍,且计划经费不超过2750元,求有几种购买方案,并找出经费最少的方案,及最少需要多少元?
16、(8分)如图1,已知∠DAC=90°,△ABC是等边三角形,点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合),连结CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,连结QB并延长交直线AD于点E.
(1)如图1,猜想∠QEP= °;
(2)如图2,3,若当∠DAC是锐角或钝角时,其它条件不变,猜想∠QEP的度数,选取一种情况加以证明;
(3)如图3,若∠DAC=135°,∠ACP=15°,且AC=4,求BQ的长.
17、(10分)如图,在中,点D,E分别是边BC,AC的中点,AD与BE相交于点点F,G分别是线段AO,BO的中点.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)如图2,连接CO,若,求证:四边形DEFG是菱形;
(3)在(2)的前提下,当满足什么条件时,四边形DEFG能成为正方形.直接回答即可,不必证明
18、(10分)某商店的一种服装,每件成本为50元.经市场调研,售价为60元时,可销售800件;售价每提高5元,销售量将减少100件.求每件商品售价是多少元时,商店销售这批服装获利能达到12000元?
B卷(50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(4分)解一元二次方程x2+2x-3=0时,可转化为解两个一元一次方程,请写出其中的一个一元一次方程__________.
20、(4分)如图,矩形全等于矩形,点在上.连接,点为的中点.若,,则的长为__________.
21、(4分)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长都为2,无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积均为定值__________.
22、(4分)如图,在矩形中,,对角线,相交于点,垂直平分于点,则的长为__________.
23、(4分)如图,在直角坐标系中,已知矩形ABCD的两个顶点A(3,0)、B(3,2),对角线AC所在的直线L,那么直线L对应的解析式是______________
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(8分)已知两条线段长分别是一元二次方程的两根,
(1)解方程求两条线段的长。
(2)若把较长的线段剪成两段,使其与另一段围成等腰三角形,求等腰三角形的面积。
(3)若把较长的线段剪成两段,使其与另一段围成直角三角形,求直角三角形的面积。
25、(10分)如图,在中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,延长BE到F,使,连接AF、CF、DF.
求证:;
若,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
26、(12分)某车行经销的型自行车去年月份销售总额为万元,今年由于改造升级每辆车售价比去年增加元,今年月份与去年同期相比,销售数量相同,销售总额增加.
(1)求今年型车每辆售价多少元?
(2)该车行计划月份用不超过万元的资金新进一批型车和型车共辆,应如何进货才能使这批车售完后获利最多?
今年、两种型号车的进价和售价如下表:
参考答案与详细解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、C
【解析】
先根据平均数的概念列出关于m的方程,解之求出m的值,据此得出新数据,继而根据平均数的概念求解可得.
【详解】
解:根据题意,有
,
∴解得:,
∴.
故选:C.
本题主要考查算术平均数,解题的关键是掌握算术平均数的概念进行解题.
2、C
【解析】
根据勾股定理求出斜边长,根据直角三角形的性质解答.
【详解】
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴AB==5,
∵∠ACB=90°,AD=BD,
∴CD=AB=,
故选C.
本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a1+b1=c1.
3、C
【解析】
根据正比例函数的定义逐一判断即可.
【详解】
A.不符合y=kx(k为常数且k≠0),故本选项错误;
B.是一次函数但不是正比例函数,故本选项错误;
C.是正比例函数,故本选项正确;
D.自变量x的次数是2,不符合y=kx(k为常数且k≠0),故本选项错误;
故选:C.
本题考查了正比例函数的定义,掌握正比例函数的定义是解题的关键.
4、D
【解析】
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据.
【详解】
解:因为175出现的次数最多,
所以众数是:175cm;
因为第十一个数是175,
所以中位数是:175cm.
故选:D.
本题为统计题,考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.如果中位数的概念掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就会出错.
5、B
【解析】
由勾股定理的逆定理,只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可.
