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高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 不等式性质习题
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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.1 不等式性质习题，共9页。试卷主要包含了5＜150 B，已知p，已知点M等内容，欢迎下载使用。
1.（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A.若3a＞3b，则a＞b
B.若a＞b＞0，则a2＞b2
C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D.若a＜b＜0，则1a＞1b
2.（多选）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（ ）
A.c2＜cd B.a－c＜b－d
C.ac＞bd D.ca－db＞0
3.若a＝ln22，b＝ln33，则a b（填“＞”或“＜”）.
4.设M＝x2＋y2＋1，N＝2（x＋y－1），则M与N的大小关系为 .
5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是 .
（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.若a＜b，则ac2＜bc2
B.若b＞a＞0，则a+2b+2＞ab
C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
D.若ab＞0，a＞b，则1a＜1b
比较两个数（式）的大小
1.设a，b∈[0，＋∞），A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是（ ）
A.A≤B B.A≥B
C.A＜B D.A＞B
2.若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为（ ）
A.p＜q B.p≤q
C.p＞q D.p≥q
3.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则（ ）
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
不等式的基本性质
【例1】 （1）已知a，b∈R，满足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则（ ）
A.1a＜1b B.ba＋ab＞0
C.a2＞b2 D.a＜｜b｜
（2）（多选）若1a＜1b＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A.1a＋b＜1ab B.｜a｜＋b＞0
C.a－1a＞b－1b D.ln a2＞ln b2
1.已知x，y∈R，且x＋y＞0，则（ ）
A.1x＋1y＞0 B.x3＋y3＞0
C.lg（x＋y）＞0 D.sin（x＋y）＞0
2.（多选）已知a＞b＞c，ac＞0，则下列关系式一定成立的是（ ）
A.c2＞bc B.bc（a－c）＞0
C.a＋b＞c D.cb＋bc＞2
【例2】 已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是 ，3x＋2y的取值范围是 .
（变设问）若本例条件不变，则x+1y的取值范围为 .
1.已知1＜a＜b＜3，则a－b的取值范围是 ，ab的取值范围是 .
2.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，则3x＋2y的取值范围为 .
1.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2b＋2，n＝2a－b，则（ ）
A.m≥n B.m＞n
C.m≤n D.m＜n
2.已知a＋b＜0，且a＞0，则（ ）
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2
C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
3.若a＞0，b＞0，则p＝（ab）a＋b2与q＝abba的大小关系是（ ）
A.p≥q B.p≤q
C.p＞q D.p＜q
4.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A.4×x0.5＜150 B.4×x0.5≥150
C.4×x0.5≤150 D.4×x0.5＞150
5.已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是（ ）
A.xy＞yz B.xy＞xz
C.xz＞yz D.x｜y｜＞｜y｜z
6.（多选）已知a＞b≥2，则（ ）
A.b2＜3b－a B.a3＋b3＞a2b＋ab2
C.ab＞a＋b D.12＋2ab＞1a＋1b
7.已知p：a＞｜b｜，q：a2＞b2，则p是q的 条件.
8.（1）已知a＋b＞0，试比较ab2＋ba2与1a＋1b的大小；
（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a＋bb≤c＋dd.
9.已知点M（x0，y0）在直线3x＋y＋2＝0上，且满足x0＞y0－1，则y0x0的取值范围为（ ）
A.－3,−13
B.（－∞，－3）∪－13，＋∞
C.（－∞，－3]∪－13，＋∞
D.－3,−13
10.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A.1x－1y＞0 B.sin x－sin y＞0
C.（12）x－（12）y＜0 D.ln x＋ln y＞0
11.（多选）设a，b为正实数，下列命题正确的有（ ）
A.若a2－b2＝1，则a－b＜1
B.若1b－1a＝1，则a－b＜1
C.若｜a－b｜＝1，则｜a－b｜＜1
D.若｜a3－b3｜＝1，则｜a－b｜＜1
12.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②1a＜1b；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .
13.若α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α+2β≤3，则α＋3β的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c满足f（1）＝0，且a＞b＞c，则ca的取值范围是 .
15.若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜.
（1）求证：b＋c＞0；
（2）求证：b＋c（a－c）2＜a＋d（b－d）2；
（3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足b＋c（a－c）2＜所求式＜a＋d（b－d）2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
16.求证：2（n+1－1）＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n（n∈N*）.
第三节不等式性质及应用【解析版】
1.（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A.若3a＞3b，则a＞b
B.若a＞b＞0，则a2＞b2
C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D.若a＜b＜0，则1a＞1b
解析：ABD C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2，故C错误.
2.（多选）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（ ）
A.c2＜cd B.a－c＜b－d
C.ac＞bd D.ca－db＞0
解析：AD 对于A，c2－cd＝c（c－d）＜0，所以A正确；对于B，a－c－（b－d）＝（a－b）－（c－d），无法判断与0的大小关系，所以B错误；对于C，不妨设a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，所以C错误；对于D，ca－db＝bc－adab＞ac－adab＝a（c－d）ab＞0，所以D正确.故选A、D.
