四川省达州市2022-2023学年九年级下学期5月月考数学试卷

这是一份四川省达州市2022-2023学年九年级下学期5月月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本大题共10小题，每个题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符号题目要求的）
1．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2B．x2+4x+4＝x（x+4）+4
C．(x+1x)(x−1x)=x2−1x2D．a2b+ab2+ab＝ab（a+b+1）
2．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1
3．已知双曲线y=kx经过点（﹣2，1），则k的值等于（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
4．如图，函数y=ax2+bx+c的图像过点(−2，0)和(3，0)，下列结论：①abc>0；②a+b=0；③6a+c=0. 其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
5．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，若|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k<−3B．k＞-3C．k＜3D．k＞3
6．已知|x|=2，a2=4；则代数式x3+a的值是（ ）
A．10、6B．10、－6C．±10、±6D．－10、－6
7．在△ABC中，（3tanA-3）2+|2csB－3|=0，则△ABC为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．含60°的任意三角形D．是底角为30°的等腰三角形
8．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A的值，最适宜的做法是( )
A．计算tanA的值求出 B．计算sinA的值求出
C．计算csA的值求出 D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
9．下列计算正确的是（ ）
A．a2+b3=2a5B．a4÷a4=a
C．a2⋅a3=a6D．(−a2)3=−a6
10．当 b+c=2 时，关于 x 的一元二次方程 2x2+bx=c 的根的情况为（ ）.
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．有实数根
11．已知二次函数y=ax2+3x+c的图象如图，则a，c的值可能是（ ）
A．a=2，c=2B．a=−2，c=2
C．a=−2，c=−2D．a=2，c=−2
12．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．−x3+4x=−x(x2−4)B．x2−4y2=(x+4y)(x−4y)
C．−x2−2x−1=−x(x+2)−1D．x2−5x+6=(x−2)(x−3)
二、填空题（本大题共6小题，每个题4分，共24分，把答案写在题中横线上。）
13．若(x+3)(x−4)=x2+mx+n，则m+n的值为 ．
14．从一批节能灯中随机抽取40只进行检查，发现次品2只，则在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为 ．
15．分解因式：2x3-8x2y+8xy2= ．
16．已知一个直角三角形的两条直角边分别为7cm、24cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 cm．
17．抛物线y=x2−4x+8向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线顶点坐标是 ．
18．如图，三角形纸片中，AB=AC，BC=18，∠C=30°，折叠这个三角形，使点B落在AC的中点D处，折痕为EF，那么BF的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，前4题每题7分，最后两题各9分，共计46分。解答题写出必要计算过程。）
19．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sinA＝35，求BH的长．
20．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求：（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？
21．某海域内一艘轮船从西向东航行到A处时发现正东方向有一处暗礁，轮船马上调整方向，沿北偏东45°航行到点B处，然后沿南偏东75°航行20海里到达C处，此时C恰好在A的正东方向．
（1）求A，C两地的距离；(结果保留根号)
（2）求A，B两地的距离.(结果保留根号)
22．当x=2时，代数式2x2+（3﹣c）x+c的值是10，求当x=﹣3时这个代数式的值．
23．某商场用60个A型包装袋与90个B型包装袋对甲，乙两类农产品进行包装出售（两种型号包装袋都用完），每个A型包装袋装2千克甲类农产品或装3千克乙类农产品，每个B型包装袋装3千克甲类农产品或装5千克乙类农产品，设有x个A型包装袋包装甲类农产品，有y个B型包装袋包装甲类农产品．
（1）请用含x或y的代数式填空完成下表：
（2）若甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，求x，y的值．
（3）若用于包装甲类农产品的B型包装袋数量是用于包装甲类农产品的A型包装袋数量的两倍，且它们数量之和不少于90个，记甲、乙两类农产品的总质量之和为m千克，求m的最小值与最大值．
24．如图，平面直角坐标系中，在x轴正半轴截取线段OA，在y轴负半轴截取线段OB，使OA=OB，连接AB，AM、BN分别是∠OAB、∠OBA内部一条射线，分别交OB、OA于M、N两点．
（1）如图1，若OA=OB=42，且AM、BN分别平分∠OAB、∠OBA，作OP⊥AM交AM于点E，交AB于点P，再过点P作PG⊥BN，交BN于F，交OB于H，交AM的延长线于点G．
①求出点P的坐标；
②证明：△PEG是等腰Rt△，并直接写出点G的坐标；
（2）如图2，若OM=ON，请写出线段AG、OP与PG之间的数量关系，并证明你的结论
25．对于x轴上一点P和某一个函数图象上两点M，N，给出如下定义：如果函数图象上的两个点M，N（M在N的右侧），在x轴上存在点P，使得∠MPN=60°，那么就称△MPN为点P的“伴随三角形”，点P则被称为线段MN的“伴随点”．
（1）若一次函数图象上有两点M(33，6)、N(0，3)，在点D(0，0)、E(3，0)、F(23，0)、G(33，0)中，线段MN的“伴随点”有 ；
（2）若直线y=kx+b分别与y轴、x轴分别交于点M、N，以P(1，0)为“伴随点”的“伴随三角形”恰好是一个直角三角形，求此直线的解析式．
（3）若点M是抛物线y=x2−2mx+m2+m−2的顶点，MN=23，若在x轴上存在伴随点P，请求出m的取值范围．
26．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2，是整式乘法，不是因式分解，A不符合题意；
B、x2+4x+4＝x（x+4）+4只分解了多项式的一部分，B不符合题意；
C、(x+1x)(x−1x)=x2−1x2是乘法公式的运用，不是因式分解，C不符合题意；
D、a2b+ab2+ab＝ab（a+b+1）是因式分解，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解和整式乘法的定义以及它们的区别对选项逐一分析即可求解。
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故答案为：D.