【详解】
解:这个三角形是直角三角形,理由如下:
因为边长之比满足1:2:,
设三边分别为x、2x、x,
∵(x)2+(2x)²=(x)²,
即满足两边的平方和等于第三边的平方,
∴它是直角三角形.
故选B.
本题考查了勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.
6、C
【解析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形,得四边形AEPF是矩形,根据矩形的对角线相等,得EF=AP,则EF的最小值即为AP的最小值,根据垂线段最短,知:AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高.
【详解】
连接AP,
∵在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,
∴AB2+AC2=BC2,
即∠BAC=90°,
又∵PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,
∴四边形AEPF是矩形,
∴EF=AP,
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高,即2.4,
∴EF的最小值为2.4,
故选:C.
本题考查了矩形的性质和判定,勾股定理的逆定理,直角三角形的性质的应用,要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键.
7、C
【解析】
先证明△ABC为等边三角形,再证明OE是△ABC的中位线,利用三角形中位线即可求解.
【详解】
解:∵ABCD是菱形,
∴AB=BC,OA=OC,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∵,
∴E是BC中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE=AB,
∵,
∴OE=3;
故选:C.
本题考查了菱形的性质以及等边三角形判定和性质,证明△ABC为等边三角形是解答本题的关键.
8、B
【解析】
先把数据按大小排列,然后根据众数的定义可得到答案.
【详解】
数据按从小到大排列:3,4,4,5,5,5,6,6,7,
数据5出现3次,次数最多,所以众数是5.
故选B.
此题考查众数,难度不大
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、3.1
【解析】
根据众数的定义先求出x的值,然后再根据方差的公式进行计算即可得.
【详解】
解:已知一组数据1,x,4,6,7的众数是6,说明x=6,
则平均数=(1+6+4+6+7)÷5=15÷5=5,
则这组数据的方差==3.1,
故答案为3.1.
本题考查了众数、方差等,熟练掌握众数的定义、方差的计算公式是解题的关键.
10、-
【解析】
根据函数解析式得出mn=-,n-3m=9,代入变形后代数式求出即可.
【详解】
解:∵(m,n)是函数y=-与y=3x+9的一个交点,
∴mn=-,n-3m=9,
∴-===-.
故答案为:-.
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题,以及分式的运算,主要考查学生的理解能力和计算能力.
11、2
【解析】
由∠ACB=90°,CD是斜边上的中线,求出AB=1,根据AB+AC+BC=14,求出AC+BC,根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2=31推出AC•BC=14,根据SAC•BC即可求出答案.
【详解】
如图,∵∠ACB=90°,CD是斜边上的中线,∴AB=2CD=1.
∵AB+AC+BC=14,∴AC+BC=8,由勾股定理得:AC2+BC2=AB2=31,∴(AC+BC)2﹣2AC•BC=31,∴AC•BC=14,∴SAC•BC=2.
故答案为:2.
本题考查了对直角三角形斜边上的中线,勾股定理,三角形的面积等知识点的理解和掌握,能根据性质求出AC•BC的值是解答此题的关键.
12、1
【解析】
根据边之间的关系,运用勾股定理,列方程解答即可.
【详解】
由题意可设两条直角边长分别为x,2x,
由勾股定理得x2+(2x)2=(1)2,
解得x1=1,x2=-1舍去),
所以较短的直角边长为1.
故答案为:1
本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用,解题的关键是根据勾股定理得到方程,转化为方程问题.
13、
【解析】
由,即成比例的数的问题中,设出辅助参量表示另外两个量代入求值即可,
【详解】
解:因为,设 则
所以.
故答案为:
本题考查以成比例的数为条件求分式的值是常规题,掌握辅助参量法是解题关键.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(1)m=﹣2;(2)m=4.
