广东省东莞市松山湖实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省东莞市松山湖实验学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知三角形的三边长分别为3，x，7，则x的值可能是（ ）
A．3B．5C．10D．11
3．（3分）如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝50°，∠ABD＝110°，则∠C的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
4．（3分）如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．80°C．40°D．140°
5．（3分）如图，∠CAB＝∠DAB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ABD的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABDB．BC＝BDC．∠C＝∠DD．AC＝AD
6．（3分）如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数为（ ）
A．90°B．120°C．125°D．130°
7．（3分）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是45cm，当小敏从水平位置CD下降20cm时，小明离地面的高度是（ ）
A．20cmB．45cmC．25cmD．65cm
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，BD＝2，则AB的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
9．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
10．（3分）如图，△ABC的外角∠DAC和∠FCA的平分线交于点E，∠EAC和∠ECA的平分线交于点M，若∠B＝48°，则∠M的度数为（ ）
A．114°B．122°C．123°D．124°
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是 ．
12．（3分）已知多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数是 ．
13．（3分）如图，CD是△ABC的中线，BE是△BCD的中线，△ABC的面积为10，则△BDE的面积为 ．
14．（3分）等腰三角形的一个角是70°，则等腰三角形的顶角的度数是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，BC相交于点M，N，且MN∥AC，若BC＝8，△BMN的周长为18，则AB的长为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，CD是角平分线，BC＝6，AB＝8，AC＝10，则BD＝ ．
三、解答题（一）（本大题共4小题，第17题6分，第18、19、20题各8分，共30分）
17．（6分）如图，已知△ABC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，分别交AB，AC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）AF＝6，CF＝3，点P是直线EF上动点，则PB+PC的最小值为 ．
18．（8分）如图，AD是△ABC的高，AE是△ABD的角平分线，∠C＝60°，∠CAE＝50°，求∠B的度数．
19．（8分）如图，点B，C，E，F在一条直线上，BE＝CF，AB＝DF，AB∥DF，求证：AC∥DE．
20．（8分）如图，在由边长为1的小正方形拼成的5×5网格中，每个小正方形的顶点称为格点．
（1）如图1，点A，B，C，D，E均在格点上．证明：CB⊥CE；
（2）如图2，点M，N在格点上，在图2上画出所有满足条件的点P，使△MNP是以MN为腰的等腰直角三角形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
21．（10分）【问题背景】
生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
【探究发现】
（1）填写表中空格：
（2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．
①正三角形
②正五边形
③正六边形
④正七边形
⑤正八边形
【拓展应用】
（3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E在BC边上，DE平分∠ADC，∠AED＝90°．
（1）求证：AE是∠DAB的平分线；
（2）求证：BE＝CE．
23．（10分）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，将四边形ABCD沿对角线BD翻折，点C落到点F处，BF交AD于点E．
（1）求证：EB＝ED；
（2）如图2，延长BA，DF交于点G，连接GE并延长交BD于点H．求证：∠ADB＝∠BGH．
五、解答题（三）（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
24．（12分）【问题探究】
（1）如图1，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D为BA延长线上一点，点E在AC边上，且AE＝AD，连接BE，CD．