【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可.
3．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：把（﹣2，1）代入 y=kx得，
k=(-2)×1=-2.
故答案为：D.
【分析】根据双曲线y=kx经过点（﹣2，1），则（﹣2，1）满足双曲线的解析式，把（﹣2，1）代入 y=kx即可求解。
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵函数y=ax2+bx+c的图像过点(−2，0)和(3，0)，
∴抛物线的对称轴是直线x=−2+32=12，
∵抛物线的对称轴是直线x=−b2a，
∴−b2a=12，
∴b=-a，
∴a+b=0，
故②正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵b=-a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
把(−2，0)代入y=ax2+bx+c得，
4a-2b+c=0，
把b=-a代入得，
6a+c=0，
故③正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数y=ax2+bx+c的图像过点(−2，0)和(3，0)可得抛物线的对称轴是直线x=12，根据对称轴公式得−b2a=12，从而b=-a，得a+b=0，故②正确；由抛物线开口方向，得a＞0，从而b＜0，
由抛物线与y轴交于负半轴得c＜0，从而判断①正确；把(−2，0)代入y=ax2+bx+c得，4a-2b+c=0，接着再把b=-a代入得，③正确.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得到y=ax2+bx+c的图象，
由图象可知：0k=3时，|ax2+bx+c|=k(k≠0)有3个不相等的实数根，
k>3时，|ax2+bx+c|=k(k≠0)有2个不相等的实数根，
故|ax2+bx+c|=k(k≠0)有两个不相等的实数根，
k的取值范围是k>3.
故答案为：D.
【分析】根据题意得y=|ax2+bx+c| ( a≠0)的图象，根据图象可知03时，|ax2+bx+c|=k ( k≠0 )有2个不相等的实数根，即可求解。
6．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；平方根
【解析】【解答】解：由已知条件得出：
x=±2，a=±2 ，
当 x=2，a=2 时， x3+a=10 ；
当 x=−2，a=−2 时， x3+a=−10 ；
当 x=−2，a=2 时， x3+a=−6 ；
当 x=2，a=−2 时， x3+a=6 ；
故答案为：C.
【分析】根据绝对值的性质以及平方根的定义可得出 x=±2，a=±2 ，再代入求解即可.
7．【答案】A
【知识点】根据三角函数值（范围）判断锐角的大小
【解析】【解答】解：∵（3tanA-3）2+|2csB－3|=0，
∴3tanA-3=0，2csB－3=0，
∴tanA=3，csB=32，
∴∠A=60°，∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形.
故答案为：A.
【分析】根据非负数的性质得3tanA-3=0，2csB－3=0，解得tanA=3，csB=32，根据特殊角度的三角函数值得∠A=60°，∠B=30°，从而得△ABC是直角三角形.
8．【答案】C
【知识点】余弦的概念
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，
∴csA=ACAB=34，
∴欲求∠A的值，最适宜的做法是计算csA的值求出.
故答案为：C.
【分析】在Rt△ABC中，已知∠A的邻边和斜边，根据csA=ACAB，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2+b3，已是最简式子，不能再化简，A不符合题意；
B、a4÷a4=1，B不符合题意；
C、a2⋅a3=a5，C不符合题意；
D、(−a2)3=−a6，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】A、已是最简式子，不能再化简；B、根据同底数幂的除法进行计算即可判断；C、根据同底数幂的乘法进行计算即可判断；D、根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可判断.
