浙江省杭州市临安区2025届数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份浙江省杭州市临安区2025届数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在中，，分别为，的中点，若，则的长为
A．3B．4C．5D．6
2、（4分）如图，△AOB是等边三角形，B（2，0），将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°到△A′OB′位置，则A′坐标是（ ）
A．（﹣1，）B．（﹣，1）C．（，﹣1）D．（1，﹣）
3、（4分）直线不经过的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4、（4分）如图，已知长方形ABCD中AB = 8cm，BC = 10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F，则CF的长为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
5、（4分）下列x的值中，是不等式x＞3的解的是( )
A．B．0C．2D．4
6、（4分）如图的中有一正方形，其中在上，在上，直线分别交于两点. 若，则的长度为()
A．B．C．D．
7、（4分）已知点(a﹣1，y1)、(a+1，y2)在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，若y1＜y2，则a的范围是( )
A．a＞1B．a＜﹣1
C．﹣1＜a＜1D．﹣1＜a＜0或0＜a＜1
8、（4分）如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的长方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，则第7个图案中黑色瓷砖的个数是（ ）
A．19B．20C．21D．22
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）某水池容积为300m3，原有水100m3，现以xm3／min的速度匀速向水池中注水，注满水需要ymin，则y关于x的函数表达式为________．
10、（4分）已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值_____．
11、（4分）将直线y＝2x+4沿y轴向下平移3个单位，则得到的新直线所对应的函数表达式为_____．
12、（4分）直线y＝k1x+b与直线y＝k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于X的不等式 k1x+b＞k2x+c的解集为_____．
13、（4分）在直角坐标系中，点P（﹣2，3）到原点的距离是 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知的三边长分别为，求证：是直角三角形.
15、（8分）小明星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当他骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家，以下是他本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到舅舅家的路程是______米，小明在商店停留了______分钟；
（2）在整个去舅舅家的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/
分？
（3）本次去舅舅家的行程中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？
16、（8分）某校八年级两个班各选派10名学生参加“垃圾分类知识竞赛，各参赛选手的成绩如下：
八（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100；
八（2）班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99
通过整理，得到数据分析表如下
（1）求表中，，的值；
（2）依据数据分析表，有同学认为最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好．但也有同学认为（2）班的成绩更好．请你写出两条支持八（2）班成绩更好的理由．
17、（10分）关于的方程.
（1）当时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求的值．
18、（10分）计算:
(1); (2).
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某正比例函数图象经过点(1，2)，则该函数图象的解析式为___________
20、（4分）如图，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子与甲的影子的末端恰好在同一点，已知甲、乙两同学相距1m，甲身高1.8m，乙身高1.5m，则甲的影子是________m．
21、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为平面内动点，且满足AD＝4，连接BD，取BD的中点E，连接CE，则CE的最大值为_____．
22、（4分）如图，矩形纸片中，已知，，点在边上，沿折叠纸片，使点落在点处，连结，当为直角三角形时，的长为______.
23、（4分）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在中，，，垂足分别为点、，且.
求证：是菱形.
25、（10分）如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）
（1）求直线AB的函数的表达式；
（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
（3）求△AOC的面积；
（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．
26、（12分）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到(a＋1b)(a＋b)＝a1＋3ab＋1b1．请回答下列问题：
（1）写出图1中所表示的数学等式：_____________．
（1）利用(1)中所得的结论，解决下列问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a1＋b1＋c1的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．
①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为1a1＋5ab＋1b1；
②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式1a1＋5ab＋1b1分解因式，即1a1＋5ab＋1b1＝________．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据三角形的中位线定理得出AB=2DE，把DE的值代入即可．
【详解】
，分别为，的中点，
，
故选：．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
2、B
【解析】
过点A′作A′C⊥x轴于C，根据点B的坐标求出等边三角形的边长，再求出∠A′OC＝30 ，然后求出OC、A′C，再根据点A′在第二象限写出点A′的坐标即可．
【详解】
如图，过点A′作A′C⊥x轴于C，
∵B（2，0），
∴等边△AOB的边长为2，
又∵∠A′OC＝90 −60 ＝30 ，
∴OC＝2×cs30 =2×＝，A′C＝2×＝1，
∵点A′在第二象限，
∴点A′（﹣，1）．
故选：B．
本题考查了坐标与图形变化−旋转，等边三角形的性质，根据旋转的性质求出∠A′OC＝30，然后解直角三角形求出点A′的横坐标与纵坐标的长度是解题的关键．
3、C
【解析】
首先确定k，k＞0，必过第二、四象限，再确定b，看与y轴交点，即可得到答案．
【详解】
∵y=-2x+3中，k=-2＜0，
∴必过第二、四象限，
∵b=3，
∴交y轴于正半轴．
∴过第一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
此题主要考查了一次函数的性质，直线所过象限，受k，b的影响．
4、C
【解析】
分析：由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF=10cm．在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，进而得到结论．
详解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴AF=10cm．在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6cm，∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4（cm）．
故选C．
点睛：本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．
5、D
【解析】
根据不等式的解集定义即可判断.