【解析】
(1)根据图象经过原点b=0,列出关于m的方程解方程求m的值,再根据k≠0舍去不符合题意的解;
(2)根据两直线平行k值相等,得出关于m的方程,解方程即可.
【详解】
(1)∵一次函数图象经过原点,
∴﹣3m2+12=0且m﹣2≠0,
解﹣3m2+12=0得m=±2,又由m﹣2≠0得m≠2,
∴m=-2;
(2)∵函数图象平行于直线y=2x,
∴m﹣2=2,解得m=4.
本题考查一次函数与坐标轴交点问题,根据一次函数的增减性求参数.(1)中需注意一次函数的一次项系数k≠0;(2)中理解两个一次函数平行k值相等是解题关键.
15、(1)一件A种文具的价格为15元;(2)①W=-5a+3000;②有51种购买方案,经费最少的方案购买A种玩具100件,B种玩具50件,最低费用为2500元.
【解析】
(1)根据题意可以得到相应的分式方程,从而可以求得一件A种文具的价格;
(2)①根据题意,可以直接写出W与a之间的函数关系式;
②根据题意可以求得a的取值范围,再根据W与a的函数关系式,可以得到W的最小值,本题得以解决.
【详解】
(1)设一件A种文具的价格为x元,则一件B种玩具的价格为(x+5)元,
解得,x=15,
经检验,x=15是原分式方程的解,
答:一件A种文具的价格为15元;
(2)①由题意可得,
W=15a+(15+5)(150-a)=-5a+3000,
即购买A、B两种文具所需经费W与购买A种文具的件数a之间的函数关系式是W=-5a+3000;
②∵购买A种文具的件数不多于B种文具件数的2倍,且计划经费不超过2750元,
∴,
解得,50≤a≤100,
∵a为整数,
∴共有51种购买方案,
∵W=-5a+3000,
∴当a=100时,W取得最小值,此时W=2500,150-a=100,
答:有51种购买方案,经费最少的方案购买A种玩具100件,B种玩具50件,最低费用为2500元.
本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质、不等式的性质和分式方程的知识解答,注意分式方程要检验.
16、(1)∠QEP=60°;(2)∠QEP=60°,证明详见解析;(3)
【解析】
(1)如图1,先根据旋转的性质和等边三角形的性质得出∠PCA=∠QCB,进而可利用SAS证明△CQB≌△CPA,进而得∠CQB=∠CPA,再在△PEM和△CQM中利用三角形的内角和定理即可求得∠QEP=∠QCP,从而完成猜想;
(2)以∠DAC是锐角为例,如图2,仿(1)的证明思路利用SAS证明△ACP≌△BCQ,可得∠APC=∠Q,进一步即可证得结论;
(3)仿(2)可证明△ACP≌△BCQ,于是AP=BQ,再求出AP的长即可,作CH⊥AD于H,如图3,易证∠APC=30°,△ACH为等腰直角三角形,由AC=4可求得CH、PH的长,于是AP可得,问题即得解决.
【详解】
解:(1)∠QEP=60°;
证明:连接PQ,如图1,由题意得:PC=CQ,且∠PCQ=60°,
∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠PCA=∠QCB,
则在△CPA和△CQB中,
,
∴△CQB≌△CPA(SAS),
∴∠CQB=∠CPA,
又因为△PEM和△CQM中,∠EMP=∠CMQ,
∴∠QEP=∠QCP=60°.
故答案为60;
(2)∠QEP=60°.以∠DAC是锐角为例.
证明:如图2,∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC,∠ACB=60°,
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ,
∴CP=CQ,∠PCQ=60°,
∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ,
即∠ACP=∠BCQ,
在△ACP和△BCQ中,
,
∴△ACP≌△BCQ(SAS),
∴∠APC=∠Q,
∵∠1=∠2,
∴∠QEP=∠PCQ=60°;
(3)连结CQ,作CH⊥AD于H,如图3,
与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ,∴AP=BQ,
∵∠DAC=135°,∠ACP=15°,
∴∠APC=30°,∠CAH=45°,
∴△ACH为等腰直角三角形,
∴AH=CH=AC=×4=,
在Rt△PHC中,PH=CH=,
∴PA=PH−AH=-,
∴BQ=−.
