北京市清华大学附属中学2024-2025学年高三上学期统练五数学试卷（Word版附解析）

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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据并集的概念，可直接得出结果.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：D
2. 在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义求出复数，再求出复数的共轭复数，最后根据复数的乘法法则计算可得；
【详解】解：因为在复平面内，复数所对应的点的坐标为，
所以，所以
所以
故选：A
3. 设a，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由，可得，A错；利用作差法判断B错；由，而，可得C错；利用基本不等式可得D正确．
【详解】，，故A错；
，，即，可得，，故B错；
，，而，则，故C错；
，，，等号取不到，故D正确；
故选：D
4. 如图，在中，是的中点.若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】因为是的中点，，，
所以
.
故选：C.
5. 已知函数，则函数（ ）
A. 是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增
B. 是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减
C. 是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增
D. 是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减
【答案】A
【解析】
【分析】由偶函数的定义判断函数的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数的单调性.
【详解】∵
∴，
∴ 函数为偶函数，
当时，，
∵ 函数在(0,+∞)上单调递增，函数在(0,+∞)上单调递减，
∴在(0,+∞)上单调递增，
即函数在(0,+∞)上单调递增.
故选：A.
6. 已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，.设，则满足的的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f（x）在R上为减函数以及f（﹣1）＝1，结合对数函数的性质可得g（x）＝lg2（x+3）的定义域为（﹣3，+∞），在其定义域上，g（x）为增函数，设F（x）＝f（x）﹣g（x），易得F（x）在（﹣3，+∞）上为减函数，又由F（﹣1）＝f（﹣1）﹣g（﹣1）＝1﹣1＝0，进而可得F（x）≥0⇒﹣3＜x≤﹣1，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递减，
则f（x）在[0，+∞）上也是减函数，
则f（x）在R上为减函数，
又由f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝1，
又由g（x）＝lg2（x+3），有x+3＞0，即x＞﹣3，函数的定义域为（﹣3，+∞），在其定义域上，g（x）为增函数，
设F（x）＝f（x）﹣g（x），其定义域为（﹣3，+∞），
分析易得F（x）在（﹣3，+∞）上为减函数，又由F（﹣1）＝f（﹣1）﹣g（﹣1）＝1﹣1＝0，
F（x）≥0⇒﹣3＜x≤﹣1，
则f（x）≥g（x）⇒F（x）≥0⇒﹣3＜x≤﹣1，即不等式的解集为（﹣3，﹣1]；
故选C．
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定，涉及对数函数的性质，注意分析函数的定义域，属于基础题．
7. 在△中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由，则或和，则，则，可得出答案.
【详解】若，则或，即或，
所以在△中，“”是“”的不充分条件
若，则，则，
所以在△中，“”是“”的必要条件.
故选：B.
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断，考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题.
8. 记为等比数列的前n项和.已知，，则数列（ ）
A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项
【答案】A
【解析】
【分析】求出公比，求出，然后分析的性质．
【详解】设公比为，则，，
，
当为偶数时，，是增函数，即，
当为奇数时，，是减函数，即，
所以有最大项为，最小项为．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的前项和形成的数列的最值问题，解题关键是求得通项公式后按奇偶数分类，得出奇数递减，偶数项递增，但所有奇数项比大，所有偶数项比小，这样易确定最值．
9. 声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：W/m2）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB；一般说话时，声音的等级约为60 dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ）
A. 106倍B. 108倍C. 1010倍D. 1012倍
【答案】B
【解析】
【分析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，根据题意得出，，计算求的值．
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，，则，
，则，
所以，
因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍．
故选：B．
10. 已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（ ）
A. 18B. 17C. 14D. 13
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得，结合，得到（），再由是的一个单调区间，可得T，即，进一步得到，然后对逐一取值，分类求解得答案．
【详解】由题意，得，∴，
又，∴（）．
∵是的一个单调区间，∴T，即，
∵，∴，即．
①当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，
∴不符合题意；
②当，即时，，，∴，，
∵，∴，此时在上不单调，
∴不符合题意；
③当，即时，，，∴，．
∵，∴，此时在上单调递增，
∴符合题意，
故选：D
二、填空题 共5道小题，每小题5分，共25分.
