北京市中关村中学2024-2025学年学高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，（ ）
A B. C. D.
2. 若，则向量与夹角为（ ）
A B. C. D.
3. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A. 钝角三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形
4. 已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在中，，，是三等分点，且，则错误的是（ ）

A. B.
C. D.
6. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
7. 已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足,现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
9. 若函数在其定义域上只有一个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. 设函数，下列判断正确的是（ ）
A. 函数的一个周期为；
B. 函数的值域是；
C. 函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；
D. 当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为___________.
12. 若为虚数单位，复数满足，则的虚部为______.
13. 已知数列满足，且，则______，______.
14. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一动点，则双曲线的渐近线为______，最小值为______.
15. 已知函数给出下列四个结论：
①若有最小值，则的取值范围是；
②当时，若无实根，则的取值范围是；
③当时，不等式的解集为；
④当时，若存在，满足，则.
其中，所有正确结论的序号为__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
17. 如图，的内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角B的大小；
（2）若，.
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
18. 某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.

（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
（2）求面积关于的函数解析式；
（3）试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.
19. 已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设，求函数在上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
20. 已知函数.
（1）若，求f(x)在点处的切线方程；
（2）若f(x)在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；
（3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.
21. 已知，，，记，用表示有限集合元素个数.
（I）若，，，求；
（II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；
（III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值.