浙江省宁波市江北区2025届数学九上开学联考试题【含答案】

这是一份浙江省宁波市江北区2025届数学九上开学联考试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）计算的结果为（ ）
A．1B．C．D．0
2、（4分）如图，函数和的图象相交于A(m，3),则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）矩形各内角的平分线能围成一个（ ）
A．矩形B．菱形C．等腰梯形D．正方形
4、（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．1，1，C．6，8，11D．5，12，23
7、（4分）已知＝5﹣x，则x的取值范围是（ ）
A．为任意实数B．0≤x≤5C．x≥5D．x≤5
8、（4分）一次函数在平面直角坐标系内的图像如图所示，则k和b的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，线段AC的垂直平分线DE交AC于D交BC于E，则△ABE的周长为_____．
10、（4分）在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5和6两部分，则▱ABCD的周长为_____．
11、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于MN两点，作直线MN交AD于点E，则△CDE的周长是_____．
12、（4分）若为二次根式，则的取值范围是__________
13、（4分）若关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算
15、（8分）某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，现从甲、乙两商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为50元．甲商场称：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌椅均按报价的八五折销售．那么，学校应如何购买更优惠？
16、（8分）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AB//DC，AC=10，BD=1．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求平行四边形ABCD的面积．
17、（10分）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠. 书包每个定价20元，水性笔每支定价5元. 小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）. 设购买费用为元，购买水性笔支.
（1）分别写出两种优惠方法的购买费用与购买水性笔支数之间的函数关系式；
（2）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济.
18、（10分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE．求证：AF=BE．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）已知x+y=﹣1，xy=3，则x2y+xy2=_____．
20、（4分）有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是________
21、（4分）请写出一个比2小的无理数是___．
22、（4分）菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积是_____．
23、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝130°，在AD上取DE＝DC，则∠ECB的度数是_____度．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算和解方程.
(1)；
(2)解方程：.
25、（10分）2019年的暑假，李刚和他的父母计划去新疆旅游，他们打算坐飞机到乌鲁木齐，第二天租用一辆汽车自驾出游．

根据以上信息，解答下列问题：
（1）设租车时间为天，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于的函数表达式；
（2）请你帮助李刚，选择租用哪个公司的车自驾出游比较合算，并说明理由．
26、（12分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点的横坐标实数4，点在反比例函数的图象上.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）观察图象回答：当为何范围时，；
（3）求的面积.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
把分子根据完全平方公式化简后与分母约分即可.
【详解】
原式=.
故选A.
本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键，本题也考查了完全平方公式.
2、C
【解析】
解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，解得m=．
∴点A的坐标是（，3）．
∵当时，y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方，
∴不等式2x＜ax+4的解集为．
故选C．
3、D
【解析】
根据矩形的性质及角平分线的性质进行分析即可．
【详解】
矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°
又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，
所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形．
故选D．
此题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角
4、C
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可．
【详解】
A：是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B：不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C：是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D：是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
故答案选C．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的分辨，熟记轴对称和中心对称的有关概念是解题的关键．
5、C
【解析】
根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
解：A、不是最简二次根式，错误；
B、不是最简二次根式，错误；
C、是最简二次根式，正确；
D、不是最简二次根式，错误；
故选：C．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
6、B
【解析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．
【详解】
解：A、，故不是直角三角形，错误；
B、 ，故是直角三角形，正确；
C、 故不是直角三角形，错误；
D、故不是直角三角形，错误．
故选：B．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7、D
【解析】
根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可．
【详解】
∵，
∴5-x≥0，
解得：x≤5，
故选D．
本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0时，=a，当a≤0时，=-a．
8、A
【解析】
根据一次函数的图象经过的象限与系数的关系进行解答即可．
【详解】
∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、三象限，
∴k>0，b>0.
故选A.