3.若a＝ln22，b＝ln33，则a b（填“＞”或“＜”）.
答案：＜
解析：易知a，b都是正数，ba＝2ln33ln2＝lg89＞1，所以b＞a.
4.设M＝x2＋y2＋1，N＝2（x＋y－1），则M与N的大小关系为 .
答案：M＞N
解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝（x－1）2＋（y－1）2＋1＞0.故M＞N.
5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是 .
答案：（－7，12）
解析：∵－3＜b＜5，∴－6＜2b＜10，又－1＜a＜2，∴－7＜a＋2b＜12.
（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.若a＜b，则ac2＜bc2
B.若b＞a＞0，则a+2b+2＞ab
C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
D.若ab＞0，a＞b，则1a＜1b
比较两个数（式）的大小
1.设a，b∈[0，＋∞），A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是（ ）
A.A≤B B.A≥B
C.A＜B D.A＞B
解析：B 由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2.若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为（ ）
A.p＜q B.p≤q
C.p＞q D.p≥q
解析：B p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝（b2－a2）·1a－1b＝（b2－a2)(b－a）ab＝（b－a）2（b＋a）ab，∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q.故选B.
3.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则（ ）
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
解析：B 法一 易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝lg8164＜1，∴a＞b；bc＝5ln44ln5＝lg6251 024＞1，∴b＞c.即c＜b＜a.
法二 构造函数f（x）＝lnxx，则f'（x）＝1－lnxx2，由f'（x）＞0，得0＜x＜e；由f'（x）＜0，得x＞e.∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减.∴f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c.
不等式的基本性质
【例1】 （1）已知a，b∈R，满足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则（ ）
A.1a＜1b B.ba＋ab＞0
C.a2＞b2 D.a＜｜b｜
（2）（多选）若1a＜1b＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A.1a＋b＜1ab B.｜a｜＋b＞0
C.a－1a＞b－1b D.ln a2＞ln b2
答案：（1）C （2）AC
解析：（1）因为ab＜0，a＞b，则a＞0，b＜0，1a＞0，1b＜0，A不正确；ba＜0，ab＜0，则ba＋ab＜0，B不正确；又a＋b＞0，即a＞－b＞0，则a2＞（－b）2，a2＞b2，C正确；由a＞－b＞0得a＞｜b｜，D不正确.
（2）由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.A中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜0，1ab＞0.故有1a＋b＜1ab，即A正确；B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B错误；C中，因为1a＜1b＜0，则－1a＞－1b＞0，0＞a＞b，所以a－1a＞b－1b，故C正确；D中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在（－∞，0）上单调递减，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域（0，＋∞）上是增函数，所以ln b2＞ln a2，故D错误.
1.已知x，y∈R，且x＋y＞0，则（ ）
A.1x＋1y＞0 B.x3＋y3＞0
C.lg（x＋y）＞0 D.sin（x＋y）＞0
解析：B 对于A，令x＝1，y＝－12，显然1x＋1y＝1－2＜0，错误；对于B，x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）＝（x＋y）［（x－12y）2＋34y2］≥0，又x＝12y，y＝0不能同时成立，故（x＋y）［（x－12y）2＋34y2］＞0，正确；对于C，取x＝1，y＝0，则lg（x＋y）＝0，错误；对于D，取x＝1，y＝3，则sin（x＋y）＝sin 4＜0，错误.故选B.
2.（多选）已知a＞b＞c，ac＞0，则下列关系式一定成立的是（ ）
A.c2＞bc B.bc（a－c）＞0
C.a＋b＞c D.cb＋bc＞2
解析：BD 因为ac＞0，所以a＞b＞c＞0或0＞a＞b＞c，当a＞b＞c＞0时，bc＞c2，A不成立，bc（a－c）＞0，a＋b＞c，由cb＞0，bc＞0，故cb＋bc≥2cb·bc＝2，当且仅当cb＝bc，即b＝c时，等号成立，因为b＞c，故等号不成立，故cb＋bc＞2；当0＞a＞b＞c时，bc（a－c）＞0，不妨设0＞－1＞－2＞－3，则a＋b＝c，故C不成立；由cb＞0，bc＞0，故cb＋bc≥2cb·bc＝2，当且仅当cb＝bc，即b＝c时，等号成立，因为b＞c，故等号不成立，故cb＋bc＞2.综上：B、D一定成立，故选B、D.
不等式性质的应用
【例2】 （教材题改编）已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是 ，3x＋2y的取值范围是 .
答案：（－4，2） （1，18）
解析：因为－1＜x＜4，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.由－3＜3x＜12，4＜2y＜6，得1＜3x＋2y＜18.