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵b+c=2 ，
∴c=2−b ，
∵2x2+bx=c ，
∴2x2+bx+b−2=0 ，
∴Δ=b2−4×2×(b−2)=b2−8b+16=(b−4)2≥0 ，
∴方程有实数根.
故答案为：D.
【分析】由已知条件可得c=2-b，则原方程可化为2x2+bx+b-2=0，求出判别式，确定出其符号，据此解答.
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
A、2，2，A不符合题意；
B：a=−2，c=2 ，B符合题意；
C：a=−2，c=−2 ，C不符合题意；
D：a=2，c=−2，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的开口向下得a＜0，根据抛物线与y轴交于正半轴得c＞0，从而得解.
12．【答案】D
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】解：A、−x3+4x=−x(x2−4)=−xx+2x−2，A不符合题意；
B、x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，B不符合题意；
C、−x2−2x−1=−(x2+2x+1)=−x+12，C不符合题意；
D、x2−5x+6=(x−2)(x−3) ，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的方法对选项进行逐一分析即可求解.
13．【答案】-13
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵(x+3)(x−4)=x2+mx+n，
∴x2−x−12=x2+mx+n，
∴m=-1，n=-12，
∴m+n=-13.
故答案为：-13.
【分析】把(x+3)(x−4)展开得x2−x−12，然后与x2+mx+n对应即可求出m、n的值，从而求解.
14．【答案】120
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在这批节能灯中随机抽取一只是次品的概率为 240 ＝ 120 ，
故答案为： 120 ．
【分析】利用概率公式计算即可。
15．【答案】2x(x-2y)2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2x3-8x2y+8xy2
=2xx2−4xy+4y2
=2xx−2y2
故答案为：2xx−2y2.
【分析】先提公因式2x，再利用完全平方公式即可完成分解.
16．【答案】16825
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为7cm、24cm，
∴其斜边=72+242=25cm，
设斜边上的高为h，
∴其面积S=12×7×24=12×25×ℎ，
∴h=16825cm.
故答案为：16825.
【分析】根据勾股定理求得其斜边为25cm，设斜边上的高为h，根据面积法得S=12×7×24=12×25×ℎ，从而求解.
17．【答案】(−1，5)
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线y=x2−4x+8向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度后得，
∴y=x+32−4x+3+8+1，
∴y=x2+6x+9−4x−12+9
=x2+2x+6
=x+12+5
∴ 得到的抛物线顶点坐标是(−1，5).
故答案为：(−1，5).
【分析】根据平移规律”上加下减，左加右减“，即可求得平移后的抛物线的解析式，再进行配方把其化为顶点式，从而求得其顶点坐标.
18．【答案】7
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点D作DG⊥BC于点G，
∵AB=AC，BC=18，
∴CH=12BC=9，
在Rt△AHC中，∠C=30°，
∴AC=2AH，CH2=AC2−AH2=3AH2，
∴AH=33，AC=63，
又∵点D是AC的中点，
∴CD=33，
∴DG=12CD=332，CG=CD2−DG2=92 ，
∴BG=BC−CG=272，
设BF=x，则FG=272-x，FD=BF=x，
在Rt△DFG中，由勾股定理可得，
FD2=FG2+DG2，即x2=(272−x)2+(332)2，
解得x=7，
故答案为7
【分析】先求出CD=33，再利用勾股定理计算求解即可。
19．【答案】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝35，
∴AB＝10，BE＝AB•sin∠BAE＝10×35=6，
∵BE=CE，
∴∠CBE=∠A，
∴sin∠CBE=sin∠A=35，
∴EHBH=35，
设BH=5x，EH=3x，
在Rt△BEH 中BH2−EH2=BE2，
(5x)2−(3x)2=62，解得，x=32，
∴BH=152．
【知识点】切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出 ∠ODB＝∠ABC， 再证出 ∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°， 即可得出结论；
（2） 连接BE， 由垂径定理得出 BE=CE， 得出 ∠CBE=∠A，设BH=5x，EH=3x，在Rt△BEH 中BH2−EH2=BE2， 求解即可。
20．【答案】解： (1)根据题意得B（3，-5），抛物线的顶点为原点O，
∴设抛物线的解析式为y=ax2，
把B(3，-5)代入y=ax2得，
a×32=−5，
∴a=−59，
∴所求的二次函数的解析式为y= −59x2，
x的取值范围是-3≤x≤3.
