高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理课时练习

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 平面向量基本定理课时练习，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各组向量中，能作为基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，1) B．e1＝(1，2)，e2＝(－2，1)
C．e1＝(－3，4)，e2＝( eq \f(3,5) ，－ eq \f(4,5) ) D．e2＝(2，6)，e2＝(－1，－3)
2．已知A(1，3)，B(4，－1)，则与向量 eq \(AB,\s\up6(→)) 共线的单位向量为( )
A．( eq \f(4,5) ， eq \f(3,5) )或(－ eq \f(4,5) ， eq \f(3,5) ) B．( eq \f(3,5) ，－ eq \f(4,5) )或(－ eq \f(3,5) ， eq \f(4,5) )
C．(－ eq \f(4,5) ，－ eq \f(3,5) )或( eq \f(4,5) ， eq \f(3,5) ) D．(－ eq \f(3,5) ，－ eq \f(4,5) )或( eq \f(3,5) ， eq \f(4,5) )
3．若向量 eq \(OF,\s\up6(→)) 1＝(1，1)， eq \(OF,\s\up6(→)) 2＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝( )
A． eq \r(10) B．2 eq \r(5) C． eq \r(5) D． eq \r(15)
4．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＋ eq \(OD,\s\up6(→)) ＝( )
A． eq \(OM,\s\up6(→)) B．2 eq \(OM,\s\up6(→)) C．3 eq \(OM,\s\up6(→)) D．4 eq \(OM,\s\up6(→))
5．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝a， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝b，则 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝( )
A． eq \f(4,3) a＋ eq \f(2,3) b B． eq \f(2,3) a＋ eq \f(4,3) b C． eq \f(2,3) a－ eq \f(4,3) b D．－ eq \f(2,3) a＋ eq \f(4,3) b
6．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(DF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→)) .若 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AE,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AF,\s\up6(→)) ，则实数λ＋μ的值为( )
A．－ eq \f(1,5) B． eq \f(1,5) C．－ eq \f(7,5) D． eq \f(7,5)
7．已知a，b是不共线的向量， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λa＋b， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的条件是( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1
8．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若第四象限的点P满足 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) ，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－ eq \f(3,5) ) C．(－1，－ eq \f(4,7) ) D．(－1，－ eq \f(3,5) )
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列结论中正确的是( )
A．0＋0＝0 B．对任一向量a，0∥a
C．对于任意向量a，b，a＋b＝b＋a D．对于任意向量a，b，|a＋b|>0
10．下列四个式子中一定能化简为 eq \(AD,\s\up6(→)) 的是( )
A．( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) )＋ eq \(BC,\s\up6(→)) B．( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(MB,\s\up6(→)) )＋( eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CM,\s\up6(→)) )
C．( eq \(MB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) )－ eq \(BM,\s\up6(→)) D．( eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) )＋ eq \(CD,\s\up6(→))
11．已知a＝(1，2)，b＝(3，4)，若a＋kb与a－kb互相垂直，则实数k＝( )
A． eq \r(5) B． eq \f(\r(5),5) C．－ eq \r(5) D．－ eq \f(\r(5),5)
12．下列结论正确的是( )
A．向量 eq \(AB,\s\up6(→)) 与 eq \(CD,\s\up6(→)) 是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
B．已知直线上有P1，P2，P三点，其中P1(2，－1)，P2(－1，3)，且P1P＝ eq \f(2,3) PP2，则点P的坐标为( eq \f(4,5) ， eq \f(3,5) )
C．向量 eq \(PA,\s\up6(→)) ＝(k，12)， eq \(PB,\s\up6(→)) ＝(4，5)， eq \(PC,\s\up6(→)) ＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为－2或11
D．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，O，A，B三点不共线，且 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋y eq \(OB,\s\up6(→)) ，则x＋y＝1
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(2，3)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(3，t)，| eq \(BC,\s\up6(→)) |＝1，则t＝________．
14．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则 eq \f(λ,μ) ＝________．
15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若 eq \(CA,\s\up6(→)) ＝λ eq \(CE,\s\up6(→)) ＋μ eq \(DB,\s\up6(→)) ，则λ＝________，μ＝________．
16．已知菱形ABCD的边长为2，则向量 eq \(AB,\s\up6(→)) － eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) 的模为________；| eq \(AC,\s\up6(→)) |的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(10分)已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标．
18．(12分)如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且 eq \f(CE,ED) ＝ eq \f(AF,FB) ＝ eq \f(1,2) .
