浙江省杭州市英特外国语学校2024年九年级数学第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份浙江省杭州市英特外国语学校2024年九年级数学第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，若AC=12，BD=10，AB=7，则△DOC的周长为（ ）
A．29B．24C．23D．18
2、（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（ ）
A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x+5）（x+6）D．（x﹣5）（x﹣6）
3、（4分）函数y＝ax﹣a与y＝（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）当x＜a＜0时，与ax的大小关系是（ ）.
A．＞axB．≥axC．＜axD．≤ax
5、（4分）如图，在中，，，是边的中点， 则的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．80°
6、（4分）已知 是一元二次方程 x2  x  1  0 较大的根，则下面对 的估计正确的是（ ）
A．0    1
B．1    1.5
C．1.5    2
D．2    3
7、（4分）若四边形的两条对角线相等，则顺次连接该四边形各边中点所得的四边形是( )
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
8、（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b(a＞b)，M是BC边上一个动点，联结AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转恰好至△NGF．给出以下三个结论：①∠AND＝∠MPC； ②△ABM≌△NGF；③S四边形AMFN＝a1+b1．其中正确的结论是_____(请填写序号)．
10、（4分）当a=______时，的值为零．
11、（4分）如图，平行四边形ABCD的顶点A是等边△EFG边FG的中点，∠B=60°，EF=4，则阴影部分的面积为________.
12、（4分）实数64的立方根是4，64的平方根是________；
13、（4分）直线沿轴平移3个单位，则平移后直线与轴的交点坐标为 .
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）按指定的方法解下列一元二次方程：
(1)（配方法） (2)（公式法）
15、（8分）已知点A（4，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=5，0为坐标原点，设△OPA的面积为S．
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）求x的取值范围；
（3）当S=4时，求P点的坐标．
16、（8分）如图，分别以 Rt△ ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD，等边△ ABE.已知∠ABC＝60°，EF⊥AB，垂足为 F，连接 DF.
(1)证明：△ACB≌△EFB；
(2)求证：四边形 ADFE 是平行四边形．
17、（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，BE交AD于F,且BF=AC，FD=CD，AD=3，求AB的长．
18、（10分）8年级某老师对一、二班学生阅读水平进行测试，并将成绩进行了统计，绘制了如下图表（得分为整数，满分为10分，成绩大于或等于6分为合格，成绩大于或等于9分为优秀）．
根据图表信息，回答问题：
（1）直接写出表中，，，的值；
（2）用方差推断， 班的成绩波动较大；用优秀率和合格率推断， 班的阅读水平更好些；
（3）甲同学用平均分推断，一班阅读水平更好些；乙同学用中位数或众数推断，二班阅读水平更好些。你认为谁的推断比较科学合理，更客观些，为什么？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线将图形分成面积相等的两部分，则直线的函数关系式为______________.
20、（4分）某书定价25元，如果一次购买20本以上，超过20本的部分打八折，未超过20本的不打折，试写出付款金额（单位：元）与购买数量（单位：本）之间的函数关系_______．
21、（4分）一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是_____．
22、（4分）已知方程ax2+7x﹣2＝0的一个根是﹣2，则a的值是_____．
23、（4分）计算的结果是_____。
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知互余，∠2与∠3互补，.求的度数.
25、（10分）（1） （2）
26、（12分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下
如图（1）∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=b-a
S四边形ADCB=
S四边形ADCB=
∴化简得：a2+b2=c2
请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据平行四边形的对角线互相平分可求出DO与CO的长，然后求出△DOC的周长即可得出答案.
【详解】
在平行四边形ABCD中，
∵CD=AB=7，，,
∴△DOC的周长为：DO+CO+CD=5+6+7＝18.
故选D.
本题考查了平行四边形的性质.熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
2、B
【解析】
根据题意，把x=5和x=-6分别代入方程，构成含m、n的二元一次方程组，解出m、n的值，然后可得二次三项式，再根据“十字相乘法”因式分解即可.
【详解】
根据题意可得
解得
所以二次三项式为x2+x-30
因式分解为x2+x-30=（x﹣5）（x+6）
故选B.