（变设问）若本例条件不变，则x+1y的取值范围为 .
答案：（0，52）
解析：∵－1＜x＜4，∴0＜x＋1＜5，又2＜y＜3，13＜1y＜12，∴0＜x+1y＜52.
1.已知1＜a＜b＜3，则a－b的取值范围是 ，ab的取值范围是 .
答案：（－2，0） （13，1）
解析：因为1＜a＜b＜3，所以1＜a＜3，－3＜－b＜－1，所以－2＜a－b＜2，因为a＜b，所以－2＜a－b＜0；因为13＜1b＜1，1＜a＜b，所以13＜ab＜1.
2.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，则3x＋2y的取值范围为 .
答案：（92，192）
解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是λ＋μ=3，μ－λ=2，解得λ＝12，μ＝52，∴3x＋2y＝12（x－y）＋52（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－12＜12（x－y）＜2，5＜52（x＋y）＜152，∴92＜12（x－y）＋52（x＋y）＜192.故3x＋2y的取值范围是（92，192）.
1.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2b＋2，n＝2a－b，则（ ）
A.m≥n B.m＞n
C.m≤n D.m＜n
解析：A 由题意可知，m－n＝a－2b＋2－2a＋b＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n，故选A.
2.已知a＋b＜0，且a＞0，则（ ）
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2
C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
解析：A 法一 由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因为0＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2，故选A.
法二 令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，故选A.
3.若a＞0，b＞0，则p＝（ab）a＋b2与q＝abba的大小关系是（ ）
A.p≥q B.p≤q
C.p＞q D.p＜q
解析：A pq＝（ab）a＋b2abba＝aa－b2bb－a2＝（ab）a－b2，若a＞b＞0，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，∴pq＞1，若a＝b，则pq＝1，∴p≥q.故选A.
4.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A.4×x0.5＜150 B.4×x0.5≥150
C.4×x0.5≤150 D.4×x0.5＞150
解析：B 由题意知导火索燃烧的时间为x0.5秒，人在此时间内跑的路程为（4×x0.5）米，由题意可得4×x0.5≥150，故选B.
5.已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是（ ）
A.xy＞yz B.xy＞xz
C.xz＞yz D.x｜y｜＞｜y｜z
解析：B 因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定，对于A，因为x＞0＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；对于D，因为x＞z，当｜y｜＝0时，x｜y｜＝｜y｜z，故D错误.
6.（多选）已知a＞b≥2，则（ ）
A.b2＜3b－a B.a3＋b3＞a2b＋ab2
C.ab＞a＋b D.12＋2ab＞1a＋1b
解析：BC a＞b≥2，取a＝3，b＝2，则b2＜3b－a不成立，故A不成立；a3＋b3－（a2b＋ab2）＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）2（a＋b）＞0，故B成立；ab－a－b＝a（b－1）－b＝（b－1）（a－bb－1）＝（b－1）·a－（1+1b－1）＞0，故C成立；12＋2ab－1a－1b＝（a－2)(b－2）2ab≥0，故D不成立.故选B、C.
7.已知p：a＞｜b｜，q：a2＞b2，则p是q的 条件.
答案：充分不必要
解析：当a＞｜b｜时，易得a＞｜b｜≥0，故a2＞b2，充分性成立；当a2＞b2时，则｜a｜＞｜b｜，当a＞0时，a＞｜b｜，当a＜0时，－a＞｜b｜，必要性不成立.故p是q的充分不必要条件.
8.（1）已知a＋b＞0，试比较ab2＋ba2与1a＋1b的大小；
（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a＋bb≤c＋dd.
解：（1）ab2＋ba2－（1a＋1b）＝a－bb2＋b－aa2
＝（a－b）·（1b2－1a2）＝（a＋b)(a－b）2a2b2.
∵a＋b＞0，（a－b）2≥0，∴（a＋b)(a－b）2a2b2≥0.
∴ab2＋ba2≥1a＋1b.
（2）证明：∵bc≥ad，1bd＞0，∴cd≥ab，
∴cd＋1≥ab＋1，∴a＋bb≤c＋dd.
9.已知点M（x0，y0）在直线3x＋y＋2＝0上，且满足x0＞y0－1，则y0x0的取值范围为（ ）
A.－3,−13
B.（－∞，－3）∪－13，＋∞
C.（－∞，－3]∪－13，＋∞
D.－3,−13
解析：B 由题意3x0＋y0＋2＝0，y0＝－3x0－2，∵x0＞y0－1，∴x0＞－3x0－2－1，解得x0＞－34，y0x0＝－3x0－2x0＝－3－2x0，∵x0＞－34且x0≠0，∴1x0＜－43或1x0＞0，∴－3－2x0＜－3或－3－2x0＞－13.故选B.
