北京市北工大附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 设复数，则（ ）
A. B.
C. 3D. 5
2 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知球的半径为2，球心到平面的距离为，则球被平面截得的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 7
7. 已知为定义在上函数，，且为奇函数，则（ ）
A. B. C. 0D. 2
8. 木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形是边长为2的正方形，且均为等边三角形，，，则该木楔的体积为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知是边长为2的等边三角形，点在线段上，，点在线段上，且与的面积相等，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数来表示.下列结论正确的是（ ）
A. 若，则函数为奇函数B. 若，则函数有最小值
C. 若，则函数为增函数D. 若，则函数存在零点
二、填空题共5题，每题5分，共25分．
11. 函数定义域是_______________.
12. 已知向量，，且，则______.
13. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则______；若为偶函数，则的最小值是______.
14. 已知函数其中.若，则函数的值域是______；若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是______.
15. 已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且.给出下列四个结论：
①；
②；
③对任意的，都有；
④存在常数，使得对任意的，都有，
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数.
（1）求的最小正周期及值域；
（2）求的单调递增区间.
17. 已知等差数列和等比数列满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求和：．
18. 在中，，．再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，并求
（1）值；
（2）的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19. 已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
20. 已知，，是自然对数的底数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：.
21. 给定正整数，设数列是一个排列，对，表示以为首项的递增子列的最大长度，表示以为首项的递减子列的最大长度.
（1）若，，，，，求和；
（2）求证：，；
（3）求的最小值.