重庆市渝北区实验中学2024年数学九上开学统考试题【含答案】

这是一份重庆市渝北区实验中学2024年数学九上开学统考试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是（ ）
A．4+3B．2C．2+6D．4
2、（4分）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．0
3、（4分）下列运算正确的是( )
A．B．C．D．
4、（4分）如果平行四边形两条对角线的长度分别为，那么边的长度可能是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分） “a是正数”用不等式表示为（ ）
A．a≤0 B．a≥0 C．a＜0 D．a＞0
6、（4分）下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )
A．B．C．D．
7、（4分）一组数据的众数、中位数分别是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）如图，在中，度.以的三边为边分别向外作等边三角形，，，若，的面积分别是8和3，则的面积是（ ）
A．B．C．D．5
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是__________________________．
10、（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝4，BD＝7，CD＝3，则△ABO周长是__．
11、（4分）化简：（+2）（﹣2）=________．
12、（4分）若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是________．
13、（4分）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，以AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，点C为直角顶点，连接OC.
(1)直接写出= ;
(2)请你过点C作CE⊥y轴于E点，试探究OB+OA与CE的数量关系，并证明你的结论；
(3)若点M为AB的中点，点N为OC的中点，求MN的值；
(4)如图2，将线段AB绕点B沿顺时针方向旋转至BD，且OD⊥AD，延长DO交直线于点P，求点P的坐标.
15、（8分）某校八年级在一次广播操比赛中，三个班的各项得分如下表：
(1) 填空：根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是_________；在动作准确方面最有优势的是_________班
(2) 如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面按20%、30%、50%的比例计算各班的得分，请通过计算说明哪个班的得分最高．
16、（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣2x+a与y轴交于点C （0，6），与x轴交于点B．
（1）求这条直线的解析式；
（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．
①求n的值及直线AD的解析式；
②求△ABD的面积；
③点M是直线y=﹣2x+a上的一点（不与点B重合），且点M的横坐标为m，求△ABM的面积S与m之间的关系式．
17、（10分）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
18、（10分）为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如图的折线图，请根据图象回答下列问题；
(1)当用电量是180千瓦时时，电费是__________元；
(2)第二档的用电量范围是__________；
(3)“基本电价”是__________元/千瓦时；
(4)小明家8月份的电费是1．5元，这个月他家用电多少千瓦时？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，矩形OABC中，D为对角线AC，OB的交点，直线AC的解析式为，点P是y轴上一动点，当的周长最小时，线段OP的长为______．
20、（4分）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则的值为______.
21、（4分）如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF，若AE＝1，则EF的值为__．
22、（4分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC＝65°，则∠BCD＝_____．
23、（4分）四边形ABCD中，已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加的边的条件是_________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知非零实数满足，求的值．
25、（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，点E，F分别是AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．
26、（12分）计算：
解方程：
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
【详解】
解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC=PF，
∵PB=EF，
∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴tan∠ACB==，
∴∠ACB=30°，AC=2AB=，
∵∠BCE=60°，
∴∠ACE=90°，
∴AE==.
故选B．
本题考查轴对称—最短问题、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2、D
【解析】
分析：根据根与系数的关系可得出x1x2=1，此题得解．
详解：∵一元二次方程x2﹣2x=1的两根分别为x1和x2，
∴x1x2=1．
故选D．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．
3、D
【解析】
根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，二次根式加减的运算法则逐一判断得出答案．
【详解】
解：A.7a与2b不是同类项，不能合并，故错误；
B.，故错误；
C.，故错误；
D.，故正确.
故选：D.
本题考查了整式的运算以及二次根式的加减，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
4、B
【解析】
根据平行四边形的对角线互相平分确定对角线的一半的长，然后利用三角形的三边关系确定边长的取值范围，从该范围内找到一个合适的长度即可．
【详解】
设平行四边形ABCD的对角线交于O点，
∴OA=OC=4，OB=OD=6，
∴6-4＜BC＜6+4，
∴2＜BC＜10，
∴6cm符合，
故选：B．
考查了三角形的三边关系及平行四边形的性质，解题的关键是确定对角线的一半并根据三边关系确定边长的取值范围，难度不大．
5、D
【解析】
正数即“＞0”可得答案．
【详解】
“a是正数”用不等式表示为a＞0，
故选D．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
6、C
【解析】
根据完全平方公式的形式即可判断.