11. ，，三个数中最大数的是 ．
【答案】
【解析】
详解】，，，所以最大.
12. 已知，且有，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
运用正弦、余弦的二倍角公式化简已知等式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】，
因为，所以，
因此由，
而，把代入得：
，而，
因此.
故答案为：
13. 已知正方形边长为2，为的中点，是正方形及其内部的点构成的集合，设集合，则表示的曲线的长度为______.
【答案】
【解析】
【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，用坐标表示计算数量积得出曲线，从而可计算出长度．
【详解】分别以为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，
设，
则，所以点轨迹是直线在正方形内的部分，
令得，令得，即点轨迹是以和为端点的线段，
，
故答案为：．
14. 若实数，且，满足方程组，则______，______.（写出一组值即可）
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题中的方程组先求解出，再代入其中一个方程求解即可得出答案.
【详解】
得，，根据辅助角公式得，
或
即，或
，此时，
，又因为所以可取 .
故答案为：，.
15. 设是由实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合.对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积，令.给出以下四个结论：
①存在，使得；
②存，使得；
③若，则的取值范围是；
④若，则满足的数表共有个.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】可取第一行都为，其余的都取，即可判断①；
用反证法证明：假设存在，得出矛盾，即可判断②；
将变形为，即个或的和，分别列举出来即可判断③；
当所有的和都是时，即个元素的排列，其中每个元素可以是或，但必须有奇数个，即可判断④.
【详解】①：如图所示数表符合要求.
故①正确；
②：假如存在，使得.
因为，
所以这个数中有个，个.
令.
一方面，由于这个数中有个，个，从而，
另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；
则，，
从而，这与矛盾，
所以不存在，使得.故②错误；
③：当时，是一个的数表，且每个元素，
第行各数之积第列各数之积只能是或.
若第行中有偶数个，则；若有奇数个，则.
同理，对于第列亦如此.
设第行中有个，第列中有个，
则，
所以，
由、为非负整数，只能取或，所以是个或的和.
当所有的元素都是时，；
当所有的元素都是时，；
当有两行（或两列）的元素是，其余元素是时，；
当有四行（或四列）的元素是，其余元素是时，；
当有六行（或六列）的元素是，其余元素是时，；
当有八行（或八列）的元素是，其余元素是时，；
当有十行（或十列）的元素是，其余元素是时，；
当有十二行（或十二列）的元素是，其余元素是1时，；
所以所有的取值为.故③正确；
④：若，当所有的和都是时，.
实际上，每一行和每一列中的个数必须为奇数，
在的矩阵中选择奇数个，使得每行和每列中的个数都是奇数，
这样的数表对应于个元素的排列，其中每个元素可以是或，但必须有奇数个，
这样的数表数量是，故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质.
三、解答题 共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 等差数列的前项和，其中为常数.
（1）求的通项公式及的值；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），a=−1
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系，可得，，再由等差数列，列式求出，并得到通项；
（2）由（1）求出，利用分组求和得解.
【小问1详解】
由，
当时，，
，，
又，，
，解得，
，满足，
，.
【小问2详解】
由（1），
，
.
17. 已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知.
条件①：函数的图象经过点；
条件②：函数的最大值为；
条件③：函数的最小正周期为.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上有且仅有1个零点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，选择①③：由周期得出，由得出，进而求出的解析式；选择②③：由周期得出，由的最大值为得出，进而求出的解析式；选择①②：由得，又因为函数的最大值为，所以，与矛盾，不符合题意．
（2）因为，所以，结合三角函数的性质与函数零点的概念求解即可．
【小问1详解】
由题可知，，
选择①③：
因为，所以，
又因为，所以．
所以．
选择②③：
因为，所以，
又因为函数的最大值为，所以．
所以，
选择①②：
因为，所以．
又因为函数的最大值为，
所以，与矛盾，不符合题意．
【小问2详解】
选择①③：
因为，所以，
又因为在区间上有且仅有1个零点，
所以，所以，所以．
选择②③：
因为，所以，
又因为在区间上有且仅有1个零点，
又时，或，
所以，所以，所以．
18. 在中，.