本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和有关计算、30°角的直角三角形的性质等知识,涉及的知识点多、综合性强,灵活应用全等三角形的判定和性质、熟练掌握旋转的性质和相关图形的性质是解题的关键.
17、 (1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
(1)由三角形中位线性质得到,,故四边形DEFG是平行四边形;(2)同(1),由,证,得到菱形;(3)当时,四边形DEFG为正方形:点D,E分别是边BC,AC的中点,得点O是的重心,证,,结合平行线性质证,结合(2)可得结论.
【详解】
解:(1)点D,E分别是边BC,AC的中点,
,,
点F,G分别是线段AO,BO的中点,
,,
,,
四边形DEFG是平行四边形;
(2)点F,E分别是边OA,AC的中点,
,
,,
,
平行四边形DEFG是菱形;
(3)当时,四边形DEFG为正方形,
理由如下:点D,E分别是边BC,AC的中点,
点O是的重心,
,
,
,
,
,
,
菱形DEFG为正方形.
本题考核知识点:三角形中位线,菱形,正方形. 解题关键点:由所求分析必要条件,熟记相关判定定理.
18、70或80
【解析】
要求服装的单价,可设服装的单价为x元,则每件服装的利润是(x-50)元,销售服装的件数是[800-20(x-60)]件,以此等量关系列出方程即可;
【详解】
解:设单价应定为x元,根据题意得:
(x−50)[800−(x−60)÷5×100]=12000,
(x−50)[800−20x+1200]=12000,
整理得,x2−150x+5600=0,
解得=70,=80;
答:这种服装的单价应定为70元或80元.
本题主要考查了一元二次方程的应用,掌握一元二次方程的应用是解题的关键.
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、x+3=1(或x-1=1)
【解析】
试题分析:把方程左边分解,则原方程可化为x﹣1=1或x+3=1.
解:(x﹣1)(x+3)=1,
x﹣1=1或x+3=1.
故答案为x﹣1=1或x+3=1.
考点:解一元二次方程-因式分解法.
20、
【解析】
延长CH交FG的延长线于点N,由条件可以得出△CDH≌△NFH,就可以得出CH=NH,CD=NF,求出NG的长,根据勾股定理求出CN的长,从而可求出CH的长.
【详解】
解:延长CH交FG的延长线于点N,
∵FG∥CD,
∴∠CDH=∠NFH.
∵点为的中点,
∴DH=FH.
在△CDH和△NFH中,
∵∠CDH=∠NFH,
DH=FH,
∠CHD=∠NHF,
∴△CDH≌△NFH,
∴CH=NH,CD=NF=10,
∴NG=4,
∴CN=,
∴CH=2.
故答案为:2.
本题考查了矩形的性质的运用,菱形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,等腰直角三角形的性质的运用,特殊角的三角函数值的运用.解答时证明三角形全等是解答本题的关键.
21、1
【解析】
过点O作OG⊥AB,OH⊥BC,利用AAS证明△EOG≌△FOH,得到两个正方形重合部分的面积是正方形OGBH,由此得到答案.
【详解】
如图,过点O作OG⊥AB,OH⊥BC,则∠OGE=∠OHF=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB=OC,∠AOB=∠BOC=90°,
∴OG=AB=BC=OH=1,∠GOH=90°,
∵四边形A1B1C1O是正方形,
∴∠A1OC1=90°,
∴∠EOG=∠FOH,
∴△EOG≌△FOH,
∵∠ABC=∠OGB=∠OHB=90°,
∴四边形OGBH是矩形,
∵OG=OH,
∴四边形OGBH是正方形,
∴两个正方形重叠部分的面积==1,
故答案为:1.