【详解】
∵=(x-2)2
故选C.
此题主要考查公式法因式分解，解题的关键是熟知完全平方公式的形式特点.
7、B
【解析】
利用众数和中位数的定义分析，即可得出.
【详解】
众数：出现次数最多的数，故众数为5；
中位数：从小到大排列，中间的数.将数据从小到大排列：2,3,4,5,5；故中位数为4；
故选B
本题考查了统计中的众数和中位数，属于基础题，注意求中位数时，要重新排列数字，再找中位数.
8、D
【解析】
先设AC＝b，BC＝a，AB＝c，根据勾股定理有c2＋b2＝a2，再根据等式性质可得c2＋b2＝a2，再根据等边三角形的性质以及特殊三角函数值，易求得S3＝×sin60°a•a＝a2，同理可求S2＝b2，S1＝c2，从而可得S1＋S2＝S3，易求S1.
【详解】
解：如图，设等边三角形△A'BC，△AB'C，△ABC'的面积分别是S3，S2，S1，
设AC＝b，BC＝a，AB＝c，
∵△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90度，
∴c2＋b2＝a2，
∴c2＋b2＝a2，
又∵S3＝×sin60°a•a＝a2，同理可求S2＝b2，S1＝c2，
∴S1＋S2＝S3，
∵S3＝8，S2＝3，
∴S1＝S3−S2＝8−3＝5，
故选：D．
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质、特殊三角函数值的应用．解题关键是根据等边三角形的性质求出每一个三角形的面积．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、50（1﹣x）2=1．
【解析】
由题意可得，
50(1−x)²=1，
故答案为50(1−x)²=1.
10、8.1．
【解析】
直接利用平行四边形的性质得出AO＝CO＝2，BO＝DO＝，DC＝AB＝3，进而得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD＝3，
∵AC＝4，BD＝7，
∴AO＝2，OB＝，
∴△ABO的周长＝AO+OB+AB＝2++3＝8.1．
故答案为：8.1．
此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算，正确得出AO+BO的值是解题关键．
11、1
【解析】
根据平方差公式，（+2）（﹣2）=（）2﹣22=5﹣4=1．
故答案为：1．
12、1
【解析】
先根据平均数的定义求出x的值，然后根据中位数的定义求解．
【详解】
由题意可知，（1+a+7+8+3）÷5=5，
a=3，
这组数据从小到大排列3，3，1，7，8，
所以，中位数是1．
故答案是：1．
考查平均数与中位数的意义．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
13、
【解析】
根据图像即可得出答案.
【详解】
∵
即的函数图像在的下方
∴x>-2
故答案为x>-2
本题考查的是一次函数，难度适中，需要熟练掌握一次函数的图像与性质.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1） 4；（2）OB+OA=2CE；见解析；（3）MN=；（4）P（，）．
【解析】
(1)令x=0，求出y的值，令y=0，求出x的值，即可得出OA，OB的长，根据三角形面积公式即可求出结果；
（2）过点C作CF⊥x轴，垂足为点F，易证△CEB≌△CFA与四边形CEOF是正方形，从而得AF=BE，CE=BE=OF，由OB=OE-BE，AO=OF+AF可得结论；
（3）求出C点坐标，利用中点坐标公式求出点M，N的坐标，进而用两点间的距离公式求解即可得出结论；
（4）先判断出点B是AQ的中点，进而求出Q的坐标，即可求出DP的解析式，联立成方程组求解即可得出结论．
【详解】
（1）∵直线y=-x+2交坐标轴于A，B两点，
令x=0，则y=2，令y=0，则x=4,
∴BO=2，AO=4，
∴=；
（2）作CF⊥x轴于F，作CE⊥y轴于E，如图，
∴∠BFC=∠AEC=90°
∵∠EOF=90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴CF=OE，CE=OF，∠ECF=90°，
∵∠ACB=90°
∴∠BCF=∠ACE，
∵BC=AC，
∴△CFB≌△CEA，
∴CF=CE，AF=BE，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE=OF=CE=CF，
∴OB=OE-BE，OA=OF+AF，
∴OB+OA=OE+OF=2CE；
（3）由（2）得CE=3，
∴OE=3，
∴OF=3，
∴C（3，3）；
∵M是线段AB的中点，而A（4，0），B（0，2），