(2)如图，当车从正中间过隧道时，
车宽2.8米时，此时CN为1.4米，
对应yE=−59×1.42=−9.89=−4945，
∴EN长为5−4945=17645，
∵车高1=4545米，
∴17645＞1，
∴农用货车能够通过此隧道.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】(1)根据题意得B（3，-5），抛物线的顶点为原点O，因此设解析式为y=ax2，把B的坐标代入易求解析式，根据隧道口的有限性结合图象易知x的取值范围.
(2)根据车的宽为2.8米，车高1米，能否通过是比较当x=1.4时[5-(-y)]的值与1的大小.
21．【答案】（1）解：(1)过B作BE⊥AC于E，过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，
则∠AEB=∠D=90°，
在Rt△AEB和Rt△ADC中，
∵∠BAE=45° ，
∴AEB与△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ABE=45°，
∵∠EBC=75°，
∴∠DBC= 60°，
∴∠DCB=30°，
∵BC=20海里，
∴BD=12BC=10海里，
∴CD=3BD=103(海里)，
∴AC=2CD=106(海里)，
答：A，C两地的距离106海里.
（2）解：(2)在Rt△BCD中，∠D=90°，∠DBC=60°，
∴∠DCB=30°，
∴BD=12BC=12×20=10 (海里)，
在Rt△ADC中，∠D=90°，∠DAC=45°，
∴AD=CD=103(海里) ，
∴AB=AD-BD=(103-10)海里.
答：A，B两地的距离为(103-10)海里.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】(1)过B作BE⊥AC于E，过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，根据题意得△AEB与△ADC是等腰直角三角形，得到∠ABE=45°，求得∠DBC=60，根据三角函数的定义解直角三角形即可得到结论.
(2)根据直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，由∠DCB=30°，得BD=12BC=12×20=10(海里)，根据等腰直角三角形的性质求得AD的长，即可得到结论.
22．【答案】解： 当x=2时，代数式2x2+（3﹣c）x+c的值是10，
∴2×22+(3−c)×2+c=10，
∴8+6−2c+c=10，
∴c=4，
∴代数式为2x2−x+4，
当x=-3时，
2x2−x+4
=2×−32−−3+4
=25
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】当x=2时，代数式2x2+（3﹣c）x+c的值是10，求出c的值，从而得代数式为2x2−x+4，把x=-3代入，进行计算即可求解.
23．【答案】（1）3y；3(60-x).
（2）解：∵甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，
∴2x+3y=2603(60−x)+5(90−y)=210，
解得x=40y=60
答：x的值为40，y的值为60.
（3）解：设有a个A型包装袋包装甲类农产品，则有2a个B型包装袋包装甲类农产品.
∵用于包装甲类的A，B型包装袋的数量之和不少于90个，
∴a +2a≥90，
∴a≥30 ，
∵90-2a≥0，
∴a≤45，
∴30≤a≤45，
∴m=2a+3(60-a)+6a+5(90-2a)=-5a+630，
∵-5<0，
∴当30≤a≤45时，m随a增大而减小，
∴当a=45时，m有小值405，
当a=30时，m有最大值480，
∴m的最大值为480，最小值为405 .
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1)每个B型包装袋装3千克甲类农产品，设有y个B型包装袋包装甲类农产品，
∴B型包装中有甲类农产品3y千克，
设有x个A型包装袋包装甲类农产品，
∴有(60-x)个A型包装袋包装乙类农产品，
∴A型包装中有乙类农产品3(60-x)千克，
故可以填表如下：
故答案为：3y；3(60-x).
【分析】(1)根据每个A型包装袋装2千克甲类农产品或装3千克乙类农产品，每个B型包装袋装3千克甲类农产品或装5千克乙类农产品，设有x个A型包装袋包装甲类农产品，有y个B型包装袋包装甲类农产品，填表即可.
(2)由甲、乙两类农产品的总质量分别是260千克与210千克，根据(1)所求的代数式，列出方程求解即可.