求证：点E，O，F在同一直线上．
19.(12分)已知点A(－1，2)，B(2，8)以及 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→)) ， eq \(DA,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) eq \(BA,\s\up6(→)) ，求点C，D的坐标和 eq \(CD,\s\up6(→)) 的坐标．
20．(12分)平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；
(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ eq \r(5) ，求d的坐标．
21.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝b， eq \(CA,\s\up6(→)) ＝c.
(1)求3a＋b－3c的值；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)若线段AB的中点为M，线段BC的三等分点为N(点N靠近点B)，求 eq \(MN,\s\up6(→)) .
22．(12分)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求| eq \(PA,\s\up6(→)) ＋3 eq \(PB,\s\up6(→)) |的最小值．
参考答案与解析
1．答案：B
解析：A，C，D中向量e1与e2共线，不能作为基底；B中e1，e2不共线，所以可作为一组基底．
2．答案：B
解析：因为A(1，3)，B(4，－1)，
所以向量 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝(3，－4)，
所以与向量 eq \(AB,\s\up6(→)) 共线的单位向量为( eq \f(3,5) ，－ eq \f(4,5) )或(－ eq \f(3,5) ， eq \f(4,5) ).
3．答案：C
解析：F1＋F2＝(1，1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，|F1＋F2|＝ eq \r(（－2）2＋（－1）2) ＝ eq \r(5) .
4．答案：D
解析：因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点，由平行四边形法则知 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(OM,\s\up6(→)) ， eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OD,\s\up6(→)) ＝2 eq \(OM,\s\up6(→)) ，故 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \(OC,\s\up6(→)) ＋ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(OD,\s\up6(→)) ＝4 eq \(OM,\s\up6(→)) .
5．答案：B
解析：∵AD为边BC上的中线，
∴ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(BD,\s\up6(→)) － eq \(BA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(BA,\s\up6(→)) ，
又BE为边AC上的中线，
∴ eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AE,\s\up6(→)) ＝ eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ，
又 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝a， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝b，
∴a＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \(BA,\s\up6(→)) ，b＝ eq \f(1,2) eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ，
∴ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) a＋ eq \f(4,3) b.
6．答案：B
解析：由题意，设 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝b，则在平行四边形ABCD中，
因为 eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(DF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(DC,\s\up6(→)) ，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且CF＝2DF，
所以 eq \(AE,\s\up6(→)) ＝a＋ eq \f(1,2) b， eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) a＋b，
又因为 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝λ eq \(AE,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AF,\s\up6(→)) ，且 eq \(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) － eq \(AB,\s\up6(→)) ＝b－a，
所以－a＋b＝λ eq \(AE,\s\up6(→)) ＋μ eq \(AF,\s\up6(→)) ＝λ(a＋ eq \f(1,2) b)＋μ( eq \f(1,3) a＋b)＝(λ＋ eq \f(1,3) μ)a＋( eq \f(1,2) λ＋μ)b，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＋\f(1,3)μ＝－1,\f(1,2)λ＋μ＝1)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(8,5),μ＝\f(9,5))) ，所以λ＋μ＝ eq \f(1,5) .
7．答案：D
解析：由 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝λa＋b， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝t eq \(AC,\s\up6(→)) ，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝t，,1＝tμ，)) 所以λμ＝1.
8．答案：C
解析：方法一 设P(x，y)，则 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝(x－2，y－3)，
又 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋λ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝(3，1)＋λ(5，7)
＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5λ＋5，,y＝7λ＋4.))
因为点P在第四象限，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5λ＋5>0，,7λ＋4