10.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A.1x－1y＞0 B.sin x－sin y＞0
C.（12）x－（12）y＜0 D.ln x＋ln y＞0
解析：C 对于A，函数f（x）＝1x在（0，＋∞）上单调递减，所以由x＞y＞0得1x＜1y，即1x－1y＜0，A错误；对于B，当x＝π，y＝π2时满足x＞y＞0，而sin x＝sin π＝0＜1＝sinπ2＝sin y，即sin x－sin y＜0，B错误；对于C，函数f（x）＝（12）x在（0，＋∞）上单调递减，所以由x＞y＞0得（12）x＜（12）y，即（12）x－（12）y＜0，C正确；对于D，当x＝1，y＝1e时满足x＞y＞0，而ln x＋ln y＝ln 1＋ln1e＝0＋（－1）＝－1＜0，D错误.
11.（多选）设a，b为正实数，下列命题正确的有（ ）
A.若a2－b2＝1，则a－b＜1
B.若1b－1a＝1，则a－b＜1
C.若｜a－b｜＝1，则｜a－b｜＜1
D.若｜a3－b3｜＝1，则｜a－b｜＜1
解析：AD 对于选项A，若a2－b2＝1，则a2－1＝b2，即（a＋1）（a－1）＝b2，∵a＋1＞a－1，∴a－1＜b，即a－b＜1，∴该选项正确；对于选项B，若1b－1a＝1，可取a＝7，b＝78，则a－b＞1，∴该选项错误；对于选项C，若｜a－b｜＝1，则可取a＝9，b＝4，而｜a－b｜＝5＞1，∴该选项错误；对于选项D，由｜a3－b3｜＝1，若a＞b，则a3－b3＝1，即a3－1＝b3，即（a－1）（a2＋1＋a）＝b3，∵a2＋1＋a＞b2，∴a－1＜b，即a－b＜1，若a＜b，则b3－a3＝1，即b3－1＝a3，即（b－1）（b2＋1＋b）＝a3，∵b2＋1＋b＞a2，∴b－1＜a，即b－a＜1，∴｜a－b｜＜1，∴该选项正确.故选A、D.
12.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②1a＜1b；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .
答案：若a＞b，a＜0且b＜0，则1a＜1b（答案不唯一）
解析：若a＞b，a＜0且b＜0，则1a＜1b，证明：1a－1b＝b－aab，∵a＞b，∴b－a＜0.∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，则1a－1b＝b－aab＜0，故1a＜1b.
13.若α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α+2β≤3，则α＋3β的取值范围是 .
答案：[1，7]
解析：设α＋3β＝x（α＋β）＋y（α＋2β）＝（x＋y）α＋（x＋2y）β.则x＋y=1，x+2y=3，解得x＝－1，y=2.因为－1≤－（α＋β）≤1，2≤2（α＋2β）≤6，两式相加，得1≤α＋3β ≤7.所以α＋3β的取值范围为[1，7].
14.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c满足f（1）＝0，且a＞b＞c，则ca的取值范围是 .
答案：（－2，12
解析：因为f（1）＝0，所以a＋b＋c＝0，所以b＝－（a＋c）.又a＞b＞c，所以a＞－（a＋c）＞c，且a＞0，c＜0，所以1＞－a＋ca＞ca，即1＞－1－ca＞ca.所以2ca＜－1，ca＞－2，解得－2＜ca＜－12.即ca的取值范围为（－2，－12）.
15.若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜.
（1）求证：b＋c＞0；
（2）求证：b＋c（a－c）2＜a＋d（b－d）2；
（3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足b＋c（a－c）2＜所求式＜a＋d（b－d）2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
解：（1）证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0.
（2）证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0，
所以（a－c）2＞（b－d）2＞0，
所以0＜1（a－c）2＜1（b－d）2. ①
因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c，
所以a＋d＞b＋c＞0. ②
①②相乘得b＋c（a－c）2＜a＋d（b－d）2.
（3）因为a＋d＞b＋c＞0，0＜1（a－c）2＜1（b－d）2，
所以b＋c（a－c）2＜b＋c（b－d）2＜a＋d（b－d）2或b＋c（a－c）2＜a＋d（a－c）2＜a＋d（b－d）2.
所以b＋c（b－d）2，a＋d（a－c）2均为所求代数式.（只要写出一个即可）
16.求证：2（n+1－1）＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n（n∈N*）.
证明：∵12n＞1n+1＋n＝n+1－n，
∴12（1＋12＋13＋…＋1n）＞（2－1）＋（3－2）＋…＋（n+1－n）＝n+1－1，
∴1＋12＋13＋…＋1n＞2（n+1－1）.
又∵12n＜1n－1＋n＝n－n－1，
∴12（1＋12＋13＋…＋1n）＜1＋（2－1）＋（3－2）＋…＋（n－n－1）＝n，
∴1＋12＋13＋…＋1n＜2n，
∴原不等式成立.