【详解】
∵不等式x＞3的解集是所有大于3的数，
∴4是不等式的解．故选D.
此题主要考查不等式的解集，解题的关键是熟知不等式的解与解集的关系.
6、D
【解析】
由DE∥BC可得求出AE的长，由GF∥BN可得，将AE的长代入可求得BN．
【详解】
解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥BC，GF∥BN，且DE=GF=EF=1，
∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，
∴①，②，
由①可得，，解得：，
把代入②，得：，
解得：，
故选择：D.
本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键．
7、C
【解析】
试题解析：∵在反比例函数y=中，k＞0，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵a-1＜a+1，y1＜y2
∴这两个点不会在同一象限，
∴a-1＜0＜a+1，解得-1＜a＜1
故选C．
【点睛】本题考察了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当k＞0，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，在每一象限内y随x的增大而增大．
8、D
【解析】
观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个；根据其中的规律，用字母表示即可．
【详解】
第个图案中有黑色纸片3×1+1=4张
第2个图案中有黑色纸片3×2+1=7张，
第3图案中有黑色纸片3×3+1=10张，
…
第n个图案中有黑色纸片=3n+1张.
当n=7时，3n+1=3×7+1=22.
故选D.
此题考查规律型：图形的变化类，解题关键在于观察图形找到规律.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、y=
【解析】
先根据条件算出注满容器还需注水200m3 ， 根据注水时间=容积÷注水速度，据此列出函数式即可.
【详解】
解：容积300m3,原有水100m3，还需注水200m3，由题意得：y=.
本题考查了反比例函数的实际应用，理清实际问题中的等量关系是解题的关键.
10、1．
【解析】
根据a+b＝3，ab＝2，应用提取公因式法，以及完全平方公式，求出代数式a3b+2a2b2+ab3的值是多少即可．
【详解】
∵a+b＝3，ab＝2，
∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝2×32＝1
故答案为：1．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11、y=2x+1
【解析】
根据函数的平移规律，利用口诀上加下减，可得答案．
【详解】
解：直线y=2x+4经过点(0,4)，将直线下平移3个单位，则点(0,4)也向下平移了3个单位，则平移后的直线经过点(0,1)，
∵平移后的直线与原直线平行，
∴平移后的直线设为y=2x+k，
∵ y=2x+k过点(0,1)，代入点(0,1)得k=1，
∴新直线为y=2x+1
故答案为：y=2x+1
本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：上加下减，左加右减是解题关键．
12、x＞1
【解析】
根据图形，找出直线 k1x+b在直线k2x+c上方部分的x的取值范围即可．
【详解】
解：由图形可知，当x＞1时，k1x+b＞k2x+c，
所以，不等式的解集是x＞1．
故答案为x＞1．
本题考查了两直线相交的问题，根据函数图象在上方的函数值比函数图象在下方的函数值大，利用数形结合求解是解题的关键．
13、．
【解析】
试题分析：在平面直角坐标系中找出P点，过P作PE垂直于x轴，连接OP，由P的坐标得出PE及OE的长，在直角三角形OPE中，利用勾股定理求出OP的长，即为P到原点的距离．
如图，过P作PE⊥x轴，连接OP，由P（﹣2，3），可得PE=3，OE=2，在Rt△OPE中，根据勾股定理得OP2=PE2+OE2，代入数据即可求得OP=，即点P在原点的距离为．
考点：勾股定理；点的坐标．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析.