本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握一次函数图象与系数的关系.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线得出AE=CE，求出△ABE的周长=AB+BC，代入求出即可．
【详解】
解：在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，由勾股定理得：BC=4，
∵线段AC的垂直平分线DE，
∴AE=EC，
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=1，
故答案为1．
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是本题的关键．
10、32或1
【解析】
根据平行四边形的性质可得∠DAE＝∠AEB，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝BE，然后再分两种情况计算即可.
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，BC＝BE+EC，
①当BE＝5，EC＝6时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（5+5+6）＝32；
②当BE＝6，EC＝5时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（6+6+5）＝1．
故答案为32或1．
平行四边形的性质及等腰三角形的性质、角平分线的性质是本题的考点，根据其性质求得AB＝BE是解题的关键.
11、1
【解析】
利用垂直平分线的作法得MN垂直平分AC，则EA＝EC，利用等线段代换得到△CDE的周长＝AD＋CD，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值．
【详解】
解：利用作图得MN垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴△CDE的周长＝CE+CD+ED
＝AE+ED+CD
＝AD+CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，
∴△CDE的周长＝6+4＝1．
故答案为1．
本题考查了作图−基本作图，也考查了平行四边形的性质.解题的关键是熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
12、
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0，即可求m的取值范围．
【详解】
解：根据题意得：3-m≥0，
解得．
主要考查了二次根式的意义和性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13、且
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是非负数，确定出a的范围即可．
【详解】
去分母得：，即，
由分式方程的解为非负数，得到≥0，且≠2，
解得：且，
故答案为：且．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)；(2)1.
【解析】
(1)先根据二次根式的乘法法则和除法法则进行化简,然后再根据二次根式加减法法则进行计算即可,\
(2)根据平方差公式进行计算即可,
【详解】
解:,
,
,
,
,
．
本题主要考查二次根式的乘除,加减计算,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的乘除,加减法法则.
15、当购买的餐椅大于等于9少于32把时，到甲商场购买更优惠．
【解析】
试题分析：设学校购买12张餐桌和把餐椅，到购买甲商场的费用为元，到乙商场购买的费用为元，根据“甲商场称：每购买一张餐桌赠送一把餐椅；乙商场规定：所有餐桌椅均按报价的八五折销售”即可列不等式求解.
解：设学校购买12张餐桌和把餐椅，到购买甲商场的费用为元，到乙商场购买的费用为元，则有
当，即时，
答：当学校购买的餐椅少于32把时，到甲商场购买更优惠。
考点：一元一次不等式的应用
点评：解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等关系，列出不等式求解．
16、 (1)证明见解析；(2)2．
【解析】
（1）先证明△AOB≌△COD，可得OD=OB，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证结论；
（2）先根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】
解：（1）∵AB//DC，
∴∠1=∠2 ， ∠3=∠4
又∵AO=CO，
∴△AOB≌△COD，
∴OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴平行四边形ABCD的面积为S=AC×BD=2．
本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法和菱形的判定方法是解答本题的关键．
17、（1）方法①；方法②；（2）方案①购买更省钱，理由见解析
【解析】
（1）分别表示两种优惠方法的费用与购买水笔的只数之间的关系，
（2）分别求出两种方案下当x=12时y的值，比较并做出判断．
【详解】
解：（1）方法①：，即；
方法②：，即
（2）按方法①购买需要元；
按方法②购买需要元
答：按照方案①购买更省钱
考查一次函数的图象和性质、根据题意写出函数关系式是解题的关键．
18、证明见解析.