1.（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A.若3a＞3b，则a＞b
B.若a＞b＞0，则a2＞b2
C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D.若a＜b＜0，则1a＞1b
2.（多选）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（ ）
A.c2＜cd B.a－c＜b－d
C.ac＞bd D.ca－db＞0
3.若a＝ln22，b＝ln33，则a b（填“＞”或“＜”）.
4.设M＝x2＋y2＋1，N＝2（x＋y－1），则M与N的大小关系为 .
5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是 .
（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.若a＜b，则ac2＜bc2
B.若b＞a＞0，则a+2b+2＞ab
C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
D.若ab＞0，a＞b，则1a＜1b
比较两个数（式）的大小
1.设a，b∈[0，＋∞），A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是（ ）
A.A≤B B.A≥B
C.A＜B D.A＞B
2.若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为（ ）
A.p＜q B.p≤q
C.p＞q D.p≥q
3.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则（ ）
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
不等式的基本性质
【例1】 （1）已知a，b∈R，满足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则（ ）
A.1a＜1b B.ba＋ab＞0
C.a2＞b2 D.a＜｜b｜
（2）（多选）若1a＜1b＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A.1a＋b＜1ab B.｜a｜＋b＞0
C.a－1a＞b－1b D.ln a2＞ln b2
1.已知x，y∈R，且x＋y＞0，则（ ）
A.1x＋1y＞0 B.x3＋y3＞0
C.lg（x＋y）＞0 D.sin（x＋y）＞0
2.（多选）已知a＞b＞c，ac＞0，则下列关系式一定成立的是（ ）
A.c2＞bc B.bc（a－c）＞0
C.a＋b＞c D.cb＋bc＞2
【例2】 已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是 ，3x＋2y的取值范围是 .
（变设问）若本例条件不变，则x+1y的取值范围为 .
1.已知1＜a＜b＜3，则a－b的取值范围是 ，ab的取值范围是 .
2.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，则3x＋2y的取值范围为 .
1.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2b＋2，n＝2a－b，则（ ）
A.m≥n B.m＞n
C.m≤n D.m＜n
2.已知a＋b＜0，且a＞0，则（ ）
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2
C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
3.若a＞0，b＞0，则p＝（ab）a＋b2与q＝abba的大小关系是（ ）
A.p≥q B.p≤q
C.p＞q D.p＜q
4.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A.4×x0.5＜150 B.4×x0.5≥150
C.4×x0.5≤150 D.4×x0.5＞150
5.已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是（ ）
A.xy＞yz B.xy＞xz
C.xz＞yz D.x｜y｜＞｜y｜z
6.（多选）已知a＞b≥2，则（ ）
A.b2＜3b－a B.a3＋b3＞a2b＋ab2
C.ab＞a＋b D.12＋2ab＞1a＋1b
7.已知p：a＞｜b｜，q：a2＞b2，则p是q的 条件.
8.（1）已知a＋b＞0，试比较ab2＋ba2与1a＋1b的大小；
（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a＋bb≤c＋dd.
9.已知点M（x0，y0）在直线3x＋y＋2＝0上，且满足x0＞y0－1，则y0x0的取值范围为（ ）
A.－3,−13
B.（－∞，－3）∪－13，＋∞
C.（－∞，－3]∪－13，＋∞
D.－3,−13
10.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A.1x－1y＞0 B.sin x－sin y＞0
C.（12）x－（12）y＜0 D.ln x＋ln y＞0
11.（多选）设a，b为正实数，下列命题正确的有（ ）
A.若a2－b2＝1，则a－b＜1
B.若1b－1a＝1，则a－b＜1
C.若｜a－b｜＝1，则｜a－b｜＜1
D.若｜a3－b3｜＝1，则｜a－b｜＜1
12.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②1a＜1b；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .
13.若α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α+2β≤3，则α＋3β的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c满足f（1）＝0，且a＞b＞c，则ca的取值范围是 .
15.若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜.
（1）求证：b＋c＞0；
（2）求证：b＋c（a－c）2＜a＋d（b－d）2；
（3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足b＋c（a－c）2＜所求式＜a＋d（b－d）2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
16.求证：2（n+1－1）＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n（n∈N*）.
第三节不等式性质及应用【解析版】
1.（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A.若3a＞3b，则a＞b
B.若a＞b＞0，则a2＞b2
C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2
D.若a＜b＜0，则1a＞1b
解析：ABD C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2，故C错误.
2.（多选）设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是（ ）
A.c2＜cd B.a－c＜b－d
C.ac＞bd D.ca－db＞0
解析：AD 对于A，c2－cd＝c（c－d）＜0，所以A正确；对于B，a－c－（b－d）＝（a－b）－（c－d），无法判断与0的大小关系，所以B错误；对于C，不妨设a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，所以C错误；对于D，ca－db＝bc－adab＞ac－adab＝a（c－d）ab＞0，所以D正确.故选A、D.