①求证：BE＝CD；
②如图2，延长BE交CD于点F，BF平分∠CBD．求证：BE＝2CF；
【拓展延伸】
（2）如图3，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，，CE⊥DE，垂足为E，DE与AC相交于点F．试探究线段CE与DF的数量关系，并说明理由．
2023-2024学年广东省东莞市松山湖实验学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：A．不能沿一条直线折叠完全重合；
B．不能沿一条直线折叠完全重合；
C．不能沿一条直线折叠完全重合；
D．能够沿一条直线折叠完全重合；
故选：D．
2．【解答】解：∵7﹣3＝4，7+3＝10，
∴4＜x＜10，
∴x的可能取值是5．
故选：B．
3．【解答】解：∵∠A＝50°，∠ABD＝110°，
∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝60°．
故选：C．
4．【解答】解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠ACB﹣∠DCB＝180°﹣40°﹣40°＝100°．
故选：A．
5．【解答】解：当添加选项A时，利用ASA可说明△ABC≌△ABD；
当添加选项B时，满足条件SSA，无法证明△ABC≌△ABD，故B符合题意；
当添加选项C时，利用AAS可说明△ABC≌△ABD；
当添加选项D时，利用SAS证明△ABC≌△ABD．
故选：B．
6．【解答】解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，
又∵∠BAP+∠B＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝30°，
∴∠BAC＝120°，
故选：B．
7．【解答】解：在△OCF与△ODG中，
，
∴△OCF≌△ODG（AAS），
∴CF＝DG＝20（cm），
∴小明离地面的高度是45+20＝65（cm），
故选：D．
8．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∵BD＝2，
∴BC＝2DB＝4，
∴AB＝2BC＝8，
故选：C．
9．【解答】解：连接CD，
∵∠B＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵DE垂直平分AC，
∴∠A＝∠ACD，
∵DB＝DE，
∴CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠A＝∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACD＝（∠A+∠ACB）＝×90°＝30°，
∴∠ACB＝2∠ACD＝60°．
故选：C．
10．【解答】解：∵∠B＝48°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝132°，
∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣132°＝228°，
∵∠DAC和∠FCA的平分线交于点E，
∴∠EAC＝，∠ECA＝，
∴∠EAC+∠ECA＝＝114°，
∵∠EAC和∠ECA的平分线交于点M，
∴∠MAC＝∠EAC，∠MCA＝∠ECA，
∴∠MAC+∠MCA＝（∠EAC+∠ECA）＝57°，
在△ANC中，∠M＝180°﹣（∠MAC+∠MCA）＝180°﹣57°＝123°，
即：∠M＝123°，
故选：C．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（2，3）．
12．【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝1440°，
解得n＝10．
故答案为：10．
13．【解答】解：∵CD是△ABC的中线，
∴AD＝BD，
∴S△BCD＝S△ABC，
∵BE是△BCD的中线，
∴CE＝DE，
∴S△BDE＝S△BCD，
∴S△BDE＝S△ABC＝×10＝2.5，
∴△BDE的面积为2.5．
故答案为：2.5．
14．【解答】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；
（2）当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°．
故答案为：70°或40°．
15．【解答】解：∵CO平分∠ACB，
∴∠OCN＝∠OCA，
∵MN∥AC，
∴∠CON＝∠OCA，
∴∠OCN＝∠CON，
∴ON＝CN，
同理：OM＝AM，
∵△BMN的周长＝BN+ON+BM+OM＝BN+NC+BM+AM＝BC+AB＝18，
∵BC＝8，
∴AB＝10．
故答案为：10．
16．【解答】解：过D点作DE⊥AC于点E，设BD＝x，
设BD＝x，则AD＝8﹣x，
∵CD是角平分线，DB⊥BC，DE⊥AC，
∴DE＝DB＝x，
∵，
∴Rt△CDE≌Rt△CDB（HL），
∴CE＝CB＝6，
∵AC＝10，
∴AE＝4，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴（8﹣x）2＝42+x2，
即：64﹣16x+x2＝16+x2，
解得：x＝3，
BD＝3．
故答案为：3．
三、解答题（一）（本大题共4小题，第17题6分，第18、19、20题各8分，共30分）
17．【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．