∴M（2，1），
同理：N（，），
∴MN=；
（3）如图②延长AB，DP相交于Q，
由旋转知，BD=AB，
∴∠BAD=∠BDA，
∵AD⊥DP，
∴∠ADP=90°，
∴∠BDA+∠BDQ=90°，∠BAD+∠AQD=90°，
∴∠AQD=∠BDQ，∴BD=BQ，
∴BQ=AB，
∴点B是AQ的中点，
∵A（4，0），B（0，2），
∴Q（-4，4），
∴直线DP的解析式为y=-x①，
∵直线DO交直线y=x+5②于P点，
联立①②解得，x=-，y=，
∴P（-，）．
此题是一次函数综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，中点坐标公式，两点间的距离公式，求出点C的坐标是解本题的关键．
15、（1）89；八（1）；（2）八（1）班得分最高．
【解析】
（1）用算术平均数的计算方法求得三个班的服装统一的平均数，找到动作准确的分数最高即可；
（2）利用加权平均数分别计算三个班的得分后即可得解．
【详解】
解：（1）服装统一方面的平均分为：=89分；
动作准确方面最有优势的是八（1）班；
故答案为：89；八（1）；
（2）∵八（1）班的平均分为：=84.7分；
八（2）班的平均分为：=82.8分；
八（3）班的平均分为：=83.9分；
∴得分最高的是八（1）班．
本题考查了平均数和加权平均数的计算．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数与原数据的单位相同，不要漏单位．
16、（1）y=﹣2x+2（2）①y=4x+3 ②24 ③S=2m-1．
【解析】
（1）利用待定系数法可求函数的解析式；
（2）①根据题意直接代入函数的解析式求出n，得到D点的坐标，然后由A、D点的坐标，由待定系数法求出AD的解析式；
②构造三角形直接求面积；
③由点M在直线y=-2x+2得到M的坐标，构造三角形，然后分类求解即可.
【详解】
解：（1）∵直线y=﹣2x+a与y轴交于点C （0，2），∴a=2，
∴该直线解析式为y=﹣2x+2．
（2）①∵点D（﹣1，n）在直线BC上，
∴n=﹣2×（﹣1）+2=8，
∴点D（﹣1，8）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将点A（﹣3，0）、D（﹣1，8）代入y=kx+b中，
得：，解得：，
∴直线AD的解析式为y=4x+3．
②令y=﹣2x+2中y=0，则﹣2x+2=0，解得：x=3，∴点B（3，0）．
∵A（﹣3，0）、D（﹣1，8），∴AB=2．
S△ABD=AB•yD=×2×8=24
③∵点M在直线y=-2x+2上，∴M（m，-2m+2），
当m＜3时，S=
即；
当m＞3时，
即S=2m-1．
17、（1）证明见解析；（2）BM=ME=；（3）证明见解析.
【解析】
（1）如图1，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可.
（2）如图2，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线.
（3）如图3，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME.
【详解】
（1）如图1，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD.
∴点B为线段AD的中点.
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线.
∴BM∥CF.
（2）如图2，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=AD=a，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点.
∴BM=DF.
分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a.
∴点E为FG中点，又点M为AF中点.
∴ME=AG.
∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a.
∴BM=ME=.
（3）如图3，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD.
∴点B为AD中点.
又点M为AF中点，∴BM=DF.
延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG.
∴点E为FG中点.
又点M为AF中点，∴ME=AG.
在△ACG与△DCF中，∵，
∴△ACG≌△DCF（SAS）.
∴DF=AG，∴BM=ME.