3.若a＝ln22，b＝ln33，则a b（填“＞”或“＜”）.
答案：＜
解析：易知a，b都是正数，ba＝2ln33ln2＝lg89＞1，所以b＞a.
4.设M＝x2＋y2＋1，N＝2（x＋y－1），则M与N的大小关系为 .
答案：M＞N
解析：M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝（x－1）2＋（y－1）2＋1＞0.故M＞N.
5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是 .
答案：（－7，12）
解析：∵－3＜b＜5，∴－6＜2b＜10，又－1＜a＜2，∴－7＜a＋2b＜12.
（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.若a＜b，则ac2＜bc2
B.若b＞a＞0，则a+2b+2＞ab
C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
D.若ab＞0，a＞b，则1a＜1b
比较两个数（式）的大小
1.设a，b∈[0，＋∞），A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是（ ）
A.A≤B B.A≥B
C.A＜B D.A＞B
解析：B 由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.
2.若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为（ ）
A.p＜q B.p≤q
C.p＞q D.p≥q
解析：B p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝（b2－a2）·1a－1b＝（b2－a2)(b－a）ab＝（b－a）2（b＋a）ab，∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q.故选B.
3.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则（ ）
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
解析：B 法一 易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝lg8164＜1，∴a＞b；bc＝5ln44ln5＝lg6251 024＞1，∴b＞c.即c＜b＜a.
法二 构造函数f（x）＝lnxx，则f'（x）＝1－lnxx2，由f'（x）＞0，得0＜x＜e；由f'（x）＜0，得x＞e.∴f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减.∴f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c.
不等式的基本性质
【例1】 （1）已知a，b∈R，满足ab＜0，a＋b＞0，a＞b，则（ ）
A.1a＜1b B.ba＋ab＞0
C.a2＞b2 D.a＜｜b｜
（2）（多选）若1a＜1b＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A.1a＋b＜1ab B.｜a｜＋b＞0
C.a－1a＞b－1b D.ln a2＞ln b2
答案：（1）C （2）AC
解析：（1）因为ab＜0，a＞b，则a＞0，b＜0，1a＞0，1b＜0，A不正确；ba＜0，ab＜0，则ba＋ab＜0，B不正确；又a＋b＞0，即a＞－b＞0，则a2＞（－b）2，a2＞b2，C正确；由a＞－b＞0得a＞｜b｜，D不正确.
（2）由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.A中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜0，1ab＞0.故有1a＋b＜1ab，即A正确；B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B错误；C中，因为1a＜1b＜0，则－1a＞－1b＞0，0＞a＞b，所以a－1a＞b－1b，故C正确；D中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在（－∞，0）上单调递减，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域（0，＋∞）上是增函数，所以ln b2＞ln a2，故D错误.
1.已知x，y∈R，且x＋y＞0，则（ ）
A.1x＋1y＞0 B.x3＋y3＞0
C.lg（x＋y）＞0 D.sin（x＋y）＞0
解析：B 对于A，令x＝1，y＝－12，显然1x＋1y＝1－2＜0，错误；对于B，x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）＝（x＋y）［（x－12y）2＋34y2］≥0，又x＝12y，y＝0不能同时成立，故（x＋y）［（x－12y）2＋34y2］＞0，正确；对于C，取x＝1，y＝0，则lg（x＋y）＝0，错误；对于D，取x＝1，y＝3，则sin（x＋y）＝sin 4＜0，错误.故选B.
2.（多选）已知a＞b＞c，ac＞0，则下列关系式一定成立的是（ ）
A.c2＞bc B.bc（a－c）＞0
C.a＋b＞c D.cb＋bc＞2
解析：BD 因为ac＞0，所以a＞b＞c＞0或0＞a＞b＞c，当a＞b＞c＞0时，bc＞c2，A不成立，bc（a－c）＞0，a＋b＞c，由cb＞0，bc＞0，故cb＋bc≥2cb·bc＝2，当且仅当cb＝bc，即b＝c时，等号成立，因为b＞c，故等号不成立，故cb＋bc＞2；当0＞a＞b＞c时，bc（a－c）＞0，不妨设0＞－1＞－2＞－3，则a＋b＝c，故C不成立；由cb＞0，bc＞0，故cb＋bc≥2cb·bc＝2，当且仅当cb＝bc，即b＝c时，等号成立，因为b＞c，故等号不成立，故cb＋bc＞2.综上：B、D一定成立，故选B、D.
不等式性质的应用
【例2】 （教材题改编）已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是 ，3x＋2y的取值范围是 .
答案：（－4，2） （1，18）
解析：因为－1＜x＜4，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.由－3＜3x＜12，4＜2y＜6，得1＜3x＋2y＜18.
（变设问）若本例条件不变，则x+1y的取值范围为 .
