浙江省台州市书生中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 已知点、若直线过点，且与线段AB相交，则直线的斜率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：数形结合如上图所示．可得，．要使直线过点，且与线段AB相交，由图象知，．故选A．
考点：直线相交问题求参数范围．
【方法点睛】对于直线的相交问题，常借助数形结合比较直观的研究相交．但要注意特殊位置，如直线斜率不存在时，直线与线段端点相交时，是否取等号问题等．当然本题也可直接设出直线l和直线AB的方程，然后求出交点横坐标，由横坐标大于等于-3且小于等于2求解即可．注意对比两种方法，感受数形结合的魅力．
2. O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间四点共面向量表示公式即可得解.
【详解】因为，
所以，即，
因为A，B，C，P四点共面，
所以，即，
故选：C
3. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故D项正确.
故选：D
4. 设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得.
【详解】如图，设点关于直线的对称点为Ax1,y1，
则得，即，
由题意知与直线不平行，故，
由，得，即，
故直线的斜率为，
直线的直线方程为：，
令得，故，
令得，故由对称性可得，
由得，即，
解得，得或，
若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．
故，
故选：B
二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分．
5. 已知m：，当坐标原点O到直线m的距离最大值时，______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知先求出直线恒过的定点，结合点到直线的距离公式即可求解．
【详解】由m：可得，，
由，解得，，
所以直线m过定点，
当时，点O到m的距离最大，
因为，
故直线m的斜率，
解得，
故答案为：
三、解答题：本题共8小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
6. 如图，在平行六面体中，，，，，且点F为与的交点，点E在线段上，且

（1）求的长；
（2）设，求x，y，z的值．
（3）与所成角余弦值．
【答案】（1）；
（2），；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出．
（2）易得，再利用空间向量基本定理即可得出．
（3）由，计算出和，利用向量夹角余弦公式进行求解.
小问1详解】
，
又，，，，
，
；
【小问2详解】
由题意，可得，
，
，；
【小问3详解】
由，
可得
，
又
，
故，
则与所成角的余弦值为
7. 已知直线的斜率为，纵截距为.
（1）求点（2，4）关于直线的对称点坐标；
（2）求与直线平行且距离为的直线方程.
【答案】（1） ； （2）或
【解析】
【分析】（1）设点为，则关于直线的对称点坐标为，利用点关于直线对称的性质，以及中垂线定理，列出关于的式子，结合的中点在直线上，即可求出和；
（2）根据平行直线系方程，由已知直线写出与它平行的直线的方程为：，再利用两平行线间的距离公式，求出，即可得出直线方程.
【详解】已知直线的斜率为，纵截距为，则方程为：，
（1）设点为点，则关于直线的对称点坐标为，
则直线与直线垂直，则，即①，
且的中点在直线上，所以②，
联立①和②，解得，
所以点关于直线的对称点坐标为.
（2）设所求的直线为，因为直线与直线平行且距离为，
又因为直线方程为：，即，
所以可设直线的方程为：，
则，解得或-11.
所以直线的方程为：或.
【点睛】本题考查点关于直线对称的点坐标，以及平行直线的方程，还利用中垂线的性质，中点坐标公式，两平行线间的距离公式等基础知识.
8. 在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点.
（1）求点的坐标；
（2）求过点且与直线垂直的直线.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可设，利用，求的坐标，利用中点坐标公式求出,
（2）先求得，再利用两直线垂直，斜率之积为求出直线斜率，进而可得到答案．
【小问1详解】
四边形为菱形，轴，轴，可设，
，，
解得：（舍或，．
，中点坐标为，
由于，且是中点，点坐标为，
【小问2详解】
，,由中点坐标公式得，
又，，
则过点且与直线垂直的直线斜率为：，
所求直线方程为：，即．
9. 如图，两个等腰直角和，，，平面平面ABC，M为斜边AB的中点．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AC中点D，可证得，，从而得平面PMD，进而得结论；
（2）建立空间直角坐标系，计算平面PCM与平面BCM的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算可得结果．
【小问1详解】
取AC中点D，连接MD，PD，如图，
又M为AB的中点，所以，又，则，
又为等腰直角三角形，，，
所以，又，MD，平面PMD，
所以平面PMD，又平面PMD，
所以；
【小问2详解】
由知，，又平面平面ABC，
平面平面，平面PAC，
所以平面ABC，即PD，AC，DM两两互相垂直，
故以D为原点，，，为x、y、z轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图，
设，则A1,0,0，，，P0,0,1，
所以，，
设n=x,y,z为平面PCM的一个法向量，由，，
则有，令，即，
取平面BCM的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为
10. (1)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值；
(2)已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.

【答案】(1)；(2)12，2x＋3y－12＝0.,
【解析】
【分析】
（1）由直线可知两直线恒过定点P(2,2)，然后求出l1在y轴上的截距，l2在x轴上的截距，根据三角形的面积公式可列出四边形的面积式，配方即可求解.
（2）设出直线方程求出直线与坐标轴的交点，列出△ABO的面积的关系式，再结合基本不等式即可求解.
【详解】由题意知直线恒过定点P(2,2)，
直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，
当a＝时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a的值为.
(2)依题意知直线l的斜率k存在且k