【解析】
根据勾股定理的逆定理解答即可.
【详解】
证明：
，
以为三边的是直角三角形.
本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
15、（1）1500，4；（2）小明在12-14分钟最快，速度为米/分．（3）14.
【解析】
（1）根据图象，路程的最大值即为小明家到舅舅家的路程；读图，对应题意找到其在商店停留的时间段，进而可得其在书店停留的时间；
（2）分析图象，找函数变化最快的一段，可得小明骑车速度最快的时间段，进而可得其速度；
（3）分开始行驶的路程，折回商店行驶的路程以及从商店到舅舅家行驶的路程三段相加即可求得小明一共行驶路程；读图即可求得本次去舅舅家的行程中，小明一共用的时间．
【详解】
解：（1）根据图象舅舅家纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0，故小明家到舅舅家的路程是1500米；据题意，小明在商店停留的时间为从8分到12分，故小明在商店停留了4分钟．
（2）根据图象，时，直线最陡，故小明在12-14分钟最快，速度为米/分．
（3）读图可得：小明共行驶了米，共用了14分钟．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
16、（1），，；（2）见解析；
【解析】
（1）根据平均数的计算公式，求出八1班的平均分，得出的值，依据中位数的求法求得八2班的中位数，求得，看八2班成绩出现次数最多的，求得的值；
（2）通过观察比较，发现从平均数、方差上对于八2班有利，可以从这两个方面，提出支持的理由．
【详解】
解：（1）八（1）班的平均数：，
八（2）班成绩共10个数据，从小到大排列后，95、96处于之间，所以，是中位数，
八（2）班成绩共10个数据，其中93出现三次，出现次数最多，众数是93，
答：表中，，．
（2）八2班的平均分高于八1班，因此八2班成绩较好；
八2班的方差比八1班的小，因此八2班比八1班稳定．
考查平均数、中位数、众数、方差的意义及求法，理解并掌握各个统计量所反映一组数据的集中趋势或离散程度，则有利于对数据做出分析，做出判断．
17、（1）x=1；（2）k=1．
【解析】
（1）把k=3代入方程计算即可求出解；
（2）由分式方程有增根求出x的值，分式方程去分母后代入计算即可求出k的值．
【详解】
（1）把k=3代入方程得：3，去分母得：1+3x﹣6=x﹣3，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解；
（2）分式方程去分母得：1+3x﹣6=x﹣k，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入方程得：2﹣k=1，解得：k=1．
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18、（1）6（2）9
【解析】
（1）先计算算术平方根，零指数幂，然后依次计算即可
（2）先利用完全平方公式进行计算，再把二次根式化为最简，进行计算即可
【详解】
（1）3+2+1=6
（3）3+4+4 -4+2=9
此题考查二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题关键
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
设正比例函数的解析式为y=kx，然后把点(1，2)代入y=kx中求出k的值即可．
【详解】
解：设正比例函数的解析式为y=kx，
把点(1，2)代入得，
2=k×1，
解得k=2，
∴该函数图象的解析式为：；
故答案为：．
本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，掌握待定系数法求正比例函数解析式是解题的关键．
20、1
【解析】
解：设甲的影长是x米，
∵BC⊥AC，ED⊥AC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵CD=1m，BC=1.8m，DE=1.5m，
∴，
解得：x=1．
所以甲的影长是1米．
故答案是1．
考点：相似三角形的应用．
21、1．
【解析】
作AB的中点E，连接EM、CE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围．
【详解】
解：作AB的中点M，连接EM、CM．
在Rt△ABC中，AB＝＝＝10，
∵M是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CM＝AB＝3．
∵E是BD的中点，M是AB的中点，
∴ME＝AD＝3．
∴3﹣3≤CE≤3+3，即3≤CE≤1．
∴最大值为1，
故答案为：1．
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．
22、3或
【解析】
分两种情况：①当∠EFC=90°，先判断出点F在对角线AC上，利用勾股定理求出AC，设BE=x,表示出CE，根据翻折变换的性质得到AF=AB,EF=BE，再根据Rt△CEF利用勾股定理列式求解；②当∠CEF=90°，判断四边形ABEF是正方形，根据正方形的性质即可求解.