答案：（0，52）
解析：∵－1＜x＜4，∴0＜x＋1＜5，又2＜y＜3，13＜1y＜12，∴0＜x+1y＜52.
1.已知1＜a＜b＜3，则a－b的取值范围是 ，ab的取值范围是 .
答案：（－2，0） （13，1）
解析：因为1＜a＜b＜3，所以1＜a＜3，－3＜－b＜－1，所以－2＜a－b＜2，因为a＜b，所以－2＜a－b＜0；因为13＜1b＜1，1＜a＜b，所以13＜ab＜1.
2.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，则3x＋2y的取值范围为 .
答案：（92，192）
解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是λ＋μ=3，μ－λ=2，解得λ＝12，μ＝52，∴3x＋2y＝12（x－y）＋52（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－12＜12（x－y）＜2，5＜52（x＋y）＜152，∴92＜12（x－y）＋52（x＋y）＜192.故3x＋2y的取值范围是（92，192）.
1.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2b＋2，n＝2a－b，则（ ）
A.m≥n B.m＞n
C.m≤n D.m＜n
解析：A 由题意可知，m－n＝a－2b＋2－2a＋b＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n，故选A.
2.已知a＋b＜0，且a＞0，则（ ）
A.a2＜－ab＜b2 B.b2＜－ab＜a2
C.a2＜b2＜－ab D.－ab＜b2＜a2
解析：A 法一 由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因为0＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2，故选A.
法二 令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，故选A.
3.若a＞0，b＞0，则p＝（ab）a＋b2与q＝abba的大小关系是（ ）
A.p≥q B.p≤q
C.p＞q D.p＜q
解析：A pq＝（ab）a＋b2abba＝aa－b2bb－a2＝（ab）a－b2，若a＞b＞0，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，∴pq＞1，若a＝b，则pq＝1，∴p≥q.故选A.
4.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（ ）
A.4×x0.5＜150 B.4×x0.5≥150
C.4×x0.5≤150 D.4×x0.5＞150
解析：B 由题意知导火索燃烧的时间为x0.5秒，人在此时间内跑的路程为（4×x0.5）米，由题意可得4×x0.5≥150，故选B.
5.已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是（ ）
A.xy＞yz B.xy＞xz
C.xz＞yz D.x｜y｜＞｜y｜z
解析：B 因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定，对于A，因为x＞0＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；对于D，因为x＞z，当｜y｜＝0时，x｜y｜＝｜y｜z，故D错误.
6.（多选）已知a＞b≥2，则（ ）
A.b2＜3b－a B.a3＋b3＞a2b＋ab2
C.ab＞a＋b D.12＋2ab＞1a＋1b
解析：BC a＞b≥2，取a＝3，b＝2，则b2＜3b－a不成立，故A不成立；a3＋b3－（a2b＋ab2）＝a2（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）2（a＋b）＞0，故B成立；ab－a－b＝a（b－1）－b＝（b－1）（a－bb－1）＝（b－1）·a－（1+1b－1）＞0，故C成立；12＋2ab－1a－1b＝（a－2)(b－2）2ab≥0，故D不成立.故选B、C.
7.已知p：a＞｜b｜，q：a2＞b2，则p是q的 条件.
答案：充分不必要
解析：当a＞｜b｜时，易得a＞｜b｜≥0，故a2＞b2，充分性成立；当a2＞b2时，则｜a｜＞｜b｜，当a＞0时，a＞｜b｜，当a＜0时，－a＞｜b｜，必要性不成立.故p是q的充分不必要条件.
8.（1）已知a＋b＞0，试比较ab2＋ba2与1a＋1b的大小；
（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a＋bb≤c＋dd.
解：（1）ab2＋ba2－（1a＋1b）＝a－bb2＋b－aa2
＝（a－b）·（1b2－1a2）＝（a＋b)(a－b）2a2b2.
∵a＋b＞0，（a－b）2≥0，∴（a＋b)(a－b）2a2b2≥0.
∴ab2＋ba2≥1a＋1b.
（2）证明：∵bc≥ad，1bd＞0，∴cd≥ab，
∴cd＋1≥ab＋1，∴a＋bb≤c＋dd.
9.已知点M（x0，y0）在直线3x＋y＋2＝0上，且满足x0＞y0－1，则y0x0的取值范围为（ ）
A.－3,−13
B.（－∞，－3）∪－13，＋∞
C.（－∞，－3]∪－13，＋∞
D.－3,−13
解析：B 由题意3x0＋y0＋2＝0，y0＝－3x0－2，∵x0＞y0－1，∴x0＞－3x0－2－1，解得x0＞－34，y0x0＝－3x0－2x0＝－3－2x0，∵x0＞－34且x0≠0，∴1x0＜－43或1x0＞0，∴－3－2x0＜－3或－3－2x0＞－13.故选B.