【解析】
根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴∠CBM+∠ABF=90°，
∵CE⊥BF，
∴∠ECB+∠MBC=90°，
∴∠ECB=∠ABF，
在△ABF和△BCE中，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BE=AF．
考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、-1
【解析】
直接利用提取公因式法分解因式，进而把已知数据代入求出答案．
【详解】
解：∵x+y=﹣1，xy=1，∴x2y+xy2=xy（x+y）
=1×（﹣1）
=﹣1．
故答案为﹣1．
本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题的关键．
20、1
【解析】
设第三个数是，①若为最长边，则，不是整数，不符合题意；② 若17为最长边，则，三边是整数，能构成勾股数，符合题意，故答案为1．
21、（答案不唯一）．
【解析】
根据无理数的定义写出一个即可．
【详解】
解：比2小的无理数是，
故答案为：（答案不唯一）．
本题考查了无理数的定义，能熟记无理数是指无限不循环小数是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
22、1
【解析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【详解】
解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4，
∴菱形的面积=×3×4=1．
故答案为：1．
本题考查了菱形的性质，菱形的面积通常有两种求法，可以用底乘以高，也可以用对角线乘积的一半求解，计算时要根据具体情况灵活运用．
23、65°．
【解析】
利用平行四边形对角相等和邻角互补先求出∠BCD和∠D，再利用等边对等角的性质解答．
【详解】
在平行四边形ABCD中，∠A=130°，
∴∠BCD=∠A=130°，∠D=180°-130°=50°，
∵DE=DC，
∴∠ECD=（180°-50°）=65°，
∴∠ECB=130°-65°=65°．
故答案为65°．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)24；(2)
【解析】
（1）根据有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，即可得出结果；
（2）先找到公分母去分母，再去括号化简，然后解一元一次方程即可.
【详解】
解：(1)



(2)解方程：
解：
本题考查有理数的混合运算以及解一元一次方程；有理数的混合运算要注意运算顺序，并且一定要注意符号问题，比较容易出错；解一元一次方程有分母的要先去分母，去分母的时候注意给分子添括号，然后再去括号，这样不容易出错.
25、（1），；（2）租用乙公司的车比较合算，理由见解析．
【解析】
（1）设，将代入即可求出关于的函数表达式，然后设，把，代入即可求出关于的函数表达式；
（2）根据题意，分别求出、和时，x的取值范围，从而得出结论．
【详解】
解：（1）设，把代入得，．
∴．
设，把，代入得，
解得
∴．
（2）当，即时，；
当，即时，；
当，即时，．
所以，他们自驾出游大于5天时，选择方案二，租用乙公司的车比较合算；他们自驾出游等于5天时，两家公司的费用相同；他们自驾出游小于5天时，选择方案一，租用甲公司的车比较合算．
此题考查的是一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解决此题的关键．
26、（1）反比例函数的表达式为y=；（2）x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＞y2；（3）△PAB的面积为1．
【解析】
（1）利用一次函数求得B点坐标，然后用待定系数法求得反函数的表达式即可；
（2）观察图象可知，反函数的图象在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围就是不等式y1＞y2的解；
（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，由点A与点B关于原点对称，得出OA=OB，则S△AOP=S△BOP，即S△PAB=2S△AOP，再求出点P的坐标，利用待定系数法求得直线AP的函数解析式，得到点C的坐标，然后根据S△AOP=S△AOC+S△POC，即可求得结果.
【详解】
（1）将x=2代入y2=得：y=1，
∴B（2，1），
∴k=xy=2×1=2，
∴反比例函数的表达式为y=；
（2）由正比例函数和反比例函数的对称性可知点A的横坐标为﹣2．
∵y1＞y2，
∴反比例函数图象位于正比例函数图象上方，
∴x＜﹣2或0＜x＜2；
（3）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，
设AP与y轴交于点C，如图，
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△AOP=S△BOP，
∴S△PAB=2S△AOP，
y1=中，当x=1时，y=2，
∴P（1，2），
设直线AP的函数关系式为y=mx+n，
把点A（﹣2，﹣1）、P（1，2）代入y=mx+n，
得，
解得m=3，n=1，
故直线AP的函数关系式为y=x+3，
则点C的坐标（0，3），OC=3，
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
=OC•AR+OC•PS
=×3×2+×3×1
=，
∴S△PAB=2S△AOP=1．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人