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程的应用，关键是利用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行解答.
3、D
【解析】
当反比例函数图象分布在第一、三象限，则a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系对A、B进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则a＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系对C、D进行判断．
【详解】
解：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y＝ax﹣a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．
故选：D．
本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝的图象为双曲线，当k＞0，图象分布在第一、三象限；当k＜0，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
4、A
【解析】
根据不等式的基本性质3，不等式的两边同乘以一个负数，不等号的方向改变，可得x2＞ax.
故选A.
5、D
【解析】
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的中线一半，求解即可．
【详解】
解：∵，是边的中点，∴CD=BD，∴∠DCB=∠B=50°， ∴∠CDB=180°-∠DCB-∠B=80°，
故选D．
本题考查了三角形的内角和定理及直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
6、C
【解析】
先解一元二次方程方程，再求出的范围，即可得出答案.
【详解】
解：解方程x2－x－1=0得：.
∵α是x2－x－1=0较大的根，
∴.
∵2＜＜3，
∴3＜1+＜4，
∴＜＜2.
故选C.
本题考查解一元二次方程和估算无理数大小的知识，正确的求解方程和合理的估算是解题的关键.
7、C
【解析】
如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
∵AC=BD，
∴EH=FG=FG=EF，
∴四边形EFGH是菱形．
故选C．
8、D
【解析】
连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．
【详解】
解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，
∴AP＝CP，
即AP+PE＝CE，此时AP+PE的值最小，
所以此时△PAE周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，
∴∠ABC＝90°，BE＝4﹣1＝3，
由勾股定理得：CE＝5，
∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE＝CE+AE＝5+1＝6，
故选D．
本题考查了正方形的性质与轴对称——最短路径问题，知识点比较综合，属于较难题型.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、①②③．
【解析】
①根据正方形的性质得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根据旋转的性质得到∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，可知∠DAM=∠AND，②根据旋转的性质得到GN=ME，等量代换得到AB=ME=NG，根据全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF；③由旋转的性质得到AM=AN，NF=MF，根据全等三角形的性质得到AM=NF，推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的∠NAM=90°，推出四边形AMFN是正方形，于是得到S四边形AMFN=AM1=a1+b1；
【详解】
①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，
∴∠BAM+∠DAM=90°，
∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，
∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，
∴∠DAM=∠AND，故①正确，
②∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴GN=ME，
∵AB=a，ME=a，
∴AB=ME=NG，
在△ABM与△NGF中，AB=NG=a，∠B=∠NGF=90°，GF=BM=b，
∴△ABM≌△NGF；故②正确；
③∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，
∴AM=AN，
∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，
∴NF=MF，
∵△ABM≌△NGF，
∴AM=NF，
∴四边形AMFN是矩形，
∵∠BAM=∠NAD，
∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，
∴∠NAM=90°，
∴四边形AMFN是正方形，
∵在Rt△ABM中，a1+b1=AM1，
∴S四边形AMFN=AM1=a1+b1；故③正确
故答案为①②③．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，正确的理解题意是解题的关键．
10、﹣1．
【解析】
根据分式的值为零的条件列式计算即可．
【详解】
由题意得：a2﹣1=2，a﹣1≠2，
解得：a=﹣1．
故答案为：﹣1．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为2；②分母不为2．这两个条件缺一不可．
11、3
【解析】
作AM⊥EF，AN⊥EG，连接AE，只要证明△AMH≌△ANL，即可得到S阴=S四边形AMEN，再根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】
如图，作AM⊥EF，AN⊥EG，连接AE，
∵△ABC为等边三角形，AF=AG,
∴∠AEF=∠AEN，
∵AM⊥EF，AN⊥EG，
∴AM=AN,
∵∠MEN=60°，∠EMA=∠ENA=90°，
∴∠MAN=120°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠DAB=180°-∠B=120°，
∴∠MAN=∠DAB
∴∠MAH=∠NAL，
又AM⊥EF，AN⊥EG，AM=AN,
∴△AMH≌△ANL
∴S阴=S四边形AMEN，
∵EF=4，AF=2，∠AEF=30°
∴AE=2，AM=，EM=3
∴S四边形AMEN=2××3×=3，
∴S阴=S四边形AMEN=3
故填：3.
