北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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2024年10月5日
出题人：金鑫高爽 审题人：高爽金鑫
考生须知：1.本试卷共三大题21小题，考试时长120分钟，满分150分.
2.请将个人信息完整填写在答题纸密封线内，确保信息准确无误.
3.选择各题均须用2B铅笔按规定要求在“机读答题纸”对应区域上作答，选项与题号
对应，填涂要规范，保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损，不得做任何标记.
4.填空、解答各题均须用黑色字迹的签字笔按规定要求在答题纸上作答.
第I卷（共50分请将答案填涂在答题卡上）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，请将答案填涂在答题纸上.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知数列是的无穷等比数列，则“为递增数列”是“且，”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A. B. 3C. 9D. 36
7. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法中错误的个数是（ ）
①
②函数图象关于点对称
③函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为
④若，则函数的最大值为
A 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知正方形的边长为，动点在以为圆心且与相切的圆上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型，其中为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：）（ ）次.
A. 8B. 9C. 10D. 11
10. 定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题部分共100分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）
11. 函数的定义域是______.
12. 在中，，，则____________.
13. 已知数列的通项公式为，的通项公式为．记数列的前项和为，则____；的最小值为____．
14. 在中，则的面积为______.
15. 已知函数
①函数的零点个数为__________．
②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．
16. 在数列中，，给出下列四个结论：
①若，则一定是递减数列；
②若，则一定是递增数列；
③若，，则对任意，都存在，使得；
④ 若，，且对任意，都有，则的最大值是．
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 中，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：周长是．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的值；
（2）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值.
条件①：函数是奇函数；
条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19. 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的极值点个数.
20. 已知函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求a的值；
（3）若有两个不同的零点，且，求a的取值范围.
21 有穷数列a1 , a2 , ⋯ ,an(n>2)中，令，当时规定.
（1）已知数列，写出所有的有序数对，且，使得S(p,q)>0；
（2）已知整数列，为偶数.若满足：当为奇数时，；当为偶数时，.求的最小值；
（3）已知数列满足，定义集合A={i S(i+1, n)>0, i=1 , 2 , ⋯ , n−1}.若且为非空集合，求证：S(1 , n)>ai1+ai2+⋯+aik.