(3 )设用于包装甲类农产品的A型包装袋数量为a，则用于包装甲类农产品的B型包装袋数量为2a，然后求出30≤a≤45，由m=2a+3(60-a)+6a+5(90-2a)=-5a+630，再根据a的范围可得出最终结论.​​​​​​
24．【答案】（1）①如图1，过点P作PJ⊥AO于J，
∵OA=OB=42，∠AOB=9O°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，点A(42，O)，
∴∠OAB=∠JPA=45°，
∴AJ=JP，AP=2AJ，
∵AM平分∠BAO，
∴∠OAE=∠BAE，
在△AEO和△AEP中，
∠OAE=∠BAEAE=AE∠AEO=∠AEP=90°
∴△AEO≌△AEP ( ASA )，
∴AO=AP=42，
∴JP=AJ=4，
∴OJ=42-4，
∴点P( 42-4，-4) .
②设AM与BN交于点C，
∵AM、BN分别平分∠OAB、 ∠OBA，
∴∠MAB=12∠OAB，∠NBA=12∠OBA，
∵∠OAB+∠OBA=90° ，
∴∠MAB+∠NBA=45°=∠GCF，
∵GP⊥BN，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴∠G=45°，
∵OP⊥AM，
∴∠G=∠GPE=45°，
∴GE= PE，
∴△GEP是等腰直角三角形，
∵△AEO≌△AEP，
∴OE= EP，
∵点P(42-4，-4)，点O(0，0)，
∴xE=42−42=22−2，yE=−42=−2，
∴点E( 22-2，-2)，
又∵点A (42，0) ，
设yAE=kx+b
∴(22−2)k+b=−242k+b=0，
解得k=2−1b=42−8
∴直线AE解析式为y=(2−1)x+42−8，
设点G[m,(2−1)m+42−8]，
∵GE=PE，
∴(m−22+2)2+[(2−1)m+42−8+2]2=(42−4−22+2)2+(−4+2)2，
∴m=22−4，
∴点G(22−4,−22).
（2）解：AG=GP+OP，理由如下：延长GP至K，使OP=PK，连接AK，
在△AOM和△BON中，
OM=ON∠AOM=∠BON=90°OA=OB
∴△AOM≌△BON ( SAS )，
∴∠OAM=∠OBN，
∴∠OAB-∠OAM=∠OBA-∠OBN，
∴∠BAM=∠NBA，
∵AM⊥OP，BN⊥GP，
∴∠OPA=∠BPH，
∴∠OPA=∠APK，
在△APK和△APO中
PK=PO∠OPA=∠KPAAP=AP
∴△APK≌△APO ( SAS )，
∴∠AOP=∠K，∠OAB=∠KAB=45°，
∴∠OAG+∠GAK=90°，
又∵∠OAG+∠AOP=90°，
∴∠AOP=∠GAK=∠K，
∴AG=GK，
∴AG=GP+OP.
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】(1)①由OA=OB=42，得∠OAB=∠OBA=45°，过点P作PJ⊥AO于J，由“ASA"可证△AEO≌△AEP，得AO=AP=42，由等腰直角三角形的性质可求AJ=4，即可求解.
②设AM与BN交于点C，由角平分线的性质可得∠MAB+∠NBA=45°=∠GCF，由三角形内角和定理和外角的性质可求∠G=45°，可证△PEG是等腰直角三角形，由中点坐标公式得E的坐标，待定系数法求得AE的解析式，由两点距离公式可求点G坐标.
(2)延长GP至K，使OP= PK，连接AK，由“SAS"可证△AOM≌△BON，可得∠OAM=∠OBN，再由“SAS"可证△APK≌△APO，可得∠AOP=∠K，∠OAB=∠KAB=45°，由余角的性质可得∠AOP=∠GAK=∠K，可证AG=GK，进而可得结论.
25．【答案】（1）E，G
（2）解：如图所示：
∵△PMN为点P的“伴随三角形”，
∴∠MPN=60°，
在Rt△OPM中，
P(1.0)，∠MPN=60°，
∴OM=3，
∴M(0，3)或(0，-3)，
又∵△MPN是直角三角形，
∴∠PMN=90°，
∴∠MNO=30°，
在Rt△OMN中，
∠MNO=30°，OM=3，
∴ON=3即点N(-3，0)，
设直线MN的解析式为y=kx+b
把M(0，3)或M'(0，−3)，N(-3，0)代入得，
−3k+b=0b=3或−3k+b=0b=−3，
解得k=33b=3或k=−33b=−3，
∴直线MN的解析式为：y=33x+3或y=−33x−3.
（3）解：如图，分别过M，N作MA⊥y轴，作NB⊥y轴，NA⊥AM，
MA，NA交于点A，MB，NB交于点B .