此题考查正方形的性质,全等三角形的性质,正方形的判定定理,熟记各定理并熟练运用解题是关键.
22、
【解析】
结合题意,由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可得AB=AO=OB=OD=4,根据勾股定理可求AD的长.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=BO=CO=DO,
∵AE垂直平分OB于点E,
∴AO=AB=4,
∴AO=OB=AB=4,
∴BD=8,
在Rt△ABD中,AD==.
故答案为:.
本题考查矩形的性质和线段垂直平分线的性质,解题的关键是掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质.
23、y=-x+1
【解析】
根据矩形的性质及B点坐标可求C点坐标,设直线L的解析式为y=kx+b,根据“两点法”列方程组,可确定直线L的解析式.
【详解】
∵矩形ABCD中,B(3,1),
∴C(0,1),设直线L的解析式为y=kx+b,
则,解得
∴直线L的解析式为:y=- x+1.
故答案为:y=-x+1.
本题考查了矩形的性质,图形与坐标,以及用待定系数法确定函数的解析式,待定系数法是常用的一种解题方法.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(1)2和6;(2);(3)
【解析】
(1)求解该一元二次方程即可;
(2)先确定等腰三角形的边,然后求面积即可;
(3)设分为两段分别是和,然后用勾股定理求出x,最后求面积即可.
【详解】
解:(1)由题意得,
即:或,
∴两条线段长为2和6;
(2)由题意,可知分两段为分别为3、3,则等腰三角形三边长为2,3,3,
由勾股定理得:该等腰三角形底边上的高为:
∴此等腰三角形面积为=.
(3)设分为及两段
∴,
∴,
∴面积为.
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识,考查知识点较多,灵活应用所学知识是解答本题的关键.
25、(1)证明见解析(2)四边形AFCD是菱形
【解析】
(1)只要证明四边形ABDF是平行四边形即可;
(2)结论:四边形AFCD是菱形.首先证明四边形ADCD是平行四边形,再证明DA=DC即可.
【详解】
(1),,
四边形ABDF是平行四边形,
;
结论:四边形ADCF是菱形,理由如下:
,
,
,
,
四边形ABDF是平行四边形,
,,
,
四边形AFCD是平行四边形,
,
四边形AFCD是菱形.
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边中线等,熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
26、(1)今年A型车每辆售价为1000元;(2)当购进A型车1辆、购进B型车20辆时,才能使这批车售完后获利最多.
【解析】
(1)设今年A型车每辆售价为x元,则去年A型车每辆售价为(x−200)元,根据数量=总价÷单价,结合今年6月份与去年同期相比销售数量相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;
(2)设购进A型车m辆,则购进B型车(50−m)辆,根据总价=单价×数量结合总费用不超过4.3万元,即可得出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围,再根据销售利润=单辆利润×购进数量即可得出销售利润关于m的函数关系式,利用一次函数的性质解决最值问题即可.
【详解】
解:(1)设今年A型车每辆售价为x元,则去年A型车每辆售价为(x−200)元,
根据题意得:,
解得:x=1000,
经检验,x=1000是原分式方程的解,
答:今年A型车每辆售价为1000元;
(2)设购进A型车m辆,则购进B型车(50−m)辆,
根据题意得:800m+950(50−m)≤4100,
解得:m≥1.
销售利润为:(1000−800)m+(1200−950)(50−m)=−50m+12500,
∵−50<0,
∴当m=1时,销售利润最多,50-1=20(辆),
答:当购进A型车1辆、购进B型车20辆时,才能使这批车售完后获利最多.
本题考查了分式方程的应用、一次函数的的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据数量关系,找出销售利润关于m的函数关系式.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
身高(cm)
170
172
175
178
180
182
185
人数(个)
2
4
5
2
4
3
1
型车
型车
进价(元/辆)
售价(元/辆)
今年售价
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