18、（1）128；
（2）182＜x≤442；
（3）2．6；
（4）这个月他家用电422千瓦时．
【解析】
试题分析：（1）通过函数图象可以直接得出用电量为182千瓦时，电费的数量；
（2）从函数图象可以看出第二档的用电范围；
（3）运用总费用÷总电量就可以求出基本电价；
（4）结合函数图象可以得出小明家8月份的用电量超过442千瓦时，先求出直线BC的解析式就可以得出结论．
解：（1）由函数图象，得
当用电量为182千瓦时，电费为：128元．
故答案为128；
（2）由函数图象，得
设第二档的用电量为x千瓦时，则182＜x≤442．
故答案为182＜x≤442；
（3）基本电价是：128÷182=2.6；
故答案为2.6
（4）设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
y=2.9x﹣121.4．
y=1.4时，
x=422．
答：这个月他家用电422千瓦时．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据题意可以得到点A、B、C的坐标和点D的坐标，然后最短路径问题可以求得点P的坐标，从而可以求得OP的长．
【详解】
解：作点D关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P即为所求，
直线AC的解析式为，
当时，，当时，，
点A的坐标为，点C的坐标为，
点D的坐标为，点B的坐标为，
点的坐标为，
设过点B和点的直线解析式为，
，
解得，，
过点B和点的直线解析式为，
当时，，
即点P的坐标为，
.
故答案为．
本题考查一次函数的性质、矩形的性质、最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
20、
【解析】
直线y=-2x+b与x轴的交点为（ ，0），与y轴的交点是（0，b），由题意得，，求解即可．
【详解】
∵直线y=-2x+b与x轴的交点为（ ，0），与y轴的交点是（0，b），直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是1，
∴，
解得：b=±1．
故答案为：．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题需注意在计算平面直角坐标系中的三角形面积时，用不确定的未知字母来表示线段长时，应该使用该字母的绝对值表示．
21、
【解析】
根据题意可得AB＝2，∠ADE＝∠CDF，可证△ADE≌△DCF，可得CF＝1，根据勾股定理可得EF的长．
【详解】
∵ABCD是正方形
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°
∵DF⊥DE
∴∠EDC+∠CDF＝90°且∠ADE+∠EDC＝90°
∴∠ADE＝∠CDF，且AD＝CD，∠A＝∠DCF＝90°
∴△ADE≌△CDF（SAS）
∴AE＝CF＝1
∵E是AB中点
∴AB＝BC＝2
∴BF＝3
在Rt△BEF中，EF＝＝
故答案为．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，证明△ADE≌△DCF是本题的关键．
22、25°．
【解析】
在Rt△ABC中，∠BAC＝65°，所以∠ABC＝90°－65°＝25°．又AB∥CD，所以∠BCD＝∠ABC＝25°．
23、（答案不唯一）
【解析】
根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可得出答案．
【详解】
根据平行四边形的判定，可再添加一个条件：
故答案为：（答案不唯一）
本题考查平行四边形的判定，掌握常见的判定方法是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、1
【解析】
由题设知a≥3，化简原式得，根据非负数的性质先求出a，b的值，从而求得a+b的值．
【详解】
解：∵a≥3，
∴原等式可化为，
∴b+2=0且（a-3）b2=0，
∴a=3，b=-2，
∴a+b=1．
本题考查了二次根式有意义的条件及非负数的性质，几个非负数的和为零，则每一个数都为零.
25、证明见解析.
【解析】
先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=AB=AE，DF=AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形.
【详解】
解：∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴Rt△ABD中，DE=AB=AE，
Rt△ACD中，DF=AC=AF，
又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE=AF，
∴AE=AF=DE=DF，
∴四边形AEDF是菱形．
本题主要考查了菱形的判定与性质的运用，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形.
26、（1）；（2），
【解析】
（1）利用二次根式的混合运算法则及顺序进行计算即可；
（2）利用提公因式法求解即可.
【详解】
（1）
=
=；
（2）提取公因式可得：，
∴或，
解得：，.
本题主要考查了二次根式的混合运算以及解一元二次方程，熟练掌握相关方法是解题关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
服装统一
动作整齐
动作准确
八（1）班
80
84
87
八（2）班
97
78
80
八（3）班
90
78
85