∵抛物线y=x2−2mx+m2+m−2=(x−m)2+m−2，
∴点M(m，m-2)，
设点N[t,(t−m)2+m−2]
∴MA= m-t，NA=(m−t)2，
∵MN=23，
∴MA2+NA2=MN2=12，
∴(m−t)2+[(m−t)2]2=12
∴(m−t)2=3，(m−t)2=−4(舍去)，
即NA=3，MA=3，
∴tan∠MNA=MANA=33，
∴∠MNA=30°，
作MN的垂直平分线，交AN于点I'， MB于点I，
∴IN= I'M，
则∠NI’M=180°-2∠MNA=120°，
∴∠AMI'=30°，AI'=tan300AM=1，
∴I'N=I'M=AN-AI'=2，
同理NI=MI=2，
若∠MPN=60°，点P必在如图所示R=2的圆弧上，
∵M(m，m-2)，
∴圆心坐标为I(m，m)和I'(t，m-1)，
若在x轴上存在点P，则圆心到x轴的距离不大于2，
∴若圆心在x轴下方，则-m≤2，解得m≥-2，
若圆心在x轴上方，则m-1≤2，解得m≤3，
综上所述：-2≤m≤3.
【知识点】一次函数的图象；解直角三角形；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：(1)如图所示，过点M作MT⊥ y轴于点T，
连接NE，ME， FN，FM，GN，GM，
则∠MTN=90°，
∵M(33，6)、N(0，3)，
∴T(0，6)
∴NT=3，TM=33，
∵∠MTN=90°，
∴tan∠TNM=TMTN=333=3，
∴∠TNM= 60°，
∴MN=2TN=6，
∵N(0，3)，D(0，0)，E(3，0)
则DN=3，DE=3，
∴tan∠DNE=DEDN=33，
∴∠DNE=30°，
∴∠MNE=180°-∠TNM-∠DNE=90°，NE=2DE=23，
∴tan∠NEM=MNNE=623=3，
∴∠NEM=60°，
∴E是线段MN的“伴随点”，
∵∠MNE=90°，∠NEM= 60°，
则线段MN的“伴随点”在以ME的中点为圆心，12ME为半径的圆上，如图，
∵F在圆内，D在圆外，
∴∠NFM≠∠NEM=60°，∠NDM≠60°，
∴D，F不是线段MN的“伴随点”，
∵G(33，0)，D(0，0)，
∴DG=33，
∵DN=3，∠NDG=90°，
∴tan∠DNG=DGND=3，
∴∠DNG= 60°，
∴∠GNM= 180°- ∠MNT- DNG=60°，∠NGD =30°，
∴NG=2DN=6= MN，
∴△NGM是等边三角形，
∴∠NGM=60°，
∴G是线段MN的“伴随点”，
综上所述，E，G是线段MN的“伴随点”.
故答案为：E，G.
【分析】(1)根据题意，作出图形，过点M作MT⊥y轴于点T，连接NE，ME， FN，FM，GN，GM，根据点的坐标关系求得∠MNT= 60°，然后解Rt△DNE，可得△MNE是直角三角形，进而求得∠NEM= 60°，根据定义找到符合条件的点，再证明G是线段MN的“伴随点”.
(2)根据题意，作出图形，由△PMN为点P的“伴随三角形”，得∠MPN=60°，在Rt△OPM中，求得OM=3，Rt△OMN 中求得ON=3，利用待定系数法即可求得直线MN的解析式.
(3)分别过M，N作MA⊥y轴，作NB⊥y轴，NA⊥AM，MA，NA交于点A，MB，NB交于点B，作MN的垂直平分线，交AN于点I'，MB于点I，根据题意以及勾股定理，可得NA=3，MA=3，若∠MPN = 60°，点P必在如图所示R =2的圆弧上，若圆心在x轴下方，则-m≤2，若圆心在x轴上方，则m-1≤2，据此可得m范围.
26．【答案】解：如图所示，根据题意建立平面直角坐标系，
由题知抛物线的顶点C坐标为(0，11 )，A(-8，8)，
设抛物线的表达式为y=ax2+11，
将点A的坐标(-8，8)代入抛物线的表达式得：a=−364，
所以抛物线的表达式为：y=−364x2+11.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】首先根据题意建立平面直角坐标系，再由已知条件得顶点C坐标为(0，11 )，A(-8，8)，利用顶点式求出函数解析式，即可得出答案.包装袋型号
A
B
甲类农产品质量（千克）
2x

乙类农产品质量（千克）

5(90−y)
包装袋型号
A
B
甲类农产品质量(千克)
2x
3y
乙类农产品质量(千克)
3(60-x)
5(90-y)