10.已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）
A.1x－1y＞0 B.sin x－sin y＞0
C.（12）x－（12）y＜0 D.ln x＋ln y＞0
解析：C 对于A，函数f（x）＝1x在（0，＋∞）上单调递减，所以由x＞y＞0得1x＜1y，即1x－1y＜0，A错误；对于B，当x＝π，y＝π2时满足x＞y＞0，而sin x＝sin π＝0＜1＝sinπ2＝sin y，即sin x－sin y＜0，B错误；对于C，函数f（x）＝（12）x在（0，＋∞）上单调递减，所以由x＞y＞0得（12）x＜（12）y，即（12）x－（12）y＜0，C正确；对于D，当x＝1，y＝1e时满足x＞y＞0，而ln x＋ln y＝ln 1＋ln1e＝0＋（－1）＝－1＜0，D错误.
11.（多选）设a，b为正实数，下列命题正确的有（ ）
A.若a2－b2＝1，则a－b＜1
B.若1b－1a＝1，则a－b＜1
C.若｜a－b｜＝1，则｜a－b｜＜1
D.若｜a3－b3｜＝1，则｜a－b｜＜1
解析：AD 对于选项A，若a2－b2＝1，则a2－1＝b2，即（a＋1）（a－1）＝b2，∵a＋1＞a－1，∴a－1＜b，即a－b＜1，∴该选项正确；对于选项B，若1b－1a＝1，可取a＝7，b＝78，则a－b＞1，∴该选项错误；对于选项C，若｜a－b｜＝1，则可取a＝9，b＝4，而｜a－b｜＝5＞1，∴该选项错误；对于选项D，由｜a3－b3｜＝1，若a＞b，则a3－b3＝1，即a3－1＝b3，即（a－1）（a2＋1＋a）＝b3，∵a2＋1＋a＞b2，∴a－1＜b，即a－b＜1，若a＜b，则b3－a3＝1，即b3－1＝a3，即（b－1）（b2＋1＋b）＝a3，∵b2＋1＋b＞a2，∴b－1＜a，即b－a＜1，∴｜a－b｜＜1，∴该选项正确.故选A、D.
12.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②1a＜1b；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .
答案：若a＞b，a＜0且b＜0，则1a＜1b（答案不唯一）
解析：若a＞b，a＜0且b＜0，则1a＜1b，证明：1a－1b＝b－aab，∵a＞b，∴b－a＜0.∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，则1a－1b＝b－aab＜0，故1a＜1b.
13.若α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α+2β≤3，则α＋3β的取值范围是 .
答案：[1，7]
解析：设α＋3β＝x（α＋β）＋y（α＋2β）＝（x＋y）α＋（x＋2y）β.则x＋y=1，x+2y=3，解得x＝－1，y=2.因为－1≤－（α＋β）≤1，2≤2（α＋2β）≤6，两式相加，得1≤α＋3β ≤7.所以α＋3β的取值范围为[1，7].
14.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c满足f（1）＝0，且a＞b＞c，则ca的取值范围是 .
答案：（－2，12
解析：因为f（1）＝0，所以a＋b＋c＝0，所以b＝－（a＋c）.又a＞b＞c，所以a＞－（a＋c）＞c，且a＞0，c＜0，所以1＞－a＋ca＞ca，即1＞－1－ca＞ca.所以2ca＜－1，ca＞－2，解得－2＜ca＜－12.即ca的取值范围为（－2，－12）.
15.若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜.
（1）求证：b＋c＞0；
（2）求证：b＋c（a－c）2＜a＋d（b－d）2；
（3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足b＋c（a－c）2＜所求式＜a＋d（b－d）2？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
解：（1）证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0.
（2）证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0，
所以（a－c）2＞（b－d）2＞0，
所以0＜1（a－c）2＜1（b－d）2. ①
因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c，
所以a＋d＞b＋c＞0. ②
①②相乘得b＋c（a－c）2＜a＋d（b－d）2.
（3）因为a＋d＞b＋c＞0，0＜1（a－c）2＜1（b－d）2，
所以b＋c（a－c）2＜b＋c（b－d）2＜a＋d（b－d）2或b＋c（a－c）2＜a＋d（a－c）2＜a＋d（b－d）2.
所以b＋c（b－d）2，a＋d（a－c）2均为所求代数式.（只要写出一个即可）
16.求证：2（n+1－1）＜1＋12＋13＋…＋1n＜2n（n∈N*）.
证明：∵12n＞1n+1＋n＝n+1－n，
∴12（1＋12＋13＋…＋1n）＞（2－1）＋（3－2）＋…＋（n+1－n）＝n+1－1，
∴1＋12＋13＋…＋1n＞2（n+1－1）.
又∵12n＜1n－1＋n＝n－n－1，
∴12（1＋12＋13＋…＋1n）＜1＋（2－1）＋（3－2）＋…＋（n－n－1）＝n，
∴1＋12＋13＋…＋1n＜2n，
∴原不等式成立.
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