（2）连接BF，
∵直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF．
可知当点P与点F重合时，PB+PC＝PA+PC＝AC，为最小值．
∵AF＝6，CF＝3，
∴AC＝AF+CF＝9，
∴PB+PC的最小值为9．
故答案为：9．
18．【解答】解：AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝30°，
∵∠CAE＝50°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝20°，
∵AE是△ABD的角平分线，
∴∠BAD＝2∠DAE＝40°，
∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAD＝50°．
答：∠B的度数是50°．
19．【解答】证明：∵AB∥DF，
∴∠B＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EC＝CF﹣EC，即BC＝FE，
在△ABC和△DFE中，
∵，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠ACB＝∠DEF，
∴∠ACE＝∠DEB，
∴AC∥DE．
20．【解答】（1）证明：在△ABC≌△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCE+∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝90°，
∴CB⊥CE；
（2）解：如图2中，△PMN，△P′MN，△P″MN，△P′″MN即为所求．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
21．【解答】解：（1）正三角形的每一个内角的度数为＝60°，
正方形的每一个内角的度数为＝90°，
正五边形的每一个内角的度数为＝108°，
故答案为：90°，108°；
（2）由（1）的方法可求出，
①正三角形的每一个内角的度数是60°，
②正五边形的每一个内角的度数是108°，
③正六边形的每一个内角的度数是120°，
④正七边形的每一个内角的度数是°，
⑤正八边形的每一个内角的度数是135°，
由于60°×6＝360°，90°×4＝360°，120°×3＝360°，
所以只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形，正方形，正六边形，
故答案为：①③；
（3）由题意得，x、y满足60x+120y＝360的正整数解，
二元一次方程60x+120y＝360的正整数解为或，
答：x和y是值为或．
22．【解答】证明：（1）过点E作EF⊥DA于点F，
∵∠AED＝90°，
∴∠CED+∠AEB＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴，
∴△CDE≌△FDE，（AAS），
∴∠CED＝∠FED，
∴∠FED+∠AEB＝90°，
∵∠AED＝90°，
即：∠FED+∠AEF＝90°，
∴∠AEB＝∠AEF，
∵∠EFA＝∠B＝90°，
∴∠FAE＝∠BAE，
∴AE是∠DAB的平分线；
（2）由（1）知：△CDE≌△FDE，
∴CE＝EF，
∵AE是∠DAB的平分线，EF⊥AD，EB⊥AB，
∴EB＝EF，
∴BE＝CE．
23．【解答】（1）证明：根据翻折的性质，∠F＝∠C＝90°，FD＝CD．
∵∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，
∴∠A＝∠F，AB＝FD，
又∵∠AEB＝∠FED，
∴△AEB≌△FED（AAS）．
∴EB＝ED．
（2）证明：由（1）知△AEB≌△FED，则AE＝FE，∠ABE＝∠FDE，
∴GE为∠BGD的角平分线．
在Rt△GAE和Rt△GFE中，AE＝FE，GE＝GE，
∴△GAE≌△GFE（HL）．
∴GA＝GF．
∴BG＝DG．
∴GH是等腰△BGD的角平分线．
∴GH⊥BD．
∵∠BGH+∠ABD＝∠ADB+∠ABD＝90°，
∴∠ADB＝∠BGH．
五、解答题（三）（本大题共1小题，每小题12分，共12分）
24．【解答】（1）证明：①∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD＝∠BAB＝90°，
在△ACD与△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD；
②由①知，△ACD≌△ABE，
∴∠ACD＝∠ABE，
∵∠AEF＝∠AEB，
∴∠CFE＝∠CAB＝90°，
∴∠BFD＝∠BFC，
∵BF平分∠CBD，
∴∠CBF＝∠DBF，
∵BF＝BF，
∴△DBF≌△CBF（ASA），
∴CF＝DF，
∴CD＝2CD，
∵CD＝BE，
∴BE＝2CF；
（2）DF＝2CE，
理由：作DG⊥AC于点H，交CE的延长线于G，
∵∠BAC＝90°，AB＝BC，
∴DG∥AB，
∴∠GDC＝∠ABC＝45°，
∴∠EDC＝∠ABC＝22.5°＝∠EDC，DH＝CH，
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC＝∠DEG＝90°，
在△DEC和△DEG中，
，
∴△DEC≌△DEG（ASA），
∴DC＝DG，CG＝2CE，
∵∠DHF＝∠CEF＝90°，∠DFH＝∠CFE，
∴∠FDH＝∠GCH，
在△DHF和△CHG中，
，
∴△DHF≌△CHG（ASA），
∴DF＝CG＝2CE．
正多边形的边数
3
4
5
6
…
n
正多边形每个内角的度数
60°


…