此题主要考查平行四边形与等边三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与含30°的直角三角形的性质.
12、
【解析】
根据平方根的定义求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作.
13、（0，2）或（0，）
【解析】
试题分析：∵直线沿轴平移3个单位，包括向上和向下，
∵平移后的解析式为或．
∵与轴的交点坐标为（0，2）；与轴的交点坐标为（0，）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1），；（2），
【解析】
（1）先把二次项系数化为1，方程两边加上一次项系数一半的平方，把左边变成完全平方式，然后用直接开平方法解即可；
（2）首先确定a，b，c的值，再计算出b2-4ac的值判断方程方程是否有解，若有解，代入公式即可求解.
【详解】
（1）
∴
解得，，；
（2）
在这里，，b=-2，

∴
解得，，
本题考查了解一元二次方程的方法，求根公式法适用于任何一元二次方程，方程的解为：
15、（1）S=10﹣2x；（2）0＜x＜5；（3）（3，2）
【解析】
(1)根据题意画出图形,由x＋y＝5可知y＝5﹣x ,再由三角形的面积公式即可得出结论;
(2)由点P（x，y）在第一象限,且x＋y＝5得出x的取值范围即可;
(3)把S＝4代入(1)中的关系式求出x的值,进而可得出y的值.
【详解】
（1）如图：
∵x＋y＝5，
∴y＝5﹣x，
∴S＝×4×（5﹣x）＝10﹣2x；
（2）∵点P（x，y）在第一象限，且x＋y＝5，
∴0＜x＜5；
（3）∵由（1）知，S＝10﹣2x，
∴10﹣2x＝4，解得x＝3，
∴y＝2，
∴P（3，2）．
本题考查的是一次函数的性质,根据题意画出图形,利用数形结合求解是解答此题的关键.
16、（1）见详解；（2）见详解.
【解析】
（1）由△ABE是等边三角形可知：AB=BE，∠EBF=60°，于是可得到∠EFB=∠ACB=90°，∠EBF=∠ABC，接下来依据AAS证明△ABC≌△EBF即可；
（2）由△ABC≌△EBF可得到EF=AC，由△ACD是的等边三角形进而可证明AC=AD=EF，然后再证明∠BAD=90°，可证明EF∥AD，故此可得到四边形EFDA为平行四边形．
【详解】
解：（1）证明：∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴∠EBF=60°，AE=BE，∠EFB=90°．
又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠EFB=∠ACB，∠EBF=∠ABC．
∵BE=BA，
∴△ABC≌△EBF（AAS）.
（2）证明：∵△ABC≌△EBF，
∴EF=AC．
∵△ACD是的等边三角形，
∴AC=AD=EF，∠CAD=60°，
又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠EFA=∠BAD=90°，
∴EF∥AD．
又∵EF=AD，
∴四边形EFDA是平行四边形．
本题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质，解题的关键是掌握证明全等三角形的判定方法和证明平行四边形的判定方法.
17、3
【解析】
根据AD⊥BC得出∠ADB=∠ADC=90°，然后得出RT△BDF和RT△ADC全等，从而得出AD=BD=3，然后根据Rt△ABD的勾股定理求出AB的长度.