【详解】
分两种情况：①当∠EFC=90°，如图1，
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD的边AD=4，
∴BC=AD=4，
在Rt△ABC中，AC=
设BE=x，则CE=BC-BE=4-x，
由翻折的性质得AF=AB=3,EF=BE=x，∴CF=AC-AF=5-3=2
在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，
即x2+22=(4-x)2，
解得x=；
②当∠CEF=90°，如图2
由翻折的性质可知∠AEB=∠AEF=45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AB=3，
故BE的长为3或
此题主要考查矩形的折叠问题，解题的关键是根据图形进行分类讨论.
23、135
【解析】
试题分析：如图，连接EE′，
∵将△ABE绕点B顺时针旋转30°到△CBE′的位置，AE=1，BE=3，CE=3，
∴∠EBE′=30°，BE=BE′=3，AE=E′C=1．
∴EE′=3，∠BE′E=45°．
∵E′E3+E′C3=8+1=3，EC3=3．∴E′E3+E′C3=EC3．
∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=30°．∴∠BE′C=135°．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析.
【解析】
利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题.
【详解】
是平行四边形，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在和中，

∴ABCD是菱形.
本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.
25、（2）y＝﹣x+2．（2）x＜﹣2.（3）3；（4）（2，2）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．
【解析】
（2）利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象写出直线y＝kx+b的图象在直线y＝ax的图象下方的自变量的取值范围即可；
（3）求出点C坐标，利用三角形的面积公式计算即可；
（4）分三种情形分别讨论求解即可解决问题；
【详解】
解：（2）依题意得：，
解得，
∴所求的一次函数的解析式是y＝﹣x+2．
（2）观察图形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
x＜﹣2．
（3）对于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2
∴C（2，0），
∴OC＝2．
∴S△AOC＝×2×3＝3．
（4）
①当点P与B重合时，OP2＝OC，此时P2（0，2）；
②当PO＝PC时，此时P2在线段OC的垂直平分线上，P2（2，2）；
③当PC＝OC＝2时，设P（m．﹣m+2），
∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，
∴m＝2±，
可得P3（2﹣，），P4（2+，﹣），
综上所述，满足条件的点P坐标为：（2，2）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．
本题考查一次函数综合题、一元一次不等式的解、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26、（1）（a+b+c）1=a1+b1+c1+1ab+1ac+1bc；
（1）a1+b1+c1=45；
（3）①画图见解析；②1a1+5ab+1b1=（1a+b）（a+1b）．
【解析】
试题分析：（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（1）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，ab+bc+ac=38作为整式代入即可求出．（3）①找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件；②根据所给的规律分解因式即可．
试题解析：
（1）（a+b+c）1=a1+b1+c1+1ab+1ac+1bc；
故答案为（a+b+c）1=a1+b1+c1+1ab+1ac+1bc；
（1）a1+b1+c1=（a+b+c）1﹣1ab﹣1ac﹣1bc，
=111﹣1×38=45；
（3）
①如图所示，
②如上图所示的矩形面积=（1a+b）（a+1b），
它是由1个边长为a的正方形、5个边长分别为a、b的长方形、1个边长为b的小正方形组成，所以面积为1a1+5ab+1b1，则1a1+5ab+1b1=（1a+b）（a+1b），
故答案为1a1+5ab+1b1=（1a+b）（a+1b）．
点睛：本题考查了完全平方公式的几何背景和因式分解的应用，关键是能够把代数式转化成几何图形，用到的知识点是长方形和正方形的面积公式，要认真总结规律，进行答题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
100
93
93
12
八（2）班
99
95
8.4