（1）求；
（2）若，.求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合余弦定理即可求解；
（2）由，求出，再利用正弦定理求出，最后利用三角形的面积公式即可求解.
【小问1详解】
由，
则，
又，则.
【小问2详解】
由，则，
又，且由（1）知
则，
又，即，解得，
则.
19. 已知函数（其中为常数）.
（1）若且直线与曲线相切，求实数的值；
（2）若在上的最大值为，求的值.
【答案】（1）2；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）代入，得到，求出导函数，设出切点坐标可得切线方程，与已知切线比较可得答案；
（2）求出导函数，讨论导函数的正负情况，根据在的单调性求出最大值等于，从而求出.
【详解】（1）时，，
设切点为，则切线方程为
点代入，化简解得.
（2），
①当即时，在上恒成立，故在单调递增，在的最大值为，故，满足；
②当即时，在上恒成立，故在单调递减，在的最大值为，故，不满足，舍去；
③当即时，由得，
时，时，
即在上单调递增，在上单调递减，故的最大值为
，即，所以，不满足，舍去，
综上所述， .
【点睛】本题考查了导数的切线方程，考查了利用导数的单调性求得最值从而得到的问题.
20. 设函数，直线是曲线在点处的切线.
（1）求的单调区间；
（2）求证：不经过点；
（3）当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与面积.是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，）
【答案】（1）答案见详解
（2）证明见详解 （3）不存在
【解析】
【分析】（1）利用导数判断单调性；
（2）写出切线方程，假设直线过点，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可；
（3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可.
【小问1详解】
由题可得，，（），
当时，有，则在上单调递增；
当时，令，得，即在上单调递增，
令，得，即上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
由，切线的斜率为，
则切线方程为，
假设直线过点，将代入切线方程得，则，
即，整理得，，
令，则在上存在零点，
，
所以在上单调递增，则，
所以函数在上无零点，这与假设矛盾，
所以直线不过点.
小问3详解】
当时，，
则，，
，设与轴交点为，
当时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知，，则，
则切线的方程为，
令，则，
，则，
，设，，
所以满足条件的有几个即有几个零点.
由，，
令，得，即在上单调递增，
令，得或，即在和上单调递减，
又，，，
所以函数在上没有零点，即不存在点使得成立.
21. 设整数集合，，且满足：对于任意，若，则.
（1）判断下列两个集合是否满足题设条件，若不满足，请说明理由；
，
（2）求证：，都有；
（3）若，求满足条件的集合的个数.
【答案】（1）满足题设，不满足题设 （2）证明见解析 （3）16
【解析】
【分析】（1）根据题目条件，对赋值，分别讨论即可；
（2）由反证法即可证明；
（3）因为任意的，所以集合中至多5个元素.设，先通过判断集合A中前个元素的最大值可以推出，故集合A的个数与集合的子集个数相同，即可求出．
【小问1详解】
设，则；
设，则，
一般地，对，有，
所以满足题设条件.
设，得，
所以不满足题设条件.
【小问2详解】
假设存在一个使得，
令，其中且，
由题意，得，
由为正整数，得，这与为集合A中的最大元素矛盾，
所以任意，．
【小问3详解】
设集合中有个元素，，
由题意，得，，
由（2）知，．
假设，则．
因为，
由题设条件，得，
因为，
所以由（2），得，
这与为A中不超过1000的最大元素矛盾，
所以，
又，，
所以．
任给集合的元子集B，
令，
以下证明集合符合题意：
对于任意，则，
若，则有，
所以，从而，故集合符合题意，
所以满足条件的集合A的个数与集合的子集个数相同，
故满足条件的集合A有个．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用反证法证明第二问， 假设存在一个使得，首先把拆成是解题推理的关键，其次利用集合是整数构成的，且最大是解题的另外一个关键点．