【详解】
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90°
在RT△BDF和RT△ADC中，
∴RT△BDF≌RT△ADC（HL）
∴AD=BD=3
在RT△ABD中，AB2= AD2+BD2
AB2= 32+32
AB=3
考点：(1)、三角形全等；(2)、勾股定理
18、（1）；（2）二；一；（3）乙，理由见解析．
【解析】
（1）求出一班的成绩总和除以人数即可得出一班的平均分；观察图即可得出一班众数；把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，即可得到二班的中位数；用二班合格的人数除以二班总人数即可得到二班的合格率；
（2）利用方差、优秀率、合格率的意义下结论即可；
（3）从平均数、众数、中位数对整体数据影响的情况考虑分析即可．
【详解】
解：（1）通过观察图中数据可得：
；
；
二班共有：人，
∵图中数据已经按照从小到大的顺序排列，
∴中位数为20、21的平均数，即：；
二班合格的人数有：人，总人数为40人，
∴，
故答案为：；
（2）一班方差为：2.11，二班方差为4.28，∴二班的成绩波动较大，
一班优秀率为20%，合格率为92.5%，二班的优秀率为10%，合格率为85%，∴一班的阅读水平更好些；
故答案为：二；一；
（3）乙同学的说法较合理，
平均分受极端值的影响，众数、中位数则是反映一组数据的集中趋势和平均水平，因此用众数和中位数进行分析要更加客观，二班的众数和中位数都比一班的要好，因此乙同学推断比较科学合理，更客观．
本题考查了众数、中位数、方差的意义及各个统计量反映数据的特征，准确把握各个统计量的意义是解决此类题目的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过点A作AB⊥OC于点C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标，再利用待定系数法可求出该直线l的解析式.
【详解】
设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过点A作AB⊥OC于点C
∴OB=3
∵经过原点的直线将图形分成面积相等的两部分
∴直线上方面积分是4
∴三角形ABO的面积是5
∴
∴
∴直线经过点
设直线l为
则

∴直线的函数关系式为
本题考查了一次函数，难点在于利用已知条件中的面积关系，熟练掌握一次函数相关知识点是解题关键.
20、
【解析】
本题采取分段收费，根据20本及以下单价为25元，20本以上，超过20本的部分打八折分别求出付款金额与购书数的函数关系式，再进行整理即可得出答案．
【详解】
解：根据题意得：
，
整理得：；
则付款金额（单位：元）与购书数量（单位：本）之间的函数关系是；
故答案为：．
本题考查了分段函数，理解分段收费的意义，明确每一段购书数量及相应的购书单价是解题的关键，要注意的取值范围．
21、1
【解析】
这组数据的平均数为：（-1+1+0+1+3）÷5=1，所以方差=[（-1-1）1+（0-1）1+（1-1）1+（1-1）1+（3-1）1]=1．
22、1
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，将x＝﹣2代入已知方程，通过一元一次方程来求a的值．
【详解】
解：根据题意知，x＝﹣2满足方程ax2+7x﹣2＝0，则1a﹣11﹣2＝0，即1a﹣16＝0，
解得，a＝1．
故答案是：1．
考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
23、
【解析】
根据运算顺序，先对括号里进行通分，给a的分子分母都乘以a，然后利用分式的减法法则，分母不变，只把分子相减，进而除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，并把a2-1分解因式，约分即可得到化简结果．
【详解】
解：
故答案为：
此题考查学生灵活运用通分、约分的方法进行分式的加减及乘除运算，是一道基础题．注意运算的结果必须是最简分式．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、130°
【解析】
先根据∠2与∠3互补，∠3=140°，得出AB∥CD，∠2=40°，再根据∠1和∠2互余，得到∠1的度数，最后根据平行线的性质，即可得到∠4的度数．
【详解】
∵∠2与∠3互补，∠3=140°，
∴AB∥CD，∠2=180°-140°=40°，
又∵∠1和∠2互余，
∴∠1=90°-40°=50°，
∵AB∥CD，
∴∠4=180°-∠1=180°-50°=130°．
本题主要考查了平行线的性质与判定以及余角和补角计算的应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
25、（1）；（2）
【解析】
（1）首先化简二次根式，进而利用二次根式加减运算法则得出答案；
（2）首先化简二次根式，然后先将括号中二次根式相减，然后再除即可得出答案.
【详解】
解：（1）原式
（2）原式
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
26、见解析.
【解析】
首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
【详解】
证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b1+ab，
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c1+a（b-a），
∴ab+b1+ab=ab+c1+a（b-a），
∴a1+b1=c1．
此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
班级
平均分
方差
中位数
众数
合格率
优秀率
一班
2.11
7
92.5%
20%
二班
6